2020-2021学年6.4 平面向量的应用第三课时学案设计

这是一份2020-2021学年6.4 平面向量的应用第三课时学案设计，共7页。
第三课时　用余弦定理、正弦定理解三角形(习题课)有关三角形面积的计算[例1]　(链接教科书第53页习题10题)(1)在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，S△ABC＝，则C＝(　　)A．60°或120°　　　　　 B．30°C．60°  D．45°(2)△ABC中，A＝，AB＝，BC＝1，则△ABC的面积等于(　　)A.  B.C.或  D.或[解析]　(1)在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，S△ABC＝AB·ACsin A＝，可得sin A＝1，∴A＝90°.故C＝180°－A－B＝60°.(2)△ABC中，∵BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A，∴1＝3＋AC2－2·AC·，∴AC2－3AC＋2＝0，∴AC＝1或2.∴△ABC的面积为·AB·ACsin A＝××1×＝或××2×＝.故选D.[答案]　(1)C　(2)D三角形面积计算的依据和解题策略(1)依据：一般用公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B进行求解；(2)解题策略：①若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积；②若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解．　　　　 [跟踪训练]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin B＝2sin A，且△ABC的面积为a2sin B，则cos B＝________．解析：由sin B＝2sin A，得b＝2a，由△ABC的面积为a2sin B，得acsin B＝a2sin B，由sin B≠0，知c＝2a，∴cos B＝＝＝.答案：求解平面几何问题角度一　有关线段及夹角的计算[例2]　如图，在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠ABC＝105°，∠C＝60°，BC＝1，CD＝2.(1)求∠CBD的大小；(2)求AB的值．[解]　(1)在△BCD中，由余弦定理，得BD＝＝ ＝.由BC＝1，CD＝2，得BC2＋BD2＝CD2.∴∠CBD＝90°.(2)∠ADC＝360°－∠A－∠ABC－∠C＝360°－45°－105°－60°＝150°，由(1)得∠BDC＝30°.∴∠ADB＝∠ADC－∠BDC＝150°－30°＝120°.在△ABD中，由正弦定理得＝，∴AB＝＝＝.角度二　与面积有关的计算[例3]　如图，已知四边形ABCD中，AB＝2，BC＝CD＝4，DA＝6，且D＝60°，试求四边形ABCD的面积．[解]　连接AC(图略)，在△ACD中，由AD＝6，CD＝4，D＝60°，可得AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos D＝62＋42－2×4×6cos 60°＝28，在△ABC中，由AB＝2，BC＝4，AC2＝28，可得cos B＝＝＝－.又0°<B<180°，故B＝120°.所以四边形ABCD的面积S＝S△ACD＋S△ABC＝AD·CDsin D＋AB·BCsin B＝×4×6sin 60°＋×2×4sin 120°＝8.多边形中计算问题的解题思路(1)正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点．还要善于应用正弦定理、余弦定理．只需通过解三角形，一般问题便能很快解决；(2)解决此类问题的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件．　　　　 [跟踪训练]1．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，AC＝，B＝，∠ACD＝.(1)求sin∠BAC；(2)求DC的长．解：(1)在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝BC2＋BA2－2BC·BAcos B，即BC2＋BC－6＝0，解得BC＝2或BC＝－3(舍去)，由正弦定理，得＝⇒sin∠BAC＝＝.(2)因为AB⊥AD，所以∠CAD＋∠BAC＝，所以cos∠CAD＝sin∠BAC＝，sin∠CAD＝ ＝，所以sin D＝sin＝×＋×＝，由正弦定理，得＝⇒DC＝＝＝.2．已知四边形ABCD满足∠BAD＝90°，∠BCD＝150°，∠DAC＝60°，AC＝2，AD＝＋1.求CD的长和△ABC的面积．解：在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos∠CAD＝6，所以CD＝.在△ACD中，由正弦定理得＝，则sin∠ADC＝，又0°<∠ADC<120°，所以∠ADC＝45°，从而有∠ACD＝75°，由∠BCD＝150°，得∠ACB＝75°，又∠BAC＝30°，所以△ABC为等腰三角形，即AB＝AC＝2，故S△ABC＝1.正、余弦定理的综合应用[例4]　已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c.向量m＝(cos A，cos B)，n＝(b－2c，a)，且m⊥n，(1)求角A；(2)若a＝2，①求的值；②求△ABC面积的最大值；③求△ABC周长的范围．[解]　(1)因为m⊥n，所以m·n＝0，所以(b－2c)cos A＋acos B＝0.即bcos A＋acos B＝2ccos A，由余弦定理得b·＋a·＝2ccos A，即c＝2ccos A，所以cos A＝，又A∈(0，π)，所以A＝.(2)①由正弦定理得＝＝＝＝.所以＝.②由余弦定理得4＝b2＋c2－2bccos ≥2bc－bc＝bc，即bc≤4，当且仅当b＝c时取等号．所以S△ABC＝bcsin A≤×4×＝.即△ABC面积的最大值为.③由②知4＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，所以bc＝.又b＋c≥2，所以(b＋c)2≥4·，即(b＋c)2≤16，所以－4≤b＋c≤4.又b＋c>a＝2，所以2<b＋c≤4.故4<a＋b＋c≤6，即△ABC周长的范围为(4，6]．解三角形综合问题的方法(1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等知识联系在一起，要注意选择合适的方法、知识进行求解；(2)解三角形常与向量、三角函数知识综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解．　　　 [跟踪训练]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若·＝·＝1.(1)求证：A＝B；(2)求边长c的值；(3)若|＋|＝，求△ABC的面积．解：(1)证明：∵·＝·，∴bccos A＝accos B，即bcos A＝acos B.由余弦定理得b·＝a·，∴a＝b，∴A＝B.(2)∵·＝1，∴bccos A＝1.由余弦定理得bc·＝1，即b2＋c2－a2＝2.∵a＝b，∴c2＝2，∴c＝.(3)∵|＋|＝，∴||2＋||2＋2·＝6，即c2＋b2＋2＝6，∴c2＋b2＝4.∵c2＝2，∴b2＝2，b＝.∴△ABC为正三角形．∴S△ABC＝×××sin 60°＝.1．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于(　　)A.  B．5C．6   D．7 解析：选B　连接BD(图略)．在△BCD中，由已知条件，知∠DBC＝＝30°，所以∠ABD＝90°.在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C，知BD2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12.所以BD＝2 ，所以S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×4×2＋×2×2×sin 120°＝5 .2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，又知a＝1，A＝60°，c＝，则△ABC的面积为________．解析：由正弦定理＝，得＝，解得sin C＝.又c<a，所以C<A，且0°<C<180°，所以C＝30°，故B＝90°.所以S＝ac＝×1×＝.答案：3.如图所示，AB⊥BC，CD＝33，∠ACB＝30°，∠BCD＝75°，∠BDC＝45°，则AB的长为________．解析：在△BCD中，∠DBC＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理知，＝，可得BC＝11 .在Rt△ABC中，AB＝BCtan ∠ACB＝11×tan 30°＝11 .答案：11 4．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cos B＝，a＝7，·＝－21，求C.解：∵·＝||||cos(π－B)＝－accos B＝－ac＝－21，∴ac＝35.又∵a＝7，∴c＝5.由余弦定理得b2＝49＋25－2×7×5×＝32，∴b＝4 .由正弦定理得＝，即sin C＝，∴sin C＝＝，又∵c＝5，a＝7，∴c<a，∴C<A，故C为锐角，∴C＝.