人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示第一课时导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示第一课时导学案，共6页。
第一课时　平面与平面垂直的判定新课程标准解读核心素养1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系数学抽象2.了解二面角的相关概念，平面与平面垂直的定义逻辑推理3.归纳出平面与平面垂直的判定定理数学运算如图所示，笔记本电脑在打开的过程中，会给人以面面“夹角”变大的感觉．[问题]　你认为应该怎样刻画不同的面面“夹角”呢？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点一　二面角1．定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．2．概念二面角的棱二面角的面记法AB(l)α，β二面角α­AB­β；二面角α­l­β；二面角P­l­Q；二面角P­AB­Q 3．二面角的平面角(1)定义：在二面角α­l­β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角；(2)范围：0°≤α≤180°；(3)直二面角：平面角是直角的二面角．　二面角与平面几何中的角有什么区别？提示：平面几何中的角是从一点出发的两条射线组成的图形；二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补．(　　)(2)二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．(　　)答案：(1)√　(2)√2.如图所示的二面角可记为(　　)A．α­β­l　　　　　 B．M­l­NC．l­M­N  D．l­β­α解析：选B　根据二面角的记法规则可知B正确．故选B.3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，二面角D1­AB­D的平面角的大小是________．解析：∵AB⊥平面ADD1A1，∴AB⊥AD，AB⊥AD1，∴∠D1AD为二面角D1­AB­D的平面角．易知∠D1AD＝45°.答案：45°知识点二　平面与平面垂直1．平面与平面垂直的定义(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直；(2)画法：(3)记作：．2．平面与平面垂直的判定定理文字语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直符号语言l⊥α，l⊂β⇒α⊥β图形语言 1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)组成二面角的平面角的两边所在直线确定的平面与二面角的棱垂直．(　　)(2)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥β.(　　)(3)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则该直线也垂直于另一平面．(　　)答案：(1)√　(2)√　(3)√2．直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是(　　)A．平行  B．可能重合C．垂直  D．相交不垂直解析：选C　由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.3．在长方体ABCD­A1B1C1D1的六个面中，与平面ABCD垂直的面有(　　)A．1个  B．3个C．4个  D．5个解析：选C　与平面ABCD垂直的平面有平面ABB1A1，平面BCC1B1，平面CDD1C1，平面DAA1D1，共4个．二面角大小的计算[例1]　如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.(1)求二面角A­PD­C的大小；(2)求二面角B­PA­C的大小．[解]　(1)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.又四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD.PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.又CD⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.∴二面角A­PD­C的大小为90°.(2)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA.∴∠BAC为二面角B­PA­C的平面角．又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°.即二面角B­PA­C的大小为45°.求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”．[注意]　作平面角时，要清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要，选择特殊点作平面角的顶点．　　　　 [跟踪训练]如图，已知D，E分别是正三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱AA1和BB1上的点，且A1D＝2B1E＝B1C1.设平面DEC1与平面A1B1C1相交于直线l，求二面角A1­l­D的大小．解：如图所示，延长DE交A1B1的延长线于点F，连接C1F，则F是平面DEC1与平面A1B1C1的公共点，C1F为这两个平面的交线l.因此，所求二面角A1­l­D即为二面角D­C1F­A1.∵A1D∥B1E，且A1D＝2B1E，∴E，B1分别为DF，A1F的中点．∵A1B1＝B1C1＝B1F，∴FC1⊥A1C1.∵CC1⊥平面A1B1C1，FC1⊂平面A1B1C1，∴CC1⊥FC1.又A1C1，CC1为平面AA1C1C内的两条相交直线，∴FC1⊥平面AA1C1C.∵DC1⊂平面AA1C1C，∴FC1⊥DC1.∴∠DC1A1是二面角D­C1F­A1的平面角．由A1D＝B1C1知A1D＝A1C1，则∠DC1A1＝45°.故所求二面角的大小为45°.平面与平面垂直的证明 [例2]　(链接教科书第157页例7)如图所示，在四面体ABCS 中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.求证：平面ABC⊥平面SBC.[证明]　法一(利用定义证明)：因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB和△ASC是等边三角形，则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形．取BC的中点D，如图所示，连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC，所以∠ADS为二面角A­BC­S的平面角．在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，所以SD＝a，BD＝＝a.在Rt△ABD中，AD＝a，在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2，所以∠ADS＝90°，即二面角A­BC­S为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC.法二(利用判定定理)：因为SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，所以SA＝AB＝AC，所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心．因为△SBC为直角三角形，所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，所以AD⊥平面SBC.又因为AD⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.证明面面垂直常用的方法(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．　　　　 [跟踪训练]如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点．证明：平面BDC1⊥平面BDC.证明：由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1⊂平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.又DC1⊂平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.1．下列命题中正确的是(　　)A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥βC．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥βD．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β解析：选C　当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知，B、D错，C正确．2.如图，在四面体P­ABC中，△ABC与△PBC是边长为2的正三角形，PA＝3，D为PA的中点，则二面角D­BC­A的大小为________．解析：取BC的中点，记为E，连接EA，ED，EP(图略)．∵△ABC与△PBC是边长为2的正三角形，∴BC⊥AE，BC⊥PE，又AE∩PE＝E，AE，PE⊂平面PAE，∴BC⊥平面PAE.又DE⊂平面PAE，∴BC⊥DE，∴∠AED即二面角D­BC­A的平面角．又由条件，知AE＝PE＝AB＝，AD＝PA＝，∴DE⊥PA，∴sin∠AED＝＝.又易知∠AED为锐角，∴∠AED＝60°，即二面角D­BC­A的大小为60°.答案：60°3．如图，在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC.证明：∵PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PC⊥BD.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又PC∩AC＝C，PC，AC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC.∵BD⊂平面PBD，∴平面PDB⊥平面PAC.