高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行第一课时学案设计

第一课时　直线与平面平行的判定

如图所示，如果将乒乓球台的台面抽象成平面α，将乒乓球网的上边缘抽象成直线l，则直线l与平面α具有怎样的位置关系？如果将乒乓球网的下边缘抽象成直线m，并把m看成平面α内的直线，则直线l与直线m具有怎样的位置关系？

[问题]　你能给出判定的依据吗？

知识点　直线与平面平行的判定定理

线面平行判定定理的再理解

(1)线面平行的判定定理中的三个条件“a⊄α，b⊂α，a∥b”缺一不可；

(2)线面平行的判定定理的作用：证明线面平行；

(3)应用时，只需在平面内找到一条直线与已知直线平行即可．　　　　

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面一定平行．(　　)

(2)若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.(　　)

(3)若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点．(　　)

(4)平行于同一平面的两条直线平行．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

2．能保证直线a与平面α平行的条件是(　　)

A．b⊂α，a∥b

B．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c

C．b⊂α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD

D．a⊄α，b⊂α，a∥b

解析：选D　由线面平行的判定定理可知，D正确．

　　[例1]　如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是(　　)

A．相交　　　　　　　　 B．b∥α

C．b⊂α  D．b∥α或b⊂α

[解析]　由a∥b，且a∥α，知b∥α或b⊂α.

[答案]　D

线面平行的判定定理必须具备三个条件

(1)直线a在平面α外，即a⊄α；

(2)直线b在平面α内，即b⊂α；

(3)两直线a，b平行，即a∥b，这三个条件缺一不可．　　　　

[跟踪训练]

　在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则下列直线中与平面ACE平行的是(　　)

A．BA1  B．BD1

C．BC1  D．BB1

解析：选B　如图所示，连接BD，设AC∩BD＝O，则O是BD的中点，连接OE，∵在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为DD1的中点，

∴OE∥BD1，

又OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，

∴BD1∥平面ACE.

[例2]　(链接教科书第137页例2)

如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且＝.求证：MN∥平面SBC.

[证明]　如图，连接AN并延长交BC于P，连接SP.

因为AD∥BC，所以＝，

又因为＝，

所以＝，所以MN∥SP，

又MN⊄平面SBC，SP⊂平面SBC，所以MN∥平面SBC.

应用判定定理证明线面平行的步骤

第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：

①空间直线平行关系的传递性法；

②三角形中位线法；

③平行四边形法；

④线段成比例法．

[提醒]　线面平行判定定理应用的误区

(1)条件罗列不全，最易忘记的条件是“直线在平面外”；

(2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线．　　　　

[跟踪训练]

1．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.

证明：如图，连接BC1，

则由E，F分别是BC，CC1的中点，知EF∥BC1.

又AB∥A1B1∥D1C1，且AB＝A1B1＝D1C1，

所以四边形ABC1D1是平行四边形，

所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1.

又EF⊄平面AD1G，AD1⊂平面AD1G，

所以EF∥平面AD1G.

2.如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点．求证：MN∥平面PAD.

证明：如图，取PD的中点G，连接GA，GN.

∵G，N分别是△PDC的边PD，PC的中点，

∴GN∥DC，GN＝DC.

∵M为平行四边形ABCD的边AB的中点，

∴AM＝DC，AM∥DC，

∴AM∥GN，AM＝GN，

∴四边形AMNG为平行四边形，

∴MN∥AG.

又∵MN⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，

∴MN∥平面PAD.

1.如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，E，F分别为底面ABCD和底面A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有(　　)

A．1个　　　　　　　　 B．2个

C．3个  D．4个

解析：选D　由直线与平面平行的判定定理知，EF与平面AB′、平面BC′、平面CD′、平面AD′均平行．故与EF平行的平面有4个．故选D.

2．若M，N分别是△ABC边AB，AC的中点，则MN与过直线BC的平面β的位置关系是(　　)

A．MN∥β

B．MN与β相交或MN⊂β

C．MN∥β或MN⊂β

D．MN∥β或MN与β相交或MN⊂β

解析：选C　若平面β是△ABC所在的平面，则MN⊂β.若MN⊄β，则MN∥β.故选C.

3.如图，在五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，求证：MN∥平面ADE.

证明：∵M，N分别是BF，BC的中点，

∴MN∥CF.又∵四边形CDEF为矩形，

∴CF∥DE.∴MN∥DE.

又MN⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，

∴MN∥平面ADE.