高中10.1 随机事件与概率学案设计

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概率的基本性质新课程标准解读核心素养1.结合具体实例，理解概率的性质数学抽象2.掌握互斥事件、对立事件概率的运算法则数学建模甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.6，两人下成平局的概率是0.3.[问题]　甲获胜的概率是多少？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点　概率的基本性质性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0.性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝，P(∅)＝．性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．性质5：如果A⊆B，那么P(A)P(B)．性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．1．当A与B互斥(即AB＝∅)时，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，这称为互斥事件的概率加法公式．2．一般地，如果A1，A2，…，Am是两两互斥的事件，则P(A1∪A2∪…∪Am)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am)．3．P(A)＋P(A)＝1.　　　　 设事件A发生的概率为P(A)，事件B发生的概率为P(B)，那么事件A∪B发生的概率是P(A)＋P(B)吗？提示：不一定．当事件A与B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；当事件A与B不互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)任一事件的概率总在(0，1)内．(　　)(2)不可能事件的概率不一定为0.(　　)(3)必然事件的概率一定为1.(　　)(4)如果事件A与事件B互斥，那么P(A)＋P(B)≤1.(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√2．在掷骰子的游戏中，向上的数字是5或6的概率是(　　)A.　　　　　　　　 B.C.  D．1解析：选B　事件“向上的数字是5”与事件“向上的数字是6”为互斥事件，且二者发生的概率都是，所以“向上的数字是5或6”的概率是＋＝.3．事件A与B是对立事件，且P(A)＝0.2，则P(B)＝________．解析：因为A与B是对立事件，所以P(A)＋P(B)＝1，即P(B)＝1－P(A)＝0.8.答案：0.84．事件A与B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(B)＝0.5，则P(A∪B)＝________．解析：因为A与B互斥，故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.2＋0.5＝0.7.答案：0.7互斥事件、对立事件的概率[例1]　(链接教科书第241页例11)某射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.1，0.2，0.3，0.3，0.1.计算这个运动员在一次射击中：(1)射中10环或9环的概率；(2)至少射中7环的概率．[解]　设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，则(1)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.2＝0.3.所以射中10环或9环的概率为0.3.(2)因为射中7环以下的概率为0.1，所以由对立事件的概率公式得，至少射中7环的概率为1－0.1＝0.9.[母题探究](变设问)在本例条件下，求射中环数小于8环的概率．解：事件“射中环数小于8环”包含事件D“射中7环”与事件E“射中7环以下”两个事件，则P(射中环数小于8环)＝P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.3＋0.1＝0.4.含“至多”“至少”等词语的概率的计算(1)互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．　　　　 [跟踪训练]1．某运动员射击一次，若事件A(中靶)的概率为0.95，则的概率＝________；若事件B(中靶环数大于5)的概率为0.7，那么事件C(中靶环数小于6)的概率＝________；事件D(中靶环数大于0且小于6)的概率＝________.解析：P()＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05.依据题意，事件C与事件B是对立事件，故P(C)＝1－P(B)＝1－0.7＝0.3.依据题意，事件C是事件D与事件的和事件，且事件D与事件互斥，故P(C)＝P(D)＋P()，故P(D)＝P(C)－P()＝0.3－0.05＝0.25.答案：0.05　0.3　0.252．黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表：血型ABABO该血型的人所占的比例/%2829835已知同种血型的人可以互相输血，O型血可以给任一种血型的人输血，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若他因病需要输血，问：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解：对任何一个人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.(1)因为B，O型血可以输给B型血的人，所以“任找一个人，其血可以输给小明”为事件B′＋D′，根据互斥事件的概率加法公式，得P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小明”为事件A′＋C′，根据互斥事件的概率加法公式，得P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36. 互斥事件与对立事件概率的综合问题[例2]　(链接教科书第241页例12)一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球，从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．[解]　记事件A1＝{任取1球为红球}；A2＝{任取1球为黑球}；A3＝{任取1球为白球}；A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝.根据题意，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥．法一：由互斥事件概率公式，得(1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.法二：(1)取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1＋A2的对立事件为A3＋A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－－＝＝.(2)A1＋A2＋A3的对立事件为A4，所以P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－＝.求复杂互斥事件概率的2种方法直接法将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和间接法先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法　　　　 [跟踪训练]1.某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示．现从中随机抽取一名队员，求：(1)该队员只属于一支球队的概率；(2)该队员最多属于两支球队的概率．解：分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件A，B，C.由题图知3支球队共有球员20名．则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.(1)令“抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件D.则D＝A＋B＋C，∵事件A，B，C两两互斥，∴P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝.(2)令“抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件E，则为“抽取一名队员，该队员属于3支球队”，∴P(E)＝1－P()＝1－＝.2．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球．从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率为，得到黄球或绿球的概率也为，试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别为多少．解：记“得到红球”为事件A，“得到黑球”为事件B，“得到黄球”为事件C，“得到绿球”为事件D，显然事件A，B，C，D彼此互斥，则由题意可知，P(A)＝　①，P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝　②，P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝　              ③.由事件A和事件B＋C＋D是对立事件可得P(A)＝1－P(B＋C＋D)＝1－[P(B)＋P(C)＋P(D)]，即P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－＝　 ④.联立②③④可得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.即得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，，.1．从集合{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个，若这个子集不是集合{a，b，c}的子集的概率是，则该子集恰是集合{a，b，c}的子集的概率是(　　)A．　　　　　　　　 B．C．  D．解析：选C　该子集恰是{a，b，c}的子集的概率为P＝1－＝.2．若A，B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(A∪B)＝0.5，则P(B)等于(　　)A．0.3　　　　　　　　　 B．0.7C．0.1  D．1解析：选A　∵A，B是互斥事件，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5，∵P(A)＝0.2，∴P(B)＝0.5－0.2＝0.3.故选A.3．一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63，则至少有一根熔断的概率是________．解析：设A＝“甲熔丝熔断”，B＝“乙熔丝熔断”，则“甲、乙两根熔丝至少有一根熔断”为事件A∪B.P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.85＋0.74－0.63＝0.96.答案：0.964．某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示：人数01234大于等于5概率0.10.160.30.20.20.04 (1)求派出医生至多2人的概率；(2)求派出医生至少2人的概率．解：设“不派出医生”为事件A，“派出1名医生”为事件B，“派出2名医生”为事件C，“派出3名医生”为事件D，“派出4名医生”为事件E，“派出5名及5名以上医生”为事件F，事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04.(1)“派出医生至多2人”的概率为P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)法一：“派出医生至少2人”的概率为P(C＋D＋E＋F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74.法二：“派出医生至少2人”的概率为1－P(A＋B)＝1－0.1－0.16＝0.74.