高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质第二课时学案设计

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第二课时　基本不等式的应用(习题课)应用基本不等式证明不等式[例1]　(链接教科书第46页练习2题)(1)已知x，y都是正数，求证：(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3；(2)已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：≥9.[证明]　(1)因为x，y都是正数，所以x＋y≥2＞0，x2＋y2≥2＞0，x3＋y3≥2＞0.所以(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2·2·2＝8x3y3，即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3，当且仅当x＝y时，等号成立．(2)因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，所以1＋＝1＋＝2＋.同理1＋＝2＋.故＝＝5＋2≥5＋4＝9.所以≥9，当且仅当a＝b＝时取等号．利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”；(2)注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，构成基本不等式模型再使用．　　　　 [跟踪训练]1．设a，b，c都是正数，试证明不等式：＋＋≥6.证明：＋＋＝＋＋＋＋＋＝＋＋≥2＋2＋2 ＝6，当且仅当＝，＝，＝，即a＝b＝c时取等号．2．已知a＞b，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：·≥8.证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，a＋b＋c＝1，所以－1＝＝≥，同理－1≥，－1≥.上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得≥··＝8.当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．基本不等式的实际应用[例2]　(链接教科书第46页例3、第47页例4)某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示)．如果池四周围墙建造单价为400 元/m，中间两道隔墙建造单价为248 元/m，池底建造单价为80 元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计．试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．[解]　设隔墙的长度为x m，总造价的函数为y元，则隔墙造价为2x×248＝496x元，池底造价为200×80＝16 000元，四周围墙造价为×400＝800×元．因此，总造价为y＝496x＋800＋16 000(x>0)＝1 296x＋＋16 000≥2 ＋16 000＝28 800＋16 000＝44 800.当1 296x＝，即x＝时，等号成立．这时，污水池的长为18 m.故当污水池的长为18 m，宽为 m时，总造价最低，最低为44 800元．应用基本不等式解决实际问题的方法(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值，正确写出答案．　　　　 [跟踪训练]1．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．解析：每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，且x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．答案：5　82．某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成．已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为0.5)，其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/时．(1)请将该货轮从甲地到乙地的运输成本y(元)表示为航行速度x(海里/时)的函数；(2)要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？解：(1)由题意，每小时的燃料费用为0.5x2元，从甲地到乙地所用的时间为小时，则y＝0.5x2·＋800·＝150(0<x≤50)．(2)由(1)得y＝150≥300＝12 000，当且仅当x＝，即x＝40时取等号．故当货轮的航行速度为40海里/时时，能使该货轮从甲地到乙地的运输成本最少.基本不等式的拓广应用阅读下列材料：二元基本不等式：设a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时等式成立．证明：因为(a＋b)2－4ab＝(a－b)2≥0，所以(a＋b)2≥4ab，从而得≥，当且仅当a＝b时等式成立．三元基本不等式：设a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时等式成立．证明：设d为正数，由二元基本不等式，得＝≥≥，当且仅当a＝b＝c＝d时，等式成立．令d＝，即a＋b＋c＝3d，代入上述不等式，得d≥，由此推出d3≥abc，因此≥，当且仅当a＝b＝c时等式成立．[问题探究]1．当满足什么条件时，可以利用三元基本不等式求的最小值？提示：当a，b，c均为正数，且a，b，c能取到相等的值时，可以利用三元基本不等式求的最小值．2．利用上述结论证明：已知a，b，c均为正实数，求证：(a＋b＋c)·≥9.提示：∵a，b，c均为正实数，∴a＋b＋c≥3>0，＋＋≥3>0，∴(a＋b＋c)·≥3·3 ＝9.[迁移应用]1．利用上述结论求解：设a＞0，b＞0，c＞0，a＋b＋c＝1，求(1－a)(1－b)(1－c)的最大值．解：因为a＞0，b＞0，c＞0，≥，所以abc≤，又因为a＋b＋c＝1，0＜1－a＜1，0＜1－b＜1，0＜1－c＜1，所以(1－a)(1－b)(1－c)≤＝，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．所以(1－a)(1－b)(1－c)的最大值为，2．利用上述结论的推广求解：已知a，b，c均为正实数，求·的最小值．解：∵＝3＋＋＋＋＋＋≥3＋6＝9.当且仅当a＝b＝c时等号成立．∴的最小值为9.1．用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，求这个矩形菜园的最大面积．解：设矩形菜园的长和宽分别为x m，y m，x＞0，y＞0，面积为S m2，由题意得2(x＋y)＝36，∴x＋y＝18. ∵x＞0，y＞0，∴S＝xy≤＝＝81，当且仅当x＝y＝9时取“＝”，∴当长和宽都为9 m时，菜园面积最大，最大面积为81 m2.2．若a＞0，b＞0，证明：(1)≤；(2)≥.证明：(1)∵a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时，等号成立)，∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2∴≥，∴≥(当且仅当a＝b时，等号成立)．(2)若a＞0，b＞0，则a＋b≥2(当且仅当a＝b时等号成立)．∴(a＋b)≥2ab，∴≥，∴≥(当且仅当a＝b时等号成立).