高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行第二课时导学案

第二课时　直线与平面平行的性质

当直线l∥平面α时，l与α没有公共点．此时，若m⊂α，则l∩m＝∅.这就是说，l与m的位置关系是平行或异面．

[问题]　那么在什么情况下l与m平行呢？

知识点　直线与平面平行的性质定理

对线面平行性质定理的再理解

(1)线面平行的性质定理的条件有三个：

①直线a与平面α平行，即a∥α；

②平面α，β相交于一条直线，即α∩β＝b；

③直线a在平面β内，即a⊂β. 三个条件缺一不可．

(2)定理的作用：

①线面平行⇒线线平行；

②画一条直线与已知直线平行．　　　　

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若直线l∥平面α，且b⊂α，则l∥b.(　　)

(2)若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，则a∥b.(　　)

答案：(1)×　(2)×

2．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是(　　)

A．b∥α　　　　　　　 B．b与α相交

C．b⊂α  D．b∥α或b与α相交

解析：选D　由题意得b∥α和b与α相交都有可能．故选D.

3.如图，在三棱锥S ­ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则(　　)

A．EF与BC相交

B．EF∥BC

C．EF与BC异面

D．以上均有可能

解析：选B　∵平面SBC∩平面ABC＝BC，EF⊂平面SBC，又EF∥平面ABC，∴EF∥BC.故选B.

[例1]　(链接教科书第138页例3)如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD 的平面截此四面体．

求证：截面 MNPQ 是平行四边形．

[证明]　因为AB∥平面 MNPQ，

平面 ABC∩平面 MNPQ＝MN，且 AB⊂平面 ABC，

所以由线面平行的性质定理，知 AB∥MN.

同理可得PQ∥AB.由基本事实4可得MN∥PQ.

同理可得 MQ∥NP.

所以截面四边形 MNPQ 为平行四边形．

[母题探究]

(变条件，变设问)若将本例变为：如图所示，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交DP于F.求证：四边形BCFE是梯形．

证明：因为四边形ABCD为矩形，所以BC∥AD，

因为AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，

所以BC∥平面PAD.

因为平面BCFE∩平面PAD＝EF，且BC⊂平面BCFE，所以BC∥EF.

因为AD＝BC，AD≠EF，所以BC≠EF，

所以四边形BCFE是梯形．

1．利用线面平行性质定理解题的步骤

2．运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面的交线，然后确定线线平行．　　　　

[跟踪训练]

过正方体ABCD­A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1.求证：BB1∥EE1.

证明：如图所示， 因为CC1∥BB1，CC1⊄平面BEE1B1，BB1⊂平面BEE1B1，

所以CC1∥平面BEE1B1，

又因为平面CEE1C1过CC1且交平面BEE1B1于EE1，

所以CC1∥EE1.

由于CC1∥BB1，所以BB1∥EE1.

[例2]　如图，在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD是菱形，点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且＝λ，SA∥平面BEF.求实数λ的值．

[解]　如图，连接AC，设AC∩BE＝G，连接FG，则平面SAC∩平面EFB＝FG.

∵SA∥平面BEF，SA⊂平面SAC，平面SAC∩平面EFB＝FG，

∴SA∥FG，

∴＝，

∵AE∥BC，

∴△GEA∽△GBC，

∴＝＝，

∴＝＝，即SF＝SC，

∴λ＝.

利用线面平行的性质定理计算有关问题的三个关键点

(1)根据已知线面平行关系推出线线平行关系；

(2)在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系；

(3)利用所得关系计算求值．　　　　

[跟踪训练]

如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，求线段EF的长度．

解：∵EF∥平面AB1C，

又平面ADC∩平面AB1C＝AC，EF⊂平面ADC，

∴EF∥AC，∵E是AD的中点，∴F为CD的中点．

∴EF＝AC＝×2＝.

1．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为(　　)

A．都平行

B．都相交且一定交于同一点

C．都相交但不一定交于同一点

D．都平行或交于同一点

解析：选A　因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质定理知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A.

2.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是(　　)

A．平行　　　　　 B．相交

C．异面  D．平行或异面

解析：选A　由长方体性质，知EF∥AB.

∵AB⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，

∴EF∥平面ABCD.

∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，

∴EF∥GH.

又∵EF∥AB，∴GH∥AB.故选A.

3.如图所示，E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且EH∥FG.求证：EH∥BD.

证明：因为EH∥FG，EH⊄平面BCD，FG⊂平面BCD，

所以EH∥平面BCD.

又因为EH⊂平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，

所以EH∥BD.