高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.5 全称量词与存在量词学案

全称量词命题和存在量词命题的否定

一位探险家被土人抓住，土人首领说：“如果你说真话，你将被烧死，说假话，将被五马分尸．”

[问题]　请问探险家该如何保命？

知识点　全称量词命题和存在量词命题的否定

1．要否定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”，只需在M中找到一个x，使得p(x)不成立，也就是命题“∃x∈M，綈p(x)”成立．

2．要否定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”， 需要验证对M中的每一个x，均有p(x)不成立，也就是命题“∀x∈M，綈p(x)”成立．　　　　

如何对省略量词的命题进行否定？

提示：对于省略了量词的全称量词命题或存在量词命题进行否定时，可先根据题意补上适当的量词，再对命题进行否定．

1．命题“∃x∈R，x2－2x－3≤0”的否定是(　　)

A．∀x∈R，x2－2x－3≤0

B．∃x∈R，x2－2x－3≥0

C．∃x∈R，x2－2x－3＞0

D．∀x∈R，x2－2x－3＞0

答案：D

2．全称量词命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是(　　)

A．所有能被5整除的整数都不是奇数

B．所有奇数都不能被5整除

C．存在一个能被5整除的整数不是奇数

D．存在一个奇数，不能被5整除

解析：选C　全称量词命题的否定是存在量词命题，而A，B是全称量词命题，所以A、B错误．因为“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被5整除的整数不是奇数”，所以D错误，C正确．故选C.

[例1]　(链接教科书第29页例3)写出下列全称量词命题的否定，并判断所得命题的真假：

(1)每一个四边形的四个顶点共圆；

(2)对任意x∈Z，x2的个位数字都不等于1.

[解]　(1)该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．真命题．

(2)该命题的否定：存在x∈Z，x2的个位数字等于1.真命题．

1．对全称量词命题否定的两个步骤

(1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；

(2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．

2．全称量词命题否定后的真假判断方法

全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可．　　　　

[跟踪训练]

1．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(　　)

A．∀x∈R，|x|＋x2＜0　　 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0

C．∃x∈R，|x|＋x2＜0  D．∃x∈R，|x|＋x2≥0

解析：选C　对于全称量词命题的否定，要将命题中“∀”变为“∃”，则命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是“∃x∈R，|x|＋x2＜0”．故选C.

2．命题“∀a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根”的否定是(　　)

A．∀a∉R，一元二次方程x2－ax－1＝0没有实根

B．∃a∉R，一元二次方程x2－ax－1＝0没有实根

C．∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0没有实根

D．∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1≠0没有实根

解析：选C　根据全称量词命题的否定形式可知，命题“∀a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根”的否定是“∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0没有实根”，故选C.

[例2]　(链接教科书第30页例4)写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：

(1)p：∃a∈R，一次函数y＝x＋a的图象经过原点；

(2)q：至少有一个直角三角形不是等腰三角形；

(3)s：有些三角形是锐角三角形；

[解]　(1)綈p：∀a∈R，一次函数y＝x＋a的图象不经过原点．因为当a＝0时，一次函数y＝x＋a的图象经过原点，所以綈p是假命题．

(2)綈q：所有直角三角形都是等腰三角形．因为有一个内角为30°的直角三角形不是等腰三角形，所以綈q是假命题．

(3)綈s：所有三角形都不是锐角三角形(或任意三角形都不是锐角三角形)，假命题．

1．对存在量词命题否定的两个步骤

(1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词；

(2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．

2．存在量词命题否定后的真假判断

存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可．　　　　

[跟踪训练]

命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是(　　)

A．∀x∈R，|x|>0　　　 B．∃x∈R，|x|>0

C．∀x∈R，|x|≤0  D．∃x∈R，|x|≤0

解析：选C　由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为全称量词命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C.

[例3]　已知命题“∀x∈R，函数y＝x2＋x＋a的图象和x轴至多有一个公共点”是假命题，求实数a的取值范围．

[解]　全称量词命题“∀x∈R，函数y＝x2＋x＋a的图象和x轴至多有一个公共点”的否定形式为“∃x∈R，函数y＝x2＋x＋a的图象和x轴有两个公共点”．

由“命题为真，其否定为假；命题为假，其否定为真”可知，这个否定形式的命题是真命题．由二次函数的图象易知Δ＝1－4a＞0，解得a＜，

所以实数a的取值范围是.

由命题真假求参数的范围的两个关注点

(1)命题和它的否定的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化；

(2)求参数范围问题，通常根据有关全称量词和存在量词命题的意义列不等式求范围．　　　　

[跟踪训练]

命题“存在x＞a，使得2x＋a＜3”是假命题，求实数a的取值构成的集合．

解：命题“存在x＞a，使得2x＋a＜3”是假命题，

所以此命题的否定“任意x＞a，使得2x＋a≥3”是真命题，因为对任意x＞a有2x＋a＞3a，所以3a≥3，解得a≥1.

所以实数a的取值范围是{a|a≥1}．

1．命题p：∀x∈N，x3>x2的否定形式綈p为(　　)

A．∀x∈N，x3≤x2

B．∃x∈N，x3>x2

C．∃x∈N，x3<x2

D．∃x∈N，x3≤x2

解析：选D　命题p：∀x∈N，x3>x2的否定形式是存在量词命题，∴綈p：∃x∈N，x3≤x2.故选D.

2．已知命题p：∃x∈R，x－2＞，命题q：∀x∈R，x2＞0，则(　　)

A．命题p，q都是假命题

B．命题p，q都是真命题

C．命题p，綈q都是真命题

D．命题p，綈q都是假命题

解析：选C　当x＝9时，9－2＞＝3，∴p为真命题．∵∀x∈R，x2≥0，∴q是假命题，綈q是真命题．故选C.

3．写出下列命题的否定，并判断其真假：

(1)对任意x∈R，x2－x＋≥0；

(2)所有的正方形都是矩形；

(3)至少有一个实数x，使x3＋1＝0.

解：(1)存在x∈R，x2－x＋＜0，假命题．

(2)至少存在一个正方形不是矩形，假命题．

(3)对任意x∈R，x3＋1≠0，假命题．