高中人教A版 (2019)6.3 平面向量基本定理及坐标表示导学案及答案

平面向量数乘运算的坐标表示

已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．

[问题]　(1)若a∥b，则它们的坐标之间有什么关系？

(2)λa(λ∈R)的坐标与a的坐标之间有什么关系？

知识点一　平面向量数乘的坐标运算

若a＝(x，y)，λ∈R，则：λa＝(λx，λy)．

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．

已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a－b＝________．

解析：因为a＝(2，4)，b＝(－1，1)，所以2a－b＝(2×2－(－1)，2×4－1)＝(5，7)．

答案：(5，7)

知识点二　平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.向量a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0．

1．a∥b(b≠0)⇔a＝λb. 这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系．

2．a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．这是代数运算，由于不需引进参数λ，从而简化了代数运算．

3．a∥b⇔＝，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且y1≠0，y2≠0. 即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．　　　　

两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标条件能表示成＝吗？

提示：不能，当x2，y2有一者为零时，比例式没有意义．

　已知向量a＝(2，1)，b＝(x，－2)，若a∥b，则a＋b＝________．

解析：∵a∥b，∴x＝－4，∴a＋b＝(2，1)＋(－4，－2)＝(－2，－1)．

答案：(－2，－1)

[例1]　(链接教科书第31页例6、第32页例9)(1)已知向量a，b的坐标分别是(－1，2)，(3，－5)，求a＋b，a－b，3a，2a＋3b的坐标；

(2)已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，求M，N及的坐标．

[解]　 (1)a＋b＝(－1，2)＋(3，－5)＝(2，－3)；

a－b＝(－1，2)－(3，－5)＝(－4，7)；

3a＝3(－1，2)＝(－3，6)；

2a＋3b＝2(－1，2)＋3(3，－5)＝(－2，4)＋(9，－15)＝(7，－11)．

(2)由A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，

可得＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)，＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3)，

所以＝3＝3(1，8)＝(3，24)，＝2＝2(6，3)＝(12，6)．

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

则＝(x1＋3，y1＋4)＝(3，24)，x1＝0，y1＝20；

＝(x2＋3，y2＋4)＝(12，6)，x2＝9，y2＝2，

所以M(0，20)，N(9，2)，＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)．

平面向量坐标运算的技巧

(1)进行平面向量坐标运算前，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系；

(2)在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的坐标运算法则进行计算；

(3)在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用．　　　　

[跟踪训练]

1．已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝(　　)

A．(－23，－12)　　　　　　　　 B．(23，12)

C．(7，0)  D．(－7，0)

解析：选A　由3a－2b＋c＝0，∴c＝－3a＋2b＝－3(5，2)＋2(－4，－3)＝(－23，－12)，∴c＝(－23，－12)．

2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，＝，则P点坐标为________．

解析：设P(x，y)，∴＝(x－3，y＋2)，＝(－8，1)，由＝，得解得即P.

答案：

[例2]　(链接教科书第31页例7)(1)下列各组向量是平行向量的有________．(填序号)

①a＝，b＝(－2，－3)；

②a＝(0.5，4)，b＝(－8，64)；

③a＝(2，3)，b＝(3，4)；

④a＝(2，3)，b＝.

(2)已知A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，－3)，判断与是否共线？如果共线，它们的方向是相同还是相反？

(1)[解析]　①×(－3)－×(－2)＝－＋＝0，∴a∥b.

②0.5×64－4×(－8)＝32＋32＝64≠0，∴a，b不平行．

③2×4－3×3＝8－9＝－1≠0，∴a，b不平行．

④2×2－3×＝4＋4＝8≠0，∴a，b不平行．

[答案]　①

(2)[解]　＝(0，4)－(2，1)＝(－2，3)，＝(5，－3)－(1，3)＝(4，－6)．

法一：∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴与共线，通过观察可知，和方向相反．

法二：∵＝－2，∴与共线且方向相反．

向量共线的判定方法

[跟踪训练]

已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(λ，－1)，若c∥(2a＋b)，则λ＝(　　)

A．－2  B．－1

C．－  D.

解析：选A　∵a＝(1，2)，b＝(2，－2)，∴2a＋b＝(4，2)．∵c∥(2a＋b)，∴＝，解得λ＝－2.故选A.

[例3]　(链接教科书第32页例8)如图，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)，＝，＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．

[解]　∵＝＝(0，5)＝，

∴C.

∵＝＝(4，3)＝，∴D.

设M(x，y)，则＝(x，y－5)，

∵∥，＝，

∴－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20.①

又＝，＝，∥，

∴x－4＝0，即7x－16y＝－20.②

联立①②解得x＝，y＝2，故点M的坐标为.

利用向量解决三点共线问题的基本思路是将三点共线转化为两向量共线，即A，B，C三点共线⇔与共线．方法有两种：(1)看是否存在实数λ，使得＝λ；(2)借助坐标，看与的坐标是否对应成比例或交叉相乘差为0.　　　　

[跟踪训练]

知＝(k，2)，＝(1，2k)，＝(1－k，－1)，且相异三点A，B，C共线，则实数k＝________．

解析：＝－＝(1－k，2k－2)，＝－＝(1－2k，－3)，由题意可知∥，所以(－3)×(1－k)－(2k－2)(1－2k)＝0，解得k＝－或k＝1，当k＝1时，A，B重合，舍去，故k＝－.

答案：－

[例4]　已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P是直线P1P2上一点，且＝λ(λ≠－1)，求点P的坐标．

[解]　设P(x，y)，则＝(x－x1，y－y1)，＝(x2－x，y2－y)．

由＝λ，得(x－x1，y－y1)＝λ(x2－x，y2－y)，

于是

因为λ≠－1，所以

因此，点P的坐标为.

若＝λ，则P点位置与λ的取值范围之间的对应关系如下(P0为线段P1P2的中点)：

 [跟踪训练]

若过点P1(2，3)，P2(6，－1)的直线上一点P使||∶||＝3∶1，则点P的坐标为________．

解析：设O为坐标原点，连接OP，OP1，OP2(图略)．

∵||∶||＝3∶1，∴||＝3||，

∴＝3或＝－3.

当＝3，即＝－3时，＝＋＝(8，－3)．

当＝－3，即＝3时，＝＋＝(5，0)．

故点P的坐标为(8，－3)或(5，0)．

答案：(8，－3)或(5，0)

1．已知向量a＝(1，2)，2a＋b＝(3，2)，则b＝(　　)

A．(1，－2)  B．(1，2)

C．(5，6)  D．(2，0)

解析：选A　b＝(3，2)－2a＝(3，2)－(2，4)＝(1，－2)．故选A.

2．若A(2，－1)，B(4，2)，C(1，5)，则＋2＝________．

解析：∵A(2，－1)，B(4，2)，C(1，5)，∴＝(2，3)，＝(－3，3)，∴＋2＝(2，3)＋2(－3，3)＝(2，3)＋(－6，6)＝(－4，9)．

答案：(－4，9)

3．已知向量a＝(3x－1，4)与b＝(1，2)共线，则实数x的值为________．

解析：∵向量a＝(3x－1，4)与b＝(1，2)共线，∴2(3x－1)－4×1＝0，解得x＝1.

答案：1

4．已知点A(3，－4)与点B(－1，2)，点P在直线AB上，且||＝2||，求点P的坐标．

解：设P点坐标为(x，y)，||＝2||.

当P在线段AB上时，＝2，

∴(x－3，y＋4)＝2(－1－x，2－y)，

∴解得

∴P点坐标为.

当P在线段AB延长线上时，＝－2，

∴(x－3，y＋4)＝－2(－1－x，2－y)，

∴解得

∴P点坐标为(－5，8)．

综上所述，点P的坐标为或(－5，8).