数学选择性必修 第三册第六章 导数及其应用6.2 利用导数研究函数的性质6.2.2 导数与函数的极值、最值第1课时导学案

第1课时　函数的导数与极值

知识点1　函数的极值

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有

(1)f(x)<f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极大值点，且f(x)在x0处取极大值；

(2)f(x)>f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极小值点，且f(x)在x0处取极小值．

极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值．显然，极大值点在其附近函数值最大，极小值点在其附近函数值最小．

1．极大值一定比极小值大吗？

[提示]　不一定．极值是一个局部性概念，是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大的或最小的，故极大值与极小值之间无法确定大小关系．

1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图像如图所示，则函数f(x)(　　)

A．无极大值点，有四个极小值点

B．有三个极大值点，两个极小值点

C．有两个极大值点，两个极小值点

D．有四个极大值点，无极小值点

C　[设y＝f′(x)的图像与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．]

知识点2　函数的导数与极值

一般地，设函数f(x)在x0处可导，且f′(x0)＝0．

(1)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)>0，对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)<0，那么此时x0是f(x)的极大值点．

(2)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)<0，对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)>0，那么此时x0是f(x)的极小值点．

(3)如果f′(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号)，则x0一定不是y＝f(x)的极值点．

2．“f′(x0)＝0”是“x0是y＝f(x)的极值点”的什么条件？

[提示]　“f′(x0)＝0”是“x0是y＝f(x)的极值点”的必要不充分条件．如f(x)＝x3，由f′(x)＝0得x＝0，但0不是f(x)＝x3的极值点．

2．若可导函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则f′(1)＝________，1是函数f(x)的________值点．

0　极大　[由题意可知，当x＜1时，f′(x)＞0，当x＞1时，f′(x)＜0，∴f′(1)＝0，1是函数f(x)的极大值点．]

类型1　求函数的极值或极值点

【例1】　求下列函数的极值．

(1)f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1；

(2)f(x)＝x2－2ln x．

[解]　(1)函数f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1的定义域为R，

f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)，

令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝1．

当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：

所以当x＝－2时，f(x)取极大值21；

当x＝1时，f(x)取极小值－6．

(2)函数f(x)＝x2－2ln x的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝2x－＝，

令f′(x)＝0，

得x1＝1，x2＝－1(舍去)．

当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：

因此当x＝1时，f(x)有极小值1，无极大值．

求可导函数f(x)的极值的步骤

(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)．

(2)求方程f′(x)＝0的根．

(3)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．

[跟进训练]

1．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4．

(1)求a，b的值；

(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．

[解]　(1)f′(x)＝ex(ax＋b)＋aex－2x－4

＝ex(ax＋a＋b)－2x－4，

f′(0)＝a＋b－4＝4， ①

又f(0)＝b＝4， ②

由①②可得a＝b＝4．

(2)f(x)＝ex(4x＋4)－x2－4x，

则f′(x)＝ex(4x＋8)－2x－4＝4ex(x＋2)－2(x＋2)

＝(x＋2)(4ex－2)．

令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝－ln 2，

当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：

f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，

在(－2，－ln 2)上单调递减．

当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，

极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．

类型2　利用函数的极值求参数

【例2】　(1)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＝________，b＝________．

(2)若函数f(x)＝x3－x2＋ax－1有极值点，则a的取值范围为________．

(1)2　9　(2)(－∞，1)　[(1)∵f′(x)＝3x2＋6ax＋b，且函数f(x)在x＝－1处有极值0，

∴

即

解得或

当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，此时函数f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．

当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．

当x∈(－∞，－3)时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数；

当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0，此时f(x)为减函数；

当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数．

故f(x)在x＝－1处取得极小值，∴a＝2，b＝9．

(2)∵f′(x)＝x2－2x＋a，

由题意得方程x2－2x＋a＝0有两个不同的实数根，

∴Δ＝4－4a>0，解得a<1．]

已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：

1根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.

2因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.

[跟进训练]

2．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1)　 B．(0，＋∞)

C．(0，1) D．(－1，0)

D　[∵f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若a<－1，

∴f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，－1)上单调递增，∴f(x)在x＝a处取得极小值，与题意不符；

若－1<a<0，则f(x)在(－1，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减，从而在x＝a处取得极大值，符合题意；

若a>0，则f(x)在(－1，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，与题意不符，故选D．]

类型3　函数极值的综合应用

1．如何画出函数f(x)＝2x3－3x2－36x＋16的大致图像．

[提示]　f′(x)＝6x2－6x－36＝6(x2－x－6)＝6(x－3)(x＋2)．

由f′(x)＞0，得x＜－2或x＞3，

∴函数f(x)的递增区间是(－∞，－2)和(3，＋∞)．

由f′(x)＜0，得－2＜x＜3，

∴函数f(x)的递减区间是(－2，3)．

由已知得f(－2)＝60，f(3)＝－65，f(0)＝16．

∴结合函数单调性及以上关键点画出函数f(x)大致图像如图所示(答案不唯一)．

2．当a变化时，方程2x3－3x2－36x ＋16＝a有几解？

[提示]　方程2x3－3x2－36x＋16＝a解的个数问题可转化为函数y＝a与y＝2x3－3x2－36x＋16的图像有几个交点的问题，结合问题1可知：

(1)当a＞60或a＜－65时， 方程2x3－3x2－36x＋16＝a有且只有一解；

(2)当a＝60或a＝－65时，方程2x3－3x2－36x＋16＝a有两解；

(3)当－65＜a＜60时，方程2x3－3x2－36x＋16＝a有三解．

【例3】　已知函数f(x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围．

[思路点拨]　求出函数的极值，要使f(x)＝0有三个不同实根，则应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a的取值范围．

[解]　令f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，

解得x1＝－1，x2＝1．

当x<－1时，f′(x)>0；

当－1<x<1时，f′(x)<0；

当x>1时，f′(x)>0．

所以当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝2＋a；

当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－2＋a．

因为方程f(x)＝0有三个不同实根，

所以y＝f(x)的图像与x轴有三个不同交点，如图．

由已知应有

解得－2<a<2，故实数a的取值范围是(－2，2)．

利用导数可以判断函数的单调性，并能在此基础上画出函数的大致图像，从直观上判断函数图像与x轴的交点或两个函数图像的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.

[跟进训练]

3．已知函数f(x)＝ax2－2x＋ln x有两个不同的极值点x1，x2，则a的取值范围是__________；且不等式f(x1)＋f(x2)<x1＋x2＋t恒成立，则实数t的取值范围是__________．

　　[f′(x)＝(x>0)，

因为函数f(x)＝ax2－2x＋ln x有两个不同的极值点x1，x2，

所以方程2ax2－2x＋1＝0有两个不相等的正实数根，

于是有：，解得0<a<．

f(x1)＋f(x2)－x1－x2＝ax－2x1＋ln x1＋ax－2x2＋ln x2－x1－x2＝a[x1＋x22－2x1x2]－3(x1＋x2)＋ln (x1x2)＝－－1－ln 2a，

设h(a)＝－－1－ln 2a，

h′(a)＝>0，故h(a)在0<a<上单调递增，

故h(a)<h＝－5，所以t≥－5，因此t的取值范围是(－5，＋∞)．]

1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有(　　)

A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个

B　[依题意，记函数y＝f′(x)的图像与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1，x2，x3，x4，当a＜x＜x1时，f′(x)＞0；当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0；当x2＜x＜x4时，f′(x)≥0；当x4＜x＜b时，f′(x)＜0．因此，函数f(x)分别在x＝x1，x＝x4处取得极大值，故选B．]

2．已知f(x)＝，则f(x)(　　)

A．在(－∞，＋∞)上单调递增

B．在(－∞，1)上单调递减

C．有极大值，无极小值

D．有极小值，无极大值

C　[由题意f′(x)＝，当x<1时，f′(x)>0，f(x)递增，x>1时，f′(x)<0，f(x)递减，f(1)是函数的极大值，也是最大值，f(1)＝，函数无极小值．故选C．]

3．设函数f(x)＝xex，则(　　)

A．x＝1为f(x)的极大值点

B．x＝1为f(x)的极小值点

C．x＝－1为f(x)的极大值点

D．x＝－1为f(x)的极小值点

D　[令y′＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1．

当x＜－1时，y′＜0；当x＞－1时，y′＞0．故当x＝－1时，y取得极小值．]

4．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．

(－∞，－1)∪(2，＋∞)　[f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，∵函数f(x)既有极大值又有极小值，

∴方程f′(x)＝0有两个不相等的实根，

∴Δ＝36a2－36(a＋2)＞0，

即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1．]

5．已知a为正实数，若函数f(x)＝x3－3ax2＋2a2的极小值为0，则a的值为__________．

　[由题意f′(x)＝3x2－6ax＝3x(x－2a)，

∵a>0，∴x<0或x>2a时，f′(x)>0，0<x<2a时，f′(x)<0，

∴f(x)在(－∞，0)和(2a，＋∞)上递增，在(0，2a)上递减，

f(x)的极小值是f(2a)＝8a3－12a3＋2a2＝0，解得a＝(a＝0舍去)．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．求函数极值时需要注意哪些问题？

[提示]　(1)求函数的极值需重点考虑两个问题：一是函数的定义域，注意判断使导数值为0的点是否在定义域内，如果不在定义域内，需要舍去；二是检查导数值为0的点的附近左右两侧的导数值是否异号，若异号，则该点是极值点，否则不是极值点．

(2)求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想才能解决问题．讨论的依据有两种：一是看参数是否对f′(x)的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；二是看f′(x)在其零点附近两侧的符号的确定是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论．

2．你是如何理解函数极值这一概念的？

[提示]　(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的．

(2)函数的极值点不是点，是使函数f(x)取到极值的x的值，是一个实数．

(3)极值点是函数定义域上的自变量的值，而函数定义域的端点绝不可能是函数的极值点．

(4)若f(x)在[a，b]上有极值，那么f(x)在[a，b]上绝不是单调函数，即在定义区间上单调的函数没有极值．

(5)极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，且极小值不一定比极大值小，极大值也不一定比极小值大．

(6)若函数f(x)在[a，b]上有极值且函数图像连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．