高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.5 空间直线、平面的平行第二课时学案及答案

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第二课时　平面与平面平行的性质新课程标准解读核心素养1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面平行的性质定理，并加以证明逻辑推理2.能用平面与平面平行的性质定理解决一些简单的空间线面位置关系问题直观想象 当平面α∥平面β时，α与β没有公共点，此时，若l⊂α，m⊂β，则l∩m＝∅，这就是说，l与m的位置关系是异面或平行．[问题]　那么在什么情况下，l与m平行呢？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点　两个平面平行的性质定理文字语言两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b图形语言 对两平面平行性质定理的再理解(1)用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：①平面α和平面β平行，即α∥β；②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.以上三个条件缺一不可．(2)在应用这个定理时，要防止出现“两个平面平行，则一个平面内的直线平行于另一个平面一切直线”的错误．　　　　 　如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线和另一个平面有什么位置关系？提示：平行．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若平面α∥平面β，l⊂平面β，m⊂平面α，则l∥m.(　　)(2)若平面α∥平面β，平面γ∥平面β，则平面α∥平面γ.(　　)答案：(1)×　(2)√2．已知长方体ABCD­A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是(　　)A．平行　　　　　　　 B．相交C．异面  D．不确定解析：选A　因为平面ABCD∥平面A′B′C′D′，所以EF∥E′F′.故选A.两平面平行性质定理的应用[例1]　如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.[证明]　因为BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D，所以BE∥平面AA1D.因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D，BC⊄平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.因为BE∩BC＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，所以平面BCE∥平面AA1D.又因为平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D.应用面面平行性质定理的基本步骤　　　　 [跟踪训练]如图，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在▱A′B′C′D′所确定的平面α外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行．求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：在▱A′B′C′D′中，A′B′∥C′D′，∵A′B′⊄平面C′D′DC，C′D′⊂平面C′D′DC，∴A′B′∥平面C′D′DC.同理可得A′A∥平面C′D′DC.又A′A∩A′B′＝A′，∴平面A′B′BA∥平面C′D′DC.∵平面ABCD∩平面A′B′BA＝AB，平面ABCD∩平面C′D′DC＝CD，∴AB∥CD.同理可得AD∥BC.∴四边形ABCD是平行四边形.与两平面平行的性质定理有关的计算[例2]　(链接教科书第141页例5)设平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，求SD的长．[解]　根据题意作出如下图形：∵AB，CD交于S点，∴AB与CD确定一个平面，又∵平面α∥平面β，∴AC∥DB，∴△SAC∽△SBD，∴＝，∵AS＝8，BS＝6，CS＝12，∴＝，∴SD＝9.关于平行平面分线段成比例定理类比平面内的平行直线分线段成比例定理，在空间中有平行平面分线段成比例定理．　　　　 [跟踪训练]如图，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.(1)求证：AC∥BD；(2)已知PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求PD的长；(3)若点P在α与β之间，试在(2)的条件下求CD的长．解：(1)证明：因为PB∩PD＝P，所以直线PB和PD确定一个平面，记为γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，所以AC∥BD.(2)由(1)得AC∥BD，所以＝，即＝.所以CD＝ cm，所以PD＝PC＋CD＝(cm)．(3)如图，由(1)得AC∥BD，所以△PAC∽△PBD.所以＝，即＝.所以＝，所以PD＝ cm.所以CD＝PC＋PD＝3＋＝(cm).线线、线面、面面平行的转化[例3]　如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点．设F是棱AB的中点．求证：直线EE1∥平面FCC1.[证明]　因为F为AB的中点，所以AB＝2AF，又因为AB＝2CD，所以CD＝AF，因为AB∥CD，所以CD∥AF，所以AFCD为平行四边形，所以FC∥AD，又FC⊄平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1，所以FC∥平面ADD1A1.因为CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，所以CC1∥平面ADD1A1，又FC∩CC1＝C，所以平面ADD1A1∥平面FCC1.又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.空间中各种平行关系相互转化的示意图[注意]　判定是用低一级的平行关系证明高一级的平行关系；性质是用高一级的平行关系推出低一级的平行关系．　　　　 [跟踪训练]在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB，G，H分别是EC和FB的中点．求证：GH∥平面ABC.证明：如图，取FC的中点I，连接GI，HI，则有GI∥EF，HI∥BC.因为EF∥DB，所以GI∥BD.因为GI∩HI＝I，BD∩BC＝B，GI，HI⊂平面GHI，BD，BC⊂平面ABC，所以平面GHI∥平面ABC.因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.1．如图，过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点B1，D1与棱AB的中点P的平面与底面ABCD所在平面的交线记为l，则l与B1D1的位置关系为________．解析：如图所示，连接D1P，B1P，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D1，平面B1D1P∩平面ABCD＝l，所以l∥B1D1.答案：平行2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BC，C1D1的中点．求证：EF∥平面BB1D1D.证明：如图：取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，则有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，且FE1∩EE1＝E1，B1D1∩BB1＝B1，FE1，EE1⊂平面EE1F，B1D1，BB1⊂平面BB1D1D，所以平面EE1F∥平面BB1D1D.又EF⊂平面EE1F，所以EF∥平面BB1D1D.