高中数学10.3 频率与概率学案

这是一份高中数学10.3 频率与概率学案，共10页。
频率的稳定性 随机模拟新课程标准解读核心素养1.结合具体实例，会用频率估计概率数学抽象、数据分析2.了解随机数的意义，会用模拟方法估计概率，理解用模拟法估计概率的实质数学建模 投掷一枚质地均匀，形状规范的硬币，正面和反面出现的概率是一样的，都是.很多人会问，为什么正面和反面出现的概率是一样的？显然，硬币是质地均匀，形状规范的，哪一面都不会比另一面有更多的出现机会，正面和反面出现的概率是一样的，这称为古典概型的对称性，体育比赛经常用到这个规律来决定谁开球，谁选场地．为了解释这个现象，在历史上，有很多人对这个问题进行过验证，从结果可以看出，随着次数的不断增加，正面出现的频率越来越接近，我们也有理由相信，随着次数的继续增加，正面和反面出现的频率将固定在处，即正面和反面出现的概率都为.[问题]　你认为频率与概率之间有什么关系？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点一　频率的稳定性大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A)．频率和概率可以相等吗？提示：可以相等．但因为每次试验的频率为多少是不固定的，而概率是固定的，故一般是不相等的，但有可能是相等的．1．气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”，对预测的正确理解是(　　)A．本市明天将有90%的地区降雨B．本市明天将有90%的时间降雨C．明天出行不带雨具肯定会淋雨D．明天出行不带雨具可能会淋雨解析：选D　“本市明天降雨的概率是90%”也即为“本市明天降雨的可能性为90%”．故选D.2．某家具厂为足球比赛场馆生产观众座椅．质检人员对该厂所生产的2 500套座椅进行抽检，共抽检了100套，发现有2套次品，则该厂所生产的2 500套座椅中大约有________套次品．解析：设有n套次品，由概率的统计定义，知＝，解得n＝50，所以该厂所生产的2 500套座椅中大约有50套次品．答案：50知识点二　随机模拟1．产生随机数的方法(1)利用计算器或计算机软件产生随机数；(2)构建模拟试验产生随机数．2．蒙特卡洛方法利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法．1．用抛质地均匀的硬币的方法可产生________个随机数，抛质地均匀的骰子可产生________个随机数．答案：2　62．在用随机模拟方法解决“盒中仅有4个白球和5个黑球，从中取4个，求取出2个白球2个黑球的概率”问题时，可让计算机产生1～9的随机整数，并用1～4代表白球，用5～9代表黑球．因为是摸出4个球，所以每4个随机数作为一组．若得到的一组随机数为“4 678”，则它代表的含义是__________________．解析：分析题意，易知数字4代表白球，数字6，7，8代表黑球，因此这组随机数的含义为摸出的4个球中，只有1个白球．答案：摸出的4个球中，只有1个白球用频率估计概率[例1]　(链接教科书第253页例1)某射手在同一条件下进行射击，结果如表所示：射击次数n102050100200500击中靶心次数m8194492178455击中靶心的频率       (1)填写表中击中靶心的频率；(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？[解]　(1)表中从左到右依次填入的数据为0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91.(2)由于频率稳定在常数0.9附近，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.9.1.频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率．频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率．2．解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．　　　　 [跟踪训练]近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：  “厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；(2)试估计生活垃圾投放错误的概率．解：(1)厨余垃圾投放正确的概率为＝＝.(2)设生活垃圾投放错误为事件A，则A的概率为“厨余垃圾”箱里可回收物量和其他垃圾量、“可回收物”箱里厨余垃圾量和其他垃圾量、“其他垃圾”箱里厨余垃圾量和可回收物量的总和除以生活垃圾总量，即P(A)＝＝0.3.游戏的公平性[例2]　(链接教科书第253页例2)有两个不透明的箱子，每个箱子都装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4.(1)甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子中摸出一个球，谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局)，求甲获胜的概率；(2)摸球方法与(1)相同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同甲获胜，所标数字不相同则乙获胜，这样规定公平吗？请说明理由．[解]　(1)记甲、乙摸出的数字为(x，y)，则共有16种情况，则x>y的有(4，1)，(4，2)，(4，3)，(3，2)，(3，1)，(2，1)，共6种情况，故甲获胜的概率为＝.(2)不公平．理由如下：摸到的球上所标数字相同的情况有(4，4)，(3，3)，(2，2)，(1，1)，共4种情况，故甲获胜的概率为＝，乙获胜的概率为＝，故不公平．游戏公平性的标准及判断方法(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的；(2)具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较．　　　　 [跟踪训练]有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．猜数方案从以下三种方案中选一种：A．猜“是奇数”或“是偶数”；B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”；C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”．请回答下列问题：(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方案，并且怎样猜？为什么？(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？为什么？(3)请你设计一种其他的猜数方案，并保证游戏的公平性．解：(1)A方案中，“是奇数”和“是偶数”的概率都为0.5；B方案中，“是4的整数倍的数”的概率为0.2，“不是4的整数倍的数”的概率为0.8；C方案中，“是大于4的数”的概率为0.6，“不是大于4的数”的概率为0.4.故选择B方案，猜“不是4的整数倍的数”获胜的概率最大．(2)为了保证游戏的公平性，应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏是公平的．(3)可以设计为：猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”，也可以保证游戏的公平性．用随机模拟估计概率[例3]　(链接教科书第256页例3、例4)一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球，1个红球，现任取1个球，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率．[解]　用1，2，3，4，5，6表示白球，7表示红球，利用计算器或计算机产生1到7之间(包括1和7)取整数值的随机数，因为要求恰好第三次摸到红球的概率，所以每三个随机数作为一组，如下，产生20组随机数：666　743　671　464　571561　156　567　732　375716　116　614　445　117573　552　274　114　662就相当于做了20次试验，在这些数组中，前两个数字不是7，第三个数字恰好是7就表示第一次、第二次摸到的是白球，第三次摸到的是红球，它们分别是567和117，共两组，因此恰好第三次摸到红球的概率约为＝0.1.利用随机模拟估计概率应关注三点用整数随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果．我们可以从以下三方面考虑：(1)当试验的样本点等可能时，样本点总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个样本点；(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数；(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复．　　　　 [跟踪训练]已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采取随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率．先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机数模拟产生了20组随机数：907　966　191　925　271　932　812　458　569　683　431257　393　027　556　488　730　113　537　989据此估计，该运动员三次投篮有两次命中的概率为________．解析：由题意知，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有191，271，932，812，393，共5组随机数，∴所求概率为＝.答案：探究统计与概率的综合问题天安门广场国旗的升降时间是根据北京的日出日落时间确定的，具体时间是由北京天文台的天文学家专门计算的．早晨，当太阳的上部边缘与天安门广场所见地平线相平时，为升旗时间．国旗的降旗时间分为逐渐推迟和逐渐提前两个时段．遇到阴天、雨天或雪天，升旗和降旗的时间与前一天相同．每个月第一天，天安门广场升旗时由军乐队奏国歌，整个升旗持续时间为2分零7秒．下表是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表.日期升旗时刻 日期升旗时刻1月1日7：365月15日5：001月23日7：306月9日4：452月5日7：156月16日4：452月21日7：006月21日4：453月3日6：458月20日5：303月13日6：309月5日6：453月22日6：1510月6日6：154月10日5：4510月21日6：304月20日5：3011月3日6：455月1日5：1512月18日7：30将表中的升旗时刻化为分数后作为样本数据.[问题探究]1．请完成下面的频率分布表及频率分布直方图.分组频数频率4：00～4：593 5：00～5：59 0.256：00～6：59  7：00～7：595 合计20 提示：频率分布表及频率分布直方图如下：分组频数频率4：00～4：5930.155：00～5：5950.256：00～6：5970.357：00～7：5950.25合计201.002．若甲学校从上表日期中随机选择一天观看升旗．试估计甲学校观看升旗的时刻早于6：00的概率．提示：由表知，甲学校从20次升旗日期中随机选择一天观看升旗，观看升旗的时刻早于6：00的为8次，利用频率估计概率，可知甲学校观看升旗的时刻早于6：00的概率约为＝0.4.[迁移应用]若甲、乙两个学校各自从表中五月、六月的日期中随机选择一天观看升旗，求两校观看升旗的时刻均不早于5：00的概率．解：由题中表知，五月、六月的升旗日期中不早于5：00的时间有2次，两个月一共升旗5次．设按表中五月、六月的日期先后顺序，甲校选择一天观看升旗分别为a1，a2，a3，a4，a5，乙校选择一天观看升旗分别为b1，b2，b3，b4，b5，则甲、乙两个学校观看升旗的时刻的样本空间Ω＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(a3，b1)，(a4，b1)，(a5，b1)，(a1，b2)，(a2，b2)，(a3，b2)，(a4，b2)，(a5，b2)，(a1，b3)，(a2，b3)，(a3，b3)，(a4，b3)，(a5，b3)，(a1，b4)，(a2，b4)，(a3，b4)，(a4，b4)，(a5，b4)，(a1，b5)，(a2，b5)，(a3，b5)，(a4，b5)，(a5，b5)}，共有25个样本点．设两校观看升旗的时刻均不早于5：00为事件A，则A包含4个样本点，即(a1，b1)，(a2，b1)，(a1，b2)，(a2，b2)，所以P(A)＝，即两校观看升旗的时刻均不早于5：00的概率为.1．某位同学进行投球练习，连投了10次，恰好投进了8次．若用A表示“投进球”这一事件，则事件A发生的(　　)A．概率为　　　　　　 B．频率为C．频率为8  D．概率接近0.8解析：选B　投球一次即进行一次试验，投球10次，投进8次，即事件A发生的频数为8，所以事件A发生的频率为＝.2．对某厂生产的某种产品进行抽样检查，数据如下表所示：抽查件数50100200300500合格件数4792192285478 根据表中所提供的数据，若要从该厂生产的此种产品中抽到950件合格品，大约需抽查________件产品．解析：由表中数据知：抽查5次，产品合格的频率依次为0.94，0.92，0.96，0.95，0.956，可见频率在0.95附近摆动，故可估计该厂生产的此种产品合格的概率约为0.95.设大约调查n件产品，则≈0.95，所以n≈1 000.答案：1 0003．某制造商2020年8月份生产了一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，测得每个乒乓球的直径(单位：mm)，将数据分组如下表：分组频数频率[39.95，39.97)10 [39.97，39.99)20 [39.99，40.01)50 [40.01，40.03]20 合计100  (1)请将上表补充完整；(2)已知标准乒乓球的直径为40.00 mm，试估计这批乒乓球的直径误差不超过0.03 mm的概率．解：(1)分组频数频率[39.95，39.97)100.1[39.97，39.99)200.2[39.99，40.01)500.5[40.01，40.03]200.2合计1001.0(2)标准尺寸是40.00 mm，若要使误差不超过0.03 mm，则直径落在[39.97，40.03]内．由(1)中表知，直径落在[39.97，40.03]内的频率为0.2＋0.5＋0.2＝0.9，所以这批乒乓球的直径误差不超过0.03 mm的概率约为0.9.