人教A版 (2019)必修 第二册10.1 随机事件与概率导学案及答案

古典概型

据《西墅记》所载，唐明皇与杨贵妃掷骰子戏娱，唐明皇的战况不佳，只有让六颗骰子中的两颗骰子同时出现“四”才能转败为胜．于是唐明皇一面举骰投掷，一面连呼“重四”．骰子停定，正好重四．唐明皇大悦，命令高力士将骰子的四点涂为红色，红色通常是不能乱用的．因此直到今天，骰子的幺、四两面为红色，其余四面都是黑色．

[问题]　您能算出唐明皇转败为胜的概率是多少吗？

知识点　古典概型

1．事件的概率

对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．

2．古典概型的定义

试验E具有如下共同特征：

(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；

(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．

称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．

3．古典概型的概率计算公式

一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝，其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．

若一次试验的结果所包含的样本点的个数是有限个，则该试验还不能判断是古典概型，还必须满足每个样本点出现的可能性相等．　　　　

1．掷一枚不均匀的骰子，求出现点数为偶数点的概率，这个概率模型还是古典概型吗？

提示：不是．因为骰子不均匀，所以每个样本点出现的可能性不相等．

2．若一次试验的结果所包含的样本点的个数是有限个，则该试验是古典概型吗？

提示：不一定．还要看每个样本点发生的可能性是否相同，若相同才是，否则不是．

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)任何一个事件都是一个样本点．(　　)

(2)古典概型中每一个样本点出现的可能性相等．(　　)

(3)古典概型中的任何两个样本点都是互斥的．(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)√

2．袋中装有红白球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，所有的样本点个数是________．

解析：从装有红白两球的袋中有放回的取出，所有取法有：

共8个样本点．

答案：8

3．从1，2，3中任取两个数字，设取出的数字含有2为事件A，则P(A)＝________．

解析：从1，2，3中任取两个数字，所有可能的结果有：(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3个，其中含有2的结果有2个，故P(A)＝.

答案：

　　[例1]　判断下列概率模型中哪些是古典概型，为什么？

(1)从区间[1，10]内任意取出一个数，求取到1的概率；

(2)从含有1的10个整数中任意取出一个数，求取到1的概率；

(3)向一个正方形ABCD内投掷一点P，求P恰好与A点重合的概率．

[解]　根据古典概型的特征进行考虑，(1)(3)中样本点有无限多个，因此不属于古典概型．(2)从含有1的10个整数中任取1个整数，其样本点总数为10，是有限的，且每个数取到的可能性相等，故(2)为古典概型．

判断一个试验是不是古典概型的步骤

(1)明确试验及其结果；

(2)判断所有结果(即样本点)是否有限；

(3)判断有限个结果是否等可能出现，这需要有日常生活的经验．另外，题目中“完全相同”“任取”等是表述等可能的语言．　　　　

[跟踪训练]

某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环、…、命中5环和不中环．你认为这是古典概型吗？为什么？

解：不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环、…、命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条件.

角度一　求“无序抽取”型古典概型的概率

[例2]　在大小、质地完全相同的6个球中，2个是红球，4个是白球，若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有1个红球的概率是多少？

[解]　设白球标号为1，2，3，4，红球标号为5，6，从6个球中任选3球的样本空间Ω＝{(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，2，6)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，3，6)，(1，4，5)，(1，4，6)，(1，5，6)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，3，6)，(2，4，5)，(2，4，6)，(2，5，6)，(3，4，5)，(3，4，6)，(3，5，6)，(4，5，6)}，共20个样本点，用事件A表示“至少有1个红球”，则A＝{(1，2，5)，(1，2，6)，(1，3，5)，(1，3，6)，(1，4，5)，(1，4，6)，(1，5，6)，(2，3，5)，(2，3，6)，(2，4，5)，(2，4，6)，(2，5，6)，(3，4，5)，(3，4，6)，(3，5，6)，(4，5，6)}，共包含16个样本点．

故所选3个球中至少有1个红球的概率P(A)＝＝.

角度二　求“有序不放回抽取”型古典概型的概率

[例3]　三张卡片上分别写有字母E，E，B，将三张卡片随机排成一行，恰好排成BEE的概率为________．

[解析]　记写有E的两张卡片分别为E1，E2，画树状图如下：

故样本空间Ω＝{E1E2B，E1BE2，E2E1B，E2BE1，BE1E2，BE2E1}，共6个样本点，记事件A为“恰好排成BEE”，则A＝{BE1E2，BE2E1}，共包含2个样本点，故P(A)＝＝.

[答案]　

角度三　求“有放回抽取”型古典概型的概率

[例4]　一个盒子中装有4个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.

(1)从盒子中不放回地随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；

(2)先从盒子中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回盒子中，然后再从盒子中随机取一个球，该球的编号为n，求n<m＋2的概率．

[解]　(1)从盒子中不放回地随机抽取两个球，其样本空间Ω1＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共包含6个样本点，

用A表示“取出的球的编号之和不大于4”，则A＝{(1,2)，(1,3)}，A包含的样本点个数为2.

因此所求事件的概率P(A)＝＝.

(2)先从盒子中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从盒子中随机取一个球，记下编号为n，用数对(m，n)来表示取出的结果，则样本空间Ω2＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}，共包含16个样本点，用B表示“n≥m＋2”，故表示“n<m＋2”，则B＝{(1,3)，(1,4)，(2,4)}，共包含3个样本点，所以包含的样本点有13个，

所以P()＝.

求解古典概型的概率“四步”法

[注意]　计算样本点时要注意两个区别

(1)“无序”与“有序”的区别．“无序”指取出的元素没有先后次序，常用“任取”表述，而“有序”指取出的元素有顺序，常用“依次取出”表述；

(2)“有放回”与“无放回”的区别．“有放回”取出的元素可以重复，而“无放回”取出的元素没有重复．　　　　

[跟踪训练]

1．(2020·江苏高考)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是________．

解析：将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，向上的点数共有36种情况，其中点数和为5的情况有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种，则所求概率为＝.

答案：

2．一个盒子中装有1个黑球和2个白球，这3个球除颜色外完全相同．有放回地连续抽取2次，每次从中任意地取出1个球．计算下列事件的概率：

(1)取出的两个球都是白球；

(2)第一次取出白球，第二次取出黑球；

(3)取出的两个球中至少有一个白球．

解：把2个白球记为白1，白2.

所有样本点有：(黑，黑)，(黑，白1)，(黑，白2)，(白1，黑)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，黑)，(白2，白1)，(白2，白2)，共9个．

(1)设“取出的两个球都是白球”为事件A，则事件A包含的样本点有(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)，共4个．

故取出的两个球都是白球的概率P(A)＝.

(2)设“第一次取出白球，第二次取出黑球”为事件B，则

事件B包含的样本点有(白1，黑)，(白2，黑)，共2个．

故第一次取出白球，第二次取出黑球的概率P(B)＝.

(3)设“取出的两个球中至少有一个白球”为事件C，则C表示“取出的两个球都是黑球”，C包含的样本点只有1个，则C包含的样本点有8个，

故取出的两个球中至少有一个白球的概率P(C)＝.

[例5]　某校从高一年级某次数学竞赛的成绩中随机抽取100名学生的成绩，分组为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，统计后得到频率分布直方图如图所示．

(1)试估计这组样本数据的众数和中位数(结果精确到0.1)；

(2)年级决定在成绩[70，100]中用分层随机抽样的方法抽取6人组成一个调研小组，对高一年级学生课外学习数学的情况做一个调查，则在[70，80)，[80，90)，[90，100]这三组分别抽取了多少人？

(3)现在要从(2)中抽取的6人中选出正、副2个小组长，求成绩在[80，90)中至少有1人当选为正、副小组长的概率．

[解]　(1)由频率分布直方图得，众数为＝65.

成绩在[50，70)内的频率为(0.005＋0.035)×10＝0.4，

成绩在[70，80)内的频率为0.03×10＝0.3，

∴中位数为70＋×10≈73.3.

(2)成绩为[70，80)，[80，90)，[90，100]这三组的频率分别为0.3，0.2，0.1，

∴[70，80)，[80，90)，[90，100]这三组抽取的人数分别为3，2，1.

(3)由(2)知成绩在[70，80)有3人，分别记为a，b，c；成绩在[80，90)有2人，分别记为d，e；成绩在[90，100]有1人，记为f.用x1，x2表示从[70，80)，[80，90)，[90，100]这三组中抽取的2人，则数组(x1，x2)表示这个试验的一个样本点．

∴从抽取的6人中选出正、副2个小组长的样本空间Ω＝{(a，b)，(b，a)，(a，c)，(c，a)，(a，d)，(d，a)，(a，e)，(e，a)，(a，f)，(f，a)，(b，c)，(c，b)，(b，d)，(d，b)，(b，e)，(e，b)，(b，f)，(f，b)，(c，d)，(d，c)，(c，e)，(e，c)，(c，f)，(f，c)，(d，e)，(e，d)，(d，f)，(f，d)，(e，f)，(f，e)}．

设事件A＝“成绩在[80，90)中至少有1人当选为正、副小组长”，则事件A包含的样本点有18个，

∴成绩在[80，90)中至少有1人当选为正、副小组长的概率P(A)＝＝.

古典概型综合问题的求解步骤

(1)分析所求概率事件的构成，确定随机试验变量；

(2)将事件转化为关于变量的条件，写出满足条件的样本点；

(3)根据古典概型的概率公式求解．　　　　

[跟踪训练]

1．已知A＝{1，2，3}，B＝{x∈R|x2－ax＋b＝0，a∈A，b∈A}．则A∩B＝B的概率是(　　)

A.　　　　　　　　 B.

C.  D．1

解析：选C　∵a∈A，b∈A，所以可列表如下：

易知B中最多有两个元素．∵A∩B＝B，∴B可能为∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}．

当B＝∅时，Δ＝a2－4b<0，满足条件的(a，b)为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，2)，(2，3)，(3，3)；

当B＝{1}时，满足条件的(a，b)为(2，1)；

当B＝{2}，{3}时，没有满足条件的(a，b)；

当B＝{1，2}时，满足条件的(a，b)为(3，2)；

当B＝{2，3}，{1，3}时，没有满足条件的(a，b)；

故符合条件的(a，b)共有8种，∴P(A∩B＝B)＝.

2．已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－bx＋1，设集合P＝{1，2，3}，Q＝{－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数组(a，b)．

(1)列举出数组(a，b)对应的样本空间，并求函数y＝f(x)有零点的概率；

(2)求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．

解：(1)样本空间Ω＝{(1，－1)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，－1)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，－1)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)}，共15个样本点．

函数y＝f(x)有零点等价于Δ＝b2－4a≥0，

满足条件的(a，b)有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6个样本点．

∴y＝f(x)有零点的概率P1＝＝.

(2)∵a>0，函数y＝f(x)图象对称轴为直线x＝在区间[1，＋∞)上是增函数，∴有≤1，

满足条件的(a，b)有(1，－1)，(1，1)，(1，2)，(2，－1)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，－1)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，共13个样本点．

∴y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率P2＝.

1．某袋中有9个大小相同的球，其中有5个红球，4个白球，现从中任意取出1个，则取出的球恰好是白球的概率为(　　)

A.  B.

C.  D．

解析：选C　袋中有9个大小相同的球，从中任意取出1个，共有9种取法．取出的球恰好是白球，共有4种取法．故取出的球恰好是白球的概率为.故选C.

2．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图(含亁、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每卦有三根线组成(“”表示一根阳线，“”表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为________．

解析：记八卦分别为1，2，3，4，5，6，7，8，则从八卦中任取两卦，可能情况有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)，(1，8)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(3，7)，(3，8)，(4，5)，(4，6)，(4，7)，(4，8)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(6，7)，(6，8)，(7，8)，共28种取法．

若两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线，可按取得卦的阳、阴线的根数分类计算；

当有一卦阳、阴线的根数为3，0时，另一卦阳、阴线的根数为0，3，共有1种取法．

当有一卦阳、阴线的根数为2，1时，另一卦阳、阴线的根数为1，2，共有9种取法．

所以两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的取法有1＋9＝10(种)．

则从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为P＝＝.

答案：

3．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100]．

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的频率；

(3)从评分在[40，60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50)的概率．

解：(1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.

(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以估计该企业职工对该部门评分不低于80的频率为0.4.

(3)受访职工中评分在[50，60)的有50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；受访职工中评分在[40，50)的有50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2.设x1，x2为从评分在[40，60)的受访职工中随机抽取的2人，则(x1，x2)表示一个样本点，则“从评分在[40，60)的受访职工中随机抽取2人的样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)}，共10种结果，设事件A＝“所抽取2人的评分都在[40，50)”，则A＝{(B1，B2)}，结果只有1种，故所求的概率P(A)＝.