2021学年6.3 平面向量基本定理及坐标表示导学案

平面向量基本定理

共线向量基本定理的实质是，所有共线的向量中，只要指定一个非零向量，则其他向量都可以用这个向量表示出来．那么，这个结论是否可以推广到所有共面的向量呢？

[问题]　如图所示，已知a，b，c，d，e，f的始点相同，你能分别将c，d，e，f写成向量a，b的线性运算吗？

知识点　平面向量基本定理

1．定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．

2．基底：不共线的向量{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．

对平面向量基本定理的理解

(1)基底具备两个特征：①基底是由两个不共线的向量构成的；②基底的选择是不唯一的．

(2)基底e1，e2确定后，平面内任一向量a的分解式是唯一的，特别地，a1e1＋a2e2＝0时，恒有a1＝a2＝0.　　　　

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底．(　　)

(2)基底中的向量可以是零向量．(　　)

(3)平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)√

2．设e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，则以下各组向量中不能作为基底的是(　　)

A．{e1，e2}　　　　 B．{e1＋e2，3e1＋3e2}

C．{e1，5e2}  D．{e1，e1＋e2}

解析：选B　因为3e1＋3e2＝3(e1＋e2)，所以两共线向量不可作为基底．

[例1]　(多选)如果{e1，e2}是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，则下列说法正确的是(　　)

A．若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0

B．对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对

C．线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量

D．当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量

[解析]　A正确：若λ≠0，则e1＝－e2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，同理可说明μ＝0.B不正确：由平面向量基本定理可知λ，μ唯一确定．C正确：平面α内的任一向量a可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立．D不正确：结合向量加法的平行四边形法则易知，当λe1和μe2确定后，其和向量λe1＋μe2便唯一确定．

[答案]　AC

对基底的理解

(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底；

(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则x1＝x2且y1＝y2.

[提醒]　一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，其线性表示是不同的．　　　　

[跟踪训练]

1．如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是(　　)

A.，　　　　　　 B.，

C.，  D.，

解析：选B　由题中图形可知与，与，与共线，不能作为基底向量，与不共线，可作为基底向量．故选B.

2.如图，设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，有下列向量组：①与；②与；③与；④与.其中可作为该平面内的所有向量的基底的是(　　)

A．①②  B．①③

C．①④  D．③④

解析：选B　∵与不共线，与不共线，∴①③可以作为基底，其他两组分别共线，故不可以，故选B.

[例2]　(链接教科书第26页例1)如图，在平行四边形ABCD中，设对角线＝a，＝b，试用基底{a，b}表示，.

[解]　法一：由题意知，＝＝＝a，＝＝＝b.

所以＝＋＝－＝a－b，＝＋＝a＋b.

法二：设＝x，＝y，则＝＝y，

又则

所以x＝a－b，y＝a＋b，

即＝a－b，＝a＋b.

用基底表示向量的两种基本方法

一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．　　　　

[跟踪训练]

1．若AD与BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，且＝a，＝b，则等于(　　)

A.a＋b    B.a＋b

C.a－b  D．－a＋b

解析：选B　设AD与BE交于点F，则＝a，＝b.

由＋＋＝0，得＝(a－b)，所以＝2＝2(－)＝a＋b.

2.如图所示，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为________．

解析：由题意，得＝(＋)．又＝＝－，所以＝(－＋2)＝－＋.又＝λ＋μ，所以λ＋μ＝－＋1＝.

答案：

[例3]　(链接教科书第26页例2)如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值．

[解]　设＝e1，＝e2，

则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.

∵A，P，M和B，P，N分别共线，

∴存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2，＝μ＝2μe1＋μe2.

故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.

而＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，得解得

∴＝，＝，

∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝.

[母题探究]

(变设问)在本例条件下，若＝a，＝b，试用a，b表示.

解：由题意知＝，则＝，＝＋＝＋＝b＋(－)＝b＋a－b＝b＋a.

若题中有多组三点共线，可从三点共线出发，列出关于系数的方程组，通过解方程组求解．　　　　

[跟踪训练]

如图，在平行四边形ABCD中，F是边CD的中点，AF与BD交于点E，用向量方法证明：E为线段BD的三等分点．

证明：设＝a，＝b，则＝－＝b－a，＝＋＝＋＝b＋a.

因为点A，E，F与点B，D，E分别共线，

所以存在实数λ，μ，使＝λ，＝μ，

于是＝a＋λb，＝μb－μa.由于＋＝，所以(1－μ)a＋μb＝a＋λb.因为a与b不共线，所以解得λ＝μ＝，

所以＝，所以点E为线段BD的三等分点．

“等和线”及其应用

平面向量的一个基底{，}及任一向量，由平面向量基本定理知存在唯一一对实数λ，μ∈R，使得＝λ＋μ.如果点C在直线AB上，或在平行于AB的直线上，则有λ＋μ＝k(定值)，反之也成立．我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为“等和线”．

对于等和线，有如下结论：

(1)当等和线恰为直线AB时，k＝1；

(2)当等和线在点O和直线AB之间时，k∈(0，1)；

(3)当直线AB在点O与等和线之间时，k∈(1，＋∞)；

(4)当等和线过点O时，k＝0；

(5)若两等和线关于点O对称，则定值k1与k2互为相反数；

(6)定值k的绝对值与等和线到点O的距离成正比．

[问题探究]

1.如图所示，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且＝－＋m，求实数m的取值范围．

提示：由平面向量等和线的结论可知0<－＋m<1，所以<m<.

2.如图所示，设D，E分别为△ABC的边AB，BC上的点，且有AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2∈R)，求λ1＋λ2的值．

提示：如图，过点A作＝，设AF，BC的延长线交于点H，易知AF＝FH，∴DE綉AH，即DE为△ABH的中位线，从而λ1＋λ2＝.

[迁移应用]

　如图所示，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD(含端点)上运动，P是圆Q上及其内部的动点，设向量＝m＋n(m，n∈R)，则m＋n的取值范围是(　　)

A．(1，2]　　　　　　　　　　　 B．[5，6]

C．[2，5]  D．[3，5]

解析：选C　如图所示，设＝m＋n，由等和线的结论，得m＋n＝＝＝2，即为m＋n的最小值．

同理，设＝m＋n，由等和线的结论，得m＋n＝＝5，即为m＋n的最大值．

综上所述，m＋n的取值范围是[2，5]．故选C.

1．若{e1，e2}是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是(　　)

A．e1－e2，e2－e1

B．e1－e2，e1＋e2

C．2e2－e1，－2e2＋e1

D．2e1＋e2，4e1＋2e2

解析：选B　不共线的向量能作为基底，因为e1－e2＝－(e2－e1)，所以向量e1－e2，e2－e1共线，排除A；因为2e2－e1＝－(－2e2＋e1)，所以2e2－e1，－2e2＋e1共线，排除C；因为2e1＋e2＝(4e1＋2e2)，所以2e1＋e2，4e1＋2e2共线，排除D，故选B.

2.如图，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，M是DC的中点，以{a，b}为基底表示向量＝________．

解析：＝＋＝＋＝＋＝b＋a.

答案：b＋a

3．在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝t，则实数t＝________；若＝，且＝λ＋μ，则实数λ＝________．

解析：由题意得，＋＝＝－2，故t＝－2.又＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，故λ＝.

答案：－2　

4．已知M，N，P是△ABC三边上的点，且＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将，，表示出来．

解：＝－＝－＝a－b，＝－＝－－＝－b－(a－b)＝－a＋b，

＝－＝－(＋)＝(a＋b)．