高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积导学案

圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

在日常生活中，我们经常遇到下列各类实物或它们的组合体．

这些物体分别可以抽象出圆柱、圆锥、圆台及球，它们均属于立体几何中的旋转体．

[问题]　你会求上述几何体的表面积及体积吗？

知识点一　圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积

圆柱、圆锥、圆台的关系

(1)侧面积公式间的关系

(2)体积公式间的关系

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)圆锥的侧面展开图为扇形，其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长．(　　)

(2)若圆柱的底面圆的直径与圆柱的高相等，则圆柱的侧面展开图是正方形．(　　)

答案：(1)√　(2)×

2．若圆锥的底面半径为，高为1，则圆锥的体积为(　　)

A.　　　 B.　　　

C．π　　　 D．2π

解析：选C　V＝Sh＝×π×3×1＝π.

3．圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长为6，则其表面积等于(　　)

A．72   B．42π 

C．67π   D．72π

解析：选C　S表＝π(32＋42＋3×6＋4×6)＝67π.故选C.

4．一个高为2的圆柱，底面周长为2π.该圆柱的表面积为________．

解析：由底面周长为2π可得底面半径为1.S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝4π，所以S表＝S底＋S侧＝6π.

答案：6π

知识点二　球的表面积和体积公式

设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍．球的体积V＝πR3．

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)两个球的半径之比为1∶2，则其体积之比为1∶4.(　　)

(2)球的表面积等于它的大圆面积的2倍．(　　)

答案：(1)×　(2)×

2．直径为1的球的体积是(　　)

A．1   B. 

C.   D．π

解析：选B　R＝，故V＝πR3＝×π×＝.

3．表面积为8π的球的半径是________．

解析：S＝4πR2＝8π，故R＝.

答案：

[例1]　如图，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝16，AD＝4.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积．

[解]　以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底半径是4，下底半径是16，母线DC＝＝13.故该几何体的表面积为π(4＋16)×13＋π×42＋π×162＝532π.

[母题探究]

(变设问)在本例条件不变的情况下，求以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积．

解：以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体，如图．

其中圆锥的高为16－4＝12，圆柱的母线长为AD＝4，故该几何体的表面积为2π×5×4＋π×52＋π×5×13＝130π.

解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：

(1)得到空间几何体的平面展开图；

(2)依次求出各个平面图形的面积；

(3)将各平面图形的面积相加．　　　　

[跟踪训练]

1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的表面积为574π，则圆台较小的底面半径为________．

解析：设圆台较小的底面半径为r，那么较大的底面半径为3r，由已知得π(r＋3r)×3＋πr2＋9πr2＝574π，解得r＝7.

答案：7

2.如图，一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，其中有一个高为x cm的内接圆柱．

(1)试用x表示圆柱的侧面积；

(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？

解：(1)S圆柱侧＝2πrx＝2πx＝4πx－x2，x∈(0，6)．

(2)由(1)知当x＝－＝3时，这个二次函数有最大值6π，

∴当圆柱的高为3 cm时，它的侧面积最大为6π cm2.

[例2]　(1)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16π，则圆锥的体积是(　　)

A.　　　　　　　 B.

C．64π   D．128π

(2)如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为(　　)

A．5π   B．6π

C．20π   D．10π

[解析]　(1)设圆锥的底面半径为r，母线长为l，

∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，

∴2r＝ ，即l＝r，

由题意得，侧面积S侧＝πr·l＝πr2＝16π，

∴r＝4. ∴l＝4，高h＝ ＝4.

∴圆锥的体积V＝Sh＝π×42×4＝π，故选A.

(2)用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.

[答案]　(1)A　(2)D

圆柱、圆锥、圆台的体积求法

(1)直接法：根据几何体的结构特征，确定底面积和高，代入体积公式直接求出；

(2)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积；

(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，先求再去．　　　　

[跟踪训练]

1．若一个圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比是(　　)

A．1  B．1∶2

C.∶2  D．3∶4

解析：选D　设圆柱、圆锥的高都为h，底面半径分别为r，R，则有·2Rh＝2rh，所以R＝2r，V圆锥＝πR2h＝πr2h，V圆柱＝πr2h，故V圆柱∶V圆锥＝3∶4.

2．圆台上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是(　　)

A.π  B．2

C.π  D．π

解析：选D　S1＝π，S2＝4π，

∴r＝1，R＝2，S侧＝6π＝π(r＋R)l，

∴l＝2，∴h＝.

∴V＝π(1＋4＋2)×＝π.故选D.

[例3]　△ABC的三个顶点在球O的表面上，且AB＝4，AC＝2，BC＝6.球心O与BC中点的连线长为4.求球的表面积与体积．

[解]　因为AB＝4，AC＝2，BC＝6，

所以AB2＋AC2＝BC2，即△ABC为直角三角形．

所以平面ABC截球所得截面是以BC为直径的圆．

由已知球心O与截面圆心的距离为4，

所以球的半径R＝＝5.所以球的表面积S＝4πR2＝100π，体积V＝πR3＝.

因为球的表面积与体积都是球半径的函数，所以在解答这类问题时，设法求出球的半径是解题的关键．　　　　

[跟踪训练]

若两球的表面积之差为48π，它们的半径之和为6，则两球的体积之差的绝对值为________．

解析：设两个球的半径分别为R，r(R>r)，则由题意得即

整理，得解得故两球的体积之差的绝对值为π×43－π×23＝π(43－23)＝π.

答案：π

[例4]　(链接教科书第119页例4)(1)一球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的体积为________；

(2)在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体积之比．

(1)[解析]　由题意可知球是正方体的内切球，因此球的半径为1，其体积为π.

[答案]　π

(2)[解]　作正方体对角面的截面，如图所示，设半球的半径为R，正方体的棱长为a，那么CC′＝a，OC＝.

在Rt△C′CO中，由勾股定理，得CC′2＋OC2＝OC′2，

即a2＋＝R2，∴R＝a.

从而V半球＝πR3＝π＝πa3，V正方体＝a3.

因此V半球∶V正方体＝πa3∶a3＝π∶2.

球的切、接问题处理策略及常用结论

(1)在处理与球有关的切接问题时，一般要通过作一适当的截面，将立体问题转化为平面问题解决，而这类截面往往指的是圆锥的轴截面、球的大圆等；

(2)几个常用结论

①球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；

②球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径；

③球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；

④球与棱锥相切，则可利用V棱锥＝S底h＝S表R，求球的半径R.　　　　

[跟踪训练]

已知四面体S­ABC的各棱长均为，求该四面体内切球及外接球的体积．

解：如图，在四面体S­ABC中，取底面△ABC的中心为O1，连接SO1，O1A，则SO1⊥O1A.

∵AO1＝××＝1，

∴SO1＝，∴四面体的体积为V＝××()2×＝.

设内切球球心为O，半径为r，连接OA，OB，OC，

∴VS­ABC＝VO­SAB＋VO­SBC＋VO­SAC＋VO­ABC

＝S表·r＝×4××()2×r＝r＝，

∴r＝，

∴内切球的体积为V内＝r3＝×＝.

设外接球的半径为R，则R＝OS＝SO1－OO1＝SO1－r＝－＝，

∴外接球的体积为V外＝πR3＝×＝.

1．已知球O的表面积为16π，则球O的体积为(　　)

A.π  B.π

C.π  D．π

解析：选D　因为球O的表面积是16π，所以球O的半径为2，所以球O的体积为×23＝π，故选D.

2．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是(　　)

A．4π  B．3π

C．2π  D．π

解析：选C　底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故选C.

3．已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝________．

解析：设底面半径为r，则πr2×4＝4π，解得r＝，即底面半径为.

答案：

4．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积S1和球的表面积S2之比为________．

解析：画出轴截面如图所示，设球的半径为r，则OD＝r，PO＝2r，∠PDO＝90°，∴∠CPB＝30°.又∠PCB＝90°，∴CB＝PC＝r，PB＝2r，∴圆锥的侧面积S1＝π×r×2r＝6πr2，球的表面积S2＝4πr2，∴S1∶S2＝3∶2.

答案：3∶2