高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.1 基本立体图形第一课时学案

第一课时　棱柱、棱锥、棱台

观察下面的图片，这些图片你都不陌生吧．小到精巧的家居装饰，大到宏伟庞大的建筑；从远古的金字塔，到现代的国家大剧院、埃菲尔铁塔，设计师、建筑师们匠心独具，为我们留下了精美绝伦的建筑物，每当看到这些建筑物都会给人以震撼的美．

[问题]　你知道设计师是如何设计这些建筑物的吗？应用到哪些数学知识？

知识点一　空间几何体

1．空间几何体：在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分．如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．

2．多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．

3．旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的．

面数最少的多面体是什么？

提示：四面体．围成一个多面体至少要四个面，所以面数最少的多面体是四面体．

下列实物不能近似看成多面体的是(　　)

A．钻石　　　　　　　 B．骰子

C．足球  D．金字塔

解析：选C　钻石、骰子、金字塔的表面都可以近似看成平面多边形，所以它们都能近似看成多面体．足球的表面不是平面多边形，故不能近似看成多面体．

知识点二　棱柱、棱锥、棱台的结构特征

1．棱柱、棱锥、棱台的关系

在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例)．

2常见的几种四棱柱之间的转化关系

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)棱柱的底面互相平行．(　　)

(2)棱柱的各个侧面都是平行四边形．(　　)

(3)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥．(　　)

(4)棱台的侧棱延长后必交于一点．(　　)

答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√

2．下列棱锥有6个面的是(　　)

A．三棱锥　　　　　　 B．四棱锥　

C．五棱锥  D．六棱锥

解析：选C　由棱锥的结构特征可知，五棱锥有6个面．故选C.

3．下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台(仅填相应序号)．

答案：①③④　⑥　⑤

[例1]　下列说法中，正确的是(　　)

A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点

B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面

C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形

D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形

[解析]　A选项不符合棱柱的结构特征；B选项中，如图①，构造四棱柱ABCD­A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知平面ABB1A1∥平面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；C选项中，如图②，底面ABCD可以是平行四边形；D选项是棱柱的结构特征．故选D.

[答案]　D

判断一个几何体是不是棱柱，关键看它是否具备棱柱的三个本质特征：

(1)有两个面互相平行；

(2)其余各面都是平行四边形；

(3)每相邻两个四边形的公共边都互相平行．

[提醒]　以上三个本质特征缺一不可．　　　　

[跟踪训练]

(多选)下列关于棱柱的说法正确的是(　　)

A．所有的棱柱两个底面都平行

B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面都是四边形，每相邻两个四边形的公共边互相平行

C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱

D．棱柱至少有五个面

解析：选ABD　对于A、B、D，显然是正确的；对于C，棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱．如图所示的几何体就不是棱柱，所以C错误．故选A、B、D.

[例2]　(链接教科书第100页例1)下列三种叙述，正确的有(　　)

①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；

②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；

③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．

A．0个　　　　　　　 B．1个

C．2个  D．3个

[解析]　①中的平面不一定平行于底面，故①错误；②③可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故②③错．故选A.

[答案]　A

判断棱锥、棱台形状的两个方法

(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确；

(2)直接法：

[跟踪训练]

下列关于棱锥、棱台的说法：

①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．

其中说法正确的序号是________．

解析：①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；

②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；

③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．

答案：①②

[例3]　(1)如图是三个几何体的表面展开图，请问各是什么几何体？

(2)如图，在三棱锥V­ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面△AEF，求△AEF周长的最小值．

[解]　(1)如图，①为五棱柱；②为五棱锥；③为三棱台．

(2)将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值．

∵∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，

∴∠AVA1＝90°.

又VA＝VA1＝4，∴AA1＝4，

∴△AEF周长的最小值为4.

多面体展开图问题的解题策略

(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图；

(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推. 同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．

[提醒]　解决多面体表面上两点间的最短距离问题，常常要归结为求平面上两点间的最短距离问题．解决此类问题的方法就是先把多面体侧面展开，再用平面几何的知识来求解．　　　　

[跟踪训练]

1．画出如图所示的几何体的平面展开图(画出其中一种即可)．

解：平面展开图如图所示：

2.如图，在以O为顶点的三棱锥中，过点O的三条棱，任意两条棱的夹角都是30°，在一条棱上有A，B两点，OA＝4，OB＝3，以A，B为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周，求此绳在A，B之间的最短绳长．

解：作出三棱锥的侧面展开图，如图．A，B两点之间的最短绳长就是线段AB的长度．OA＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，所以AB＝5，即此绳在A，B之间最短的绳长为5.

1．有两个面平行的多面体不可能是(　　)

A．棱柱　　　　　　 B．棱锥

C．棱台  D．以上都不正确

解析：选B　因为棱锥的任意两个面都相交，不可能有两个面平行，所以不可能是棱锥．

2．棱台不具备的性质是(　　)

A．两底面相似

B．侧面都是梯形

C．所有棱都相等

D．侧棱延长后都交于一点

答案：C　

3．某人用如图所示的纸片，沿折痕折叠后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处应依次写上(　　)

A．快、新、乐  B．乐、新、快

C．新、乐、快  D．乐、快、新

解析：选A　根据四棱锥图形，正好看到“新年快乐”的字样，可知③处一定是“乐”字，故选A.

4．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，则在正方体表面上，从顶点A到顶点C1的最短距离为________．

解析：将侧面ABB1A1与底面A1B1C1D1展开在同一平面上，连接AC1，则线段AC1的长即为所求．如图，AC1＝2.

答案：2

5．根据如图所示的几何体的表面展开图，画出立体图形．

解：如图是以四边形ABCD为底面，P为顶点的四棱锥．其图形如图所示．