人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算第二课时导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算第二课时导学案，共7页。
第二课时　直线与平面垂直的性质新课程标准解读核心素养1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系数学抽象2.归纳出直线与平面垂直的性质定理逻辑推理3.了解直线与平面、平面与平面的距离直观想象 [问题]　(1)如果直线a垂直于一个平面α，直线b与直线a平行，那么直线b与平面α是否垂直？猜测结果并说明理由；(2)如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线具有怎样的位置关系？猜测结果并说明理由．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点一　直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言⇒a∥b图形语言作用①线面垂直⇒线线平行；②作平行线 在长方体ABCD­A′B′C′D′中，棱AA′，BB′所在直线与平面ABCD位置关系如何？这两条直线又有什么样的位置关系？提示：棱AA′，BB′所在直线都与平面ABCD垂直；这两条直线互相平行．1．已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是(　　)A．b∥α　　　　　　　 B．b⊂αC．b⊥α  D．b与α相交解析：选C　由线面垂直的性质定理可知，当b⊥α，a⊥α时，a∥b.故选C.2.如图，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝__________. 解析：∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，∴AF∥DE.∵AF＝DE，∴四边形ADEF是平行四边形．∴EF＝AD＝6.答案：6知识点二　线面距与面面距1．直线与平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离．2．平面与平面的距离：两个平面平行时，其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)垂直于同一条直线的两个平面平行．(　　)(2)到已知平面距离相等的两条直线平行．(　　)答案：(1)√　(2)×2．已知在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，则点C到平面BDD1B1的距离为(　　)A．1  B.C．2  D．2解析：选B　如图，连接AC，与DB交于点O，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，∵DB⊥AC，BB1⊥AC，BB1∩DB＝B，∴AC⊥平面BDD1B1.∴点C到平面BDD1B1的距离为CO.∵AB＝2，∴AC＝2，∴CO＝AC＝.3．线段AB在平面α的同侧，点A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．解析：如图，设AB的中点为M，分别过A，M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1，则由线面垂直的性质可知，AA1∥MM1∥BB1，四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1为其中位线，∴MM1＝4.答案：4直线与平面垂直的性质应用[例1]　(链接教科书第155页练习3题)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1.[证明]　因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D.又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.证明线线平行常用的方法(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；(2)利用三线平行基本事实：证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．　　　　 [跟踪训练]如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.证明：因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD.因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.空间中的距离问题[例2]　如图，已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG＝2，E，F分别是AB，AD的中点，求点B到平面GEF的距离．[解]　如图，连接BD，AC，EF和BD分别交AC于H，O，连接GH，作OK⊥GH于点K.∵四边形ABCD为正方形，E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD，H为AO的中点．∵BD∥EF，BD⊄平面GFE，∴BD∥平面GFE.∴点B与平面GEF的距离就是点O到平面GEF的距离．∵BD⊥AC，∴EF⊥AC.∵GC⊥平面ABCD，∴GC⊥EF.∵GC∩AC＝C，∴EF⊥平面GCH.∵OK⊂平面GCH，∴EF⊥OK.∵OK⊥GH，GH∩EF＝H，∴OK⊥平面GEF，即OK的长就是点B到平面GEF的距离．∵正方形ABCD的边长为4，CG＝2，∴AC＝4，HO＝，HC＝3.在Rt△HCG中，HG＝＝.在Rt△GCH中，OK＝＝.故点B到平面GEF的距离为.[母题探究](变设问)若本例条件不变，如何求直线BD到平面GEF的距离呢？解：先证明BD∥平面GEF，将直线到平面的距离转化为求点O到平面的距离，过程和答案与例题一致．求点到平面的距离一般有两种方法(1)构造法：根据定义构造垂直于平面的直线，确定垂足位置，将所求线段化归到三角形中求解；(2)等积变换法：将所求距离看作某个几何体(多为棱锥)的高，利用体积相等建立方程求解．　　　　 [跟踪训练]已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为，平面AB1D1到平面BC1D的距离为(　　)A.　　　　　　　　 B.C.  D．解析：选C　因为两平面平行，所以原问题等价于求解点C1到平面AB1D1的距离h，由等体积法可得VC1­AB1D1＝VA­B1C1D1，即h·××22×sin 60°＝××××，解得h＝，即平面AB1D1到平面BC1D的距离为.直线与平面垂直关系的综合应用[例3]　斜边为AB的直角三角形ABC，PA⊥平面ABC.AE⊥PB，AF⊥PC，E，F分别为垂足，如图．(1)求证：EF⊥PB；(2)若直线l⊥平面AEF，求证：PB∥l.[证明]　(1)因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.又因为△ABC为直角三角形，所以BC⊥AC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.又因为AF⊂平面PAC，所以BC⊥AF.又AF⊥PC，且PC∩BC＝C，所以AF⊥平面PBC.又PB⊂平面PBC，所以AF⊥BP.又AE⊥PB，且AE∩AF＝A，所以PB⊥平面AEF.又EF⊂平面AEF，所以EF⊥PB.(2)由(1)知，PB⊥平面AEF，而l⊥平面AEF，所以PB∥l.线线、线面垂直问题的解题策略(1)证明线线垂直，一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面，为此分析题设，观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面；(2)证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线，这一点在解题时一定要体现出来．　　　　 [跟踪训练]如图所示，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4.(1)求证：AC⊥平面BCE；(2)求证：AD⊥AE.证明：(1)在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4，所以AC＝BC＝2，所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC.又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BE∩BC＝B，所以AC⊥平面BCE.(2)因为AF⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以AF⊥AD.又∠DAB＝90°，所以AB⊥AD.又AF⊂平面ABEF，AB⊂平面ABEF，AF∩AB＝A，所以AD⊥平面ABEF.又AE⊂平面ABEF，所以AD⊥AE.1．若直线a⊥直线b，且a⊥平面α，则(　　)A．b⊥α　　　　　　　 B．b⊂αC．b∥α  D．b∥α或b⊂α解析：选D　当b⊂α时，a⊥α，则a⊥b；当b∥α时，a⊥α，则a⊥b；当b与α相交时，a⊥α，则a与b不垂直．因为直线a⊥b，且a⊥α，所以b∥α或b⊂α，故选D.2.如图，▱ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝(　　)A．2  B．3C.  D．解析：选D　因为四边形ADEF为平行四边形，所以AF∥DE且AF＝DE. 因为AF⊥平面ABCD，所以DE⊥平面ABCD.所以DE⊥DC.因为AF＝2，所以DE＝2.又CD＝3，所以CE＝ ＝＝.故选D.3.如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l.证明：因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.由线面垂直的性质定理，得a∥l.