人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示第二课时导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示第二课时导学案，共5页。
第二课时　平面与平面垂直的性质新课程标准解读核心素养1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系直观想象2.归纳出平面与平面垂直的性质定理逻辑推理 (1)在教室里，黑板所在平面与地面所在平面垂直，黑板的左右两边也与地面垂直；(2)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直，直线A1A垂直于其交线AD.[问题]　通过上述实例，你能总结出面面垂直的一条性质吗？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点　平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直符号语言α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β图形语言 对面面垂直的性质定理的再理解(1)定理成立的条件有三个：①两个平面互相垂直；②直线在其中一个平面内；③直线与两平面的交线垂直；(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直；(3)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．　　　　 　如果α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线，正确吗？提示：正确．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若平面α⊥平面β，则平面α内所有直线都垂直于平面β.(　　)(2)若平面α⊥平面β，则平面α内一定存在直线平行于平面β.(　　)(3)若平面α不垂直于平面β，则平面α内一定不存在直线垂直于平面β.(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)√2．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________．解析：因为α⊥β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，所以n⊥α.又m⊥α，所以m∥n.答案：平行平面与平面垂直性质定理的应用[例1]　(链接教科书第160页例9，例10)如图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．△PAD为正三角形，其所在平面垂直于平面ABCD.若G为AD边的中点．求证：平面PBG⊥平面PAD.[证明]　∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形．∵G为AD边的中点，∴BG⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD，BG⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.∵BG⊂平面PBG，∴平面PBG⊥平面PAD.应用面面垂直性质定理要注意的问题应用面面垂直性质定理证明相关问题时，一般需要作辅助线——过其中一个平面内一点作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后，进一步转化为线线垂直． [跟踪训练]1.如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1，求证：CF⊥平面BDE.证明：如图，设AC∩BD＝G，连接EG，FG.由AB＝易知CG＝1，则EF＝CG＝CE.又EF∥CG，所以四边形CEFG为菱形，所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF，所以BD⊥CF.又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.2.如图，在平行四边形ABCD中，BD＝2，AB＝2，AD＝4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.求证：AB⊥DE.证明：在△ABD中，∵AB＝2，AD＝4，BD＝2，∴AB2＋BD2＝AD2，∴AB⊥BD.∵平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面EBD.∵DE⊂平面EBD，∴AB⊥DE.垂直关系的转化[例2]　如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，点E为垂足．(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当点E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．[证明]　(1)如图，在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于点F.∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC.∵PA⊂平面PAC，∴DF⊥PA.作DG⊥AB于点G，同理可证DG⊥PA.∵DG，DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.(2)如图，连接BE并延长交PC于点H.∵点E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE.又AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，∴PC⊥AE.∵AE∩BE＝E，∴PC⊥平面ABE.又AB⊂平面ABE，∴PC⊥AB.由(1)知PA⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，∴PA⊥AB.∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC，∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．垂直关系的转化在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：　　　　 [跟踪训练]　如图①，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2.将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到三棱锥D­ABC，如图②所示．求证：BC⊥平面ACD.证明：在题图①中，∵∠ADC＝90°，AD＝CD＝2，∴AC＝2.又CD∥AB，AB＝4，∴BC＝2，从而AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC.法一：在题图②中取AC的中点O，连接OD(图略)，则DO⊥AC.∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，OD⊂平面ACD，∴OD⊥平面ABC，∴OD⊥BC.又AC⊥BC，AC∩OD＝O，∴BC⊥平面ACD.法二：∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，BC⊥AC，∴BC⊥平面ACD.1．已知平面α⊥平面β，直线l⊥平面α，则l与β的位置关系是(　　)A．垂直　　　　　　　　 B．平行C．l⊂β  D．平行或l⊂β解析：选D　如图l∥β或l⊂β.故选D.2．如图所示，三棱锥P­ABC中，侧面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，则△ABC是________三角形．解析：设P在平面ABC上的射影为O，∵平面PAB⊥底面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴O∈AB.∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心，且是AB的中点，∴△ABC是直角三角形．答案：直角3.如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，BC＝CC1，平面A1BC1⊥平面BCC1B1.证明：平面AB1C⊥平面A1BC1.证明：在三棱柱ABC­A1B1C1中，四边形BCC1B1为平行四边形，因为BC＝CC1，所以四边形BCC1B1为菱形，所以B1C⊥BC1，又平面A1BC1⊥平面BCC1B1，且平面A1BC1∩平面BCC1B1＝BC1，B1C⊂平面BCC1B1，所以B1C⊥平面A1BC1，因为B1C⊂平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1.