高中数学10.1 随机事件与概率学案

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有限样本空间与随机事件新课程标准解读核心素养1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义数学抽象2.理解随机事件与样本点的关系数学建模体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同的小球标上号码，分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，然后放入摇奖器中经过充分搅拌后先后摇出两个小球．[问题]　观察该球的号码，你知道这个试验的结果有几种情况吗？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点一　随机试验及样本空间1．随机试验的概念和特点(1)随机试验：我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，常用字母表示；(2)随机试验的特点：①试验可以在相同条件下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．2．样本点和样本空间 定义字母表示样本点我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点用表示样本点样本空间全体样本点的集合称为试验E的样本空间用表示样本空间有限样本空间如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn} 对样本点和样本空间的再理解(1)样本点是指随机试验的每个可能的基本结果，全体样本点的集合称为试验的样本空间；(2)只讨论样本空间为有限集的情况，即有限样本空间．　　　　 1．随机试验可以重复吗？提示：可以重复．2．如何确定试验的样本空间？提示：确定试验的样本空间就是写出试验的所有可能的结果，并写成Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}的形式．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)试验的样本点的个数是有限的．(　　)(2)某同学竞选本班班长成功是随机事件．(　　)(3)连续抛掷一枚硬币2次，“(正面，反面)，(反面，正面)”是同一个样本点．(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)×2．从标有1，2，3，4，5的5张卡片中任取两张，观察取出的卡片上的数字．(1)写出这个试验的样本空间；(2)求这个试验的样本点的总数；(3)“数字之和为5”这一事件包含哪几个样本点？解：(1)这个试验的样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)}((1，2)表示抽出标有1，2的两张卡片)．(2)样本点的总数是10.(3)“数字之和为5”这一事件包含以下两个样本点：(1，4)，(2，3)．知识点二　三种事件的定义随机事件我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生必然事件Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件不可能事件空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件 1．(多选)下列事件中是随机事件的是(　　)A．连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面朝上B．异性电荷相互吸引C．在标准大气压下，水在1 ℃结冰D．买一注彩票中了特等奖解析：选AD　A、D是随机事件，B为必然事件，C为不可能事件．2．从含有8件正品、2件次品的10件产品中，任意抽取3件，则必然事件是(　　)A．3件都是正品　　　　　 B．至少有1件次品C．3件都是次品  D．至少有1件正品解析：选D　将抽到正品记为1，次品记为0，则样本空间Ω＝{(1，1，0)，(1，0，0)，(1，1，1)}，因此至少有1件正品为必然事件．3．在1，2，3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么下列事件是不可能事件的是(　　)A．3个数字相邻  B．3个数字全是偶数C．3个数字的和小于5  D．3个数字两两互质解析：选C　从10个数字中任取3个数字，这3个数字的和大于或等于6，小于5的情况不可能发生，故“3个数字的和小于5”这一事件是不可能事件．事件类型的判断[例1]　指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：(1)三角形的两边之和大于第三边；(2)没有空气和水，人类可以生存下去；(3)从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；(4)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．[解]　(1)所有三角形的两边之和都大于第三边，所以是必然事件．(2)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．(3)任意抽取，可能得到1，2，3，4号标签中的任意一张，所以是随机事件．(4)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．判断一个事件是哪类事件的方法一看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的；二看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．　　　　 [跟踪训练]给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②“当x为某一实数时，可使x2<0”是不可能事件；③“明天兰州要下雨”是必然事件；④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件．其中正确命题的序号是(　　)A．①②③　 B．②③④　　C．①②④　　D．①③④解析：选C　①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”一定发生，是必然事件，①正确；②“当x为某一实数时，可使x2<0”不可能发生，没有哪个实数的平方小于0，是不可能事件，②正确；③“明天兰州要下雨”是随机事件，故③错；④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”有可能发生，有可能不发生，是随机事件，故④正确.确定试验的样本空间[例2]　(链接教科书第227页例1、例2、例3)下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的样本空间．(1)先后抛掷两枚质地均匀的硬币多次；(2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素．[解]　(1)一次试验是指“先后抛掷两枚质地均匀的硬币一次”，试验的样本空间为：{(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)}．(2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成集合”，试验的样本空间为：{(a，b，c)，(a，b，d)，(a，c，d)，(b，c，d)}．写样本空间的关键是找样本点，具体有三种方法(1)列举法：适用于样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏；(2)列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法，列表法的优点是准确、全面、不易遗漏；(3)树状图法：适用于较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举．　　　　 [跟踪训练]连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币是正面朝上还是反面朝上．(1)写出这个试验的样本空间Ω；(2)用集合表示事件M＝“恰有2枚正面朝上”．解：(1)画树状图如图所示．因此这个试验的样本空间Ω＝{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}．(2)“恰有2枚正面朝上”包含(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，共3个样本点．故M＝{(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)}.随机事件的含义[例3]　(链接教科书第228页例4)做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数．写出：(1)这个试验的样本空间Ω；(2)这个试验的结果的个数；(3)指出事件A＝{(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)}的含义．[解]　(1)这个试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}．(2)这个试验的结果的个数为36.(3)事件A的含义为抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数之和为7.[母题探究](变设问)根据例3中的样本空间Ω，写出“出现点数之和大于8”的所有样本点，并指出事件B＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)}的含义．解：事件“出现的点数之和大于8”的所有样本点为(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．事件B的含义为抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数相同．1．判断随机事件的结果是相对于条件而言的，要确定样本空间：(1)必须明确事件发生的条件；(2)根据题意，按一定的次序列出所有样本点. 特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．2．当试验中的结果不唯一时，一定要将各种可能都要考虑到，尤其是有顺序和无顺序的情况最易出错．　　　　 [跟踪训练]用X表示10次射击中命中目标的次数，分别说明下列集合所代表的随机事件的含义．(1)A＝{X＝8}；(2)B＝{1≤X≤9}；(3)C＝{X≥1}；(4)D＝{X<1}．解：(1)A＝{X＝8}表示“恰有8次命中目标”．(2)B＝{1≤X≤9}表示“命中目标次数为1到9次”．(3)C＝{X≥1}表示“命中目标次数为1到10次”．(4)D＝{X<1}表示“没有一次命中目标”．1．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1，0，2，4，6，8}，从集合A中任取两个不相同的数作为点P的坐标，则事件“点P落在x轴上”包含的样本点共有(　　)A．7个  B．8个  C．9个  D．10个解析：选C　事件“点P落在x轴上”包含的样本点的特征是纵坐标为0.又集合A中有9个非零数，故选C.2．下列事件中必然事件为________，不可能事件为________，随机事件为________(填序号)．①13个人中至少有两个人生肖相同；②车辆随机到达一个路口，遇到红灯；③函数y＝logax(0＜a＜1)在定义域内为增函数；④任意买一张电影票，座位号是2的倍数．解析：因为共有12生肖，所以13个人中至少有两个人生肖相同，故①是必然事件；车辆随机到达一个路口，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯或者黄灯，故②是随机事件；因为0＜a＜1，所以函数y＝logax在定义域内为减函数，所以③是不可能事件；买一张电影票，座位号可能是2的倍数，也可能不是2的倍数，故④是随机事件．答案：①　③　②④3．同时转动如图所示的两个转盘，记结果为(x，y)，其中x是转盘①中指针所指的数字，y是转盘②中指针所指的数字．(1)写出这个试验的样本空间Ω；(2)用集合表示事件A＝“x≤4，y>1”，事件B＝“x≤3，y>1”．解：(1)样本空间为Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．(2)易知A＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．B＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，2)，(3，3)，(3，4)}．