高中2.2 基本不等式第二课时导学案

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第二课时　二次函数与一元二次方程、不等式的应用(习题课)简单的分式不等式的解法[例1]　解下列不等式：(1)＜0；(2)≥0；(3)＞1.[解]　(1)原不等式可化为(x＋1)(2x－1)＜0，∴－1＜x＜，故原不等式的解集为.(2)原不等式可化为≤0，∴∴即－＜x≤1.故原不等式的解集为.(3)原不等式可化为－1＞0，∴＞0，∴＞0，则x＜－2.故原不等式的解集为{x|x＜－2}．简单分式不等式的解法(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零；(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．　　　　 [跟踪训练]解下列不等式：(1)≥0；(2)＞1.解：(1)原不等式可化为解得∴x＜－或x≥，∴原不等式的解集为.(2)原不等式可化为＞0，化简得＞0，即＜0，∴(2x＋1)(x＋3)＜0，解得－3＜x＜－.∴原不等式的解集为.不等式恒成立问题[例2]　已知函数y＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，不等式y＜0恒成立，求实数m的取值范围；(2)若对于一切实数x，不等式y≥－2恒成立，求实数m的取值范围．[解]　(1)要使mx2－mx－1＜0恒成立，若m＝0，显然－1＜0恒成立．若m≠0，则解得－4＜m＜0.综上可知，m的取值范围是－4＜m≤0.(2)不等式y≥－2，即为mx2－mx＋1≥0.若m＝0，则不等式即为1≥0，显然恒成立；若m≠0，则应有解得0＜m≤4.综上，实数m的取值范围是0≤m≤4.不等式ax2＋bx＋c＞0(＜0)的解集为R(恒成立)的条件不等式ax2＋bx＋c＞0ax2＋bx＋c＜0a＝0b＝0，c＞0b＝0，c＜0a≠0 [跟踪训练]已知不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(　　)A．{a|－1≤a≤4}　　　　 B．{a|a≤－2或a≥5}C．{a|a≤－1或a≥4}  D．{a|－2≤a≤5}解析：选A　法一：x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以要使x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4，故选A.法二：不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立等价于不等式x2－2x＋5－a2＋3a≥0对任意实数x恒成立，所以关于x的方程x2－2x＋5－a2＋3a＝0的判别式Δ＝(－2)2－4×(5－a2＋3a)≤0，解得－1≤a≤4，故选A. 一元二次不等式的实际应用[例3]　(链接教科书第53页例4)某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？[解]　(1)由题意，得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x)(0<x<1)，整理得y＝－60x2＋20x＋200(0<x<1)．(2)要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当即解不等式组，得0<x<，所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x的范围为.解不等式应用题的步骤　　　　 [跟踪训练]如图所示，某小区内有一个矩形花坛ABCD，现将这一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝3 m，AD＝2 m．要使矩形AMPN的面积大于32 m2，则DN的长应在什么范围内？解：设DN的长为x(x>0)m，则AN的长为(x＋2)m.因为＝，所以AM＝，所以S矩形AMPN＝AN·AM＝.由S矩形AMPN>32，得>32.又x>0，得3x2－20x＋12>0，解得0<x<或x>6.即DN的长的取值范围是.1．不等式≥0的解集为(　　)A．{x|0≤x≤2}  B．{x|0＜x≤2}C．{x|x＜0或x≥2}  D．{x|x＜0或x＞2}解析：选B　由原式得x(x－2)≤0且x≠0，解得0＜x≤2，故选B.2．已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则实数a的取值范围是(　　)A．{a|－4≤a≤4}  B．{a|－4＜a＜4}C．{a|a≤－4或a≥4}  D．{a|a＜－4或a＞4}解析：选A　欲使不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则Δ＝a2－16≤0，∴－4≤a≤4.3.某施工单位在对一个长800 m，宽600 m的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围．解：设花坛的宽度为x m，则草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x)m，根据题意得(800－2x)·(600－2x)≥×800×600，整理得x2－700x＋60 000≥0，解不等式得x≥600(舍去)或x≤100，由题意知x＞0，所以0＜x≤100.当x在{x|0<x≤100}取值时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一．