高中人教A版 (2019)第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用第二课时导学案

这是一份高中人教A版 (2019)第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用第二课时导学案，共7页。
第二课时　正弦定理如图所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，而且已经测量出了BC的长，也想办法得到了∠ABC与∠ACB的大小．[问题]　你能借助这三个量，求出AB的长吗？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点　正弦定理文字语言在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等符号语言＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆的半径)正弦定理的变形若R为△ABC外接圆的半径，则(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；(3)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；(4)＝2R.　　　　如图，在Rt△ABC中，，，各自等于什么？提示：＝＝＝c.1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)正弦定理只适用于锐角三角形．(　　)(2)在△ABC中，等式asin A＝bsin B总成立．(　　)(3)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a∶b∶c＝A∶B∶C.(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×2．在△ABC中，下列等式总能成立的是(　　)A．acos C＝ccos A　　　　 B．bsin C＝csin AC．absin C＝bcsin B  D．asin C＝csin A解析：选D　由正弦定理易知，选项D正确．3．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则sin B＝(　　)A.  B.C.  D.解析：选A　由＝，故＝，解得sin B＝.故选A.已知两角及一边解三角形[例1]　(链接教科书第47页例7)在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c.[解]　A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.由＝得，c＝＝＝＝4(＋1)．所以A＝45°，c＝4(＋1)．已知两角及一边解三角形的一般步骤　　　 [跟踪训练]在△ABC中，已知B＝45°，C＝60°，c＝1，求最短边的边长．解：因为B＝45°，C＝60°，所以A＝75°，故B角最小，所以b为最短边，由正弦定理＝，得b＝＝＝，故所求的最短边长为.已知两边及一边的对角解三角形[例2]　(链接教科书第47页例8)在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，解此三角形．[解]　由正弦定理＝，知sin A＝＝，∵b<a，∴A＝60°或120°，当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°，∴c＝＝＝；当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°，∴c＝＝＝.故当A＝60°时，C＝75°，c＝；当A＝120°时，C＝15°，c＝.[母题探究]　(变条件)若本例中“B＝45°”变为“A＝60°”其他条件不变，解此三角形．解：由正弦定理＝，知sin B＝＝，∵b<a，∴B＝45°，∴C＝75°，∴c＝＝＝.已知两边及一边的对角解三角形的步骤　　　　 [跟踪训练]在△ABC中，解三角形．(1)b＝4，c＝8，B＝30°；(2)a＝6，b＝6，A＝30°.解：(1)由正弦定理，得sin C＝＝＝1.∵c>b，∴C>30°，∴30°<C<150°，∴C＝90°.∴A＝180°－(B＋C)＝60°，a＝＝4.∴C＝90°，A＝60°，a＝4.(2)由＝，得sin B＝＝＝，∵b>a，∴B>30°，∴30°<B<150°，∴B＝60°或120°.当B＝60°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋60°)＝90°，又＝，∴c＝＝＝＝12；当B＝120°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋120°)＝30°，∴c＝a＝6.∴B＝60°，C＝90°，c＝12或B＝120°，C＝30°，c＝6.判断三角形的形状[例3]　(1)若acos B＝bcos A，则△ABC是________三角形；(2)若acos A＝bcos B，则△ABC是________三角形．[解析]　(1)由正弦定理＝，得＝.又acos B＝bcos A，所以＝，所以＝，所以sin A·cos B＝sin B·cos A，即sin A·cos B－sin B·cos A＝0，故sin(A－B)＝0.因为A，B是三角形内角，所以A－B＝0，则A＝B，故△ABC是等腰三角形．(2)由正弦定理＝，得＝.又acos A＝bcos B，所以＝，所以＝，所以sin A·cos A＝sin B·cos B，所以2sin A·cos A＝2sin B·cos B，即sin 2A＝sin 2B.因为A，B为三角形内角，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，得A＝B或A＋B＝，故△ABC是等腰三角形或直角三角形．[答案]　(1)等腰　(2)等腰或直角利用正弦定理判断三角形形状的方法(1)化边为角．将题目中的所有条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状；(2)化角为边．将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据代数恒等变换得到边的关系(如a＝b，a2＋b2＝c2)，进而确定三角形的形状．[提醒]　本例也可利用余弦定理化成边求解．　　　　 [跟踪训练]　在△ABC中，已知3b＝2asin B，且cos B＝cos C，角A是锐角，则△ABC的形状是(　　)A．直角三角形　　　　　　　 B．等腰三角形C．等腰直角三角形  D．等边三角形解析：选D　由3b＝2asin B，得＝，根据正弦定理，得＝，所以＝，即sin A＝.又角A是锐角，所以A＝60°. 又cos B＝cos C，且B，C都为三角形的内角，所以B＝C. 故△ABC为等边三角形．故选D.三角形解的个数判断在初中我们学习了三角形全等的判定，你还记得三角形全等的判定方法吗？两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即两边和其中一边的对角分别相等不能作为判定两个三角形全等的依据．如图，在△ABC和△ADC中，AC＝AC，CB＝CD，∠CAD＝∠CAB，其中A是CB，CD的对角，△ABC与△ADC不全等．也就是说，已知两边和其中一边的对角解三角形时，解的个数不唯一，分为两解、一解和无解三种情况．[问题探究]1．你能从代数的角度分析解的情况吗？提示：在△ABC中，已知a，b，A，由正弦定理可得sin B＝sin A.(1)当sin B>1时，这样的B不存在，即三角形无解；(2)当sin B＝1时，B＝90°，若A<90°，则三角形有一解，否则无解；(3)当sin B<1时，B有两个(一个为锐角，一个为钝角)，其中设锐角为α，钝角为β，则当A＋α>180°时，三角形无解；当A＋α<180°，且A＋β<180°时，有两解；当A＋α<180°，且A＋β>180°时有一解．2．你能从几何的角度分析解的情况吗？提示：在△ABC中，已知a，b和A，解三角形．当A为锐角时，如图所示．当A为直角或钝角时，如图所示．[迁移应用]1．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝2，b＝，A＝45°，则满足条件的三角形有(　　)A．1个　　　　　　　　 B．2个C．0个  D．无法确定解析：选B　∵bsin A＝×＝，∴bsin A<a<b.∴满足条件的三角形有2个．2．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两个解，则x的取值范围是(　　)A．x>2  B．x<2C．2<x<2  D．2<x<2解析：选C　由题意知a>b，则x>2，又由sin A＝＝<1，可得x<2，∴x的取值范围是2<x<2.故选C.1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是(　　)A.  B.C.  D.解析：选A　根据正弦定理得＝＝.故选A.2．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝(　　)A．4  B．2C.  D.解析：选B　由正弦定理＝，得＝，所以AC＝×＝2.3．在△ABC中，a＝1，b＝，A＝30°，求边c的长．解：由＝，得sin B＝＝.∵a<b，∴B>A＝30°，∴B为60°或120°.①当B＝60°时，C＝180°－60°－30°＝90°.此时，c＝ ＝＝2；②当B＝120°时，C＝180°－120°－30°＝30°. 此时，c＝a＝1.综上知c＝1或2.