高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示第一课时学案及答案

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函数的概念新课程标准解读核心素养1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，会判断两个函数是否为同一函数数学抽象2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用数学抽象、数学建模3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域，值域数学抽象、数学运算第一课时　函数的概念(一)某物体从高度为44.1 m的空中自由下落，物体下落的距离s(m)与所用时间t(s)的平方成正比，这个规律用数学式子可以描述为s＝gt2，其中g取9.8 m/s2.[问题]　(1)时间t和物体下落的距离s有何限制？(2)时间t(0≤t≤3)确定后，下落的距离s确定吗？(3)下落后的某一时刻能同时对应两个距离吗？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点　函数的概念 概念设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域的取值范围值域与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}对函数概念的再理解(1)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数；(2)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式．除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数．　　　　 1．在函数的概念中，如果函数y＝f(x)的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？提示：确定．2．对应关系f必须是一个解析式的形式吗？提示：不一定．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系．(　　)(2)已知定义域和对应关系就可以确定一个函数．(　　)(3)定义域中的每一个x可以对应着不同的y.(　　)(4)“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”．(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×2．下图中能表示函数关系的是________(填序号)．解析：由于③中的2与1和3同时对应，故③不是函数．答案：①②④3．函数f(x)＝的定义域是________．解析：由4－x＞0，解得x＜4，所以原函数的定义域为{x|x<4}．答案：{x|x<4}4．已知f(x)＝x2＋1，则f(－1)＝________．解析：∵f(x)＝x2＋1，∴f(－1)＝(－1)2＋1＝2.答案：2函数关系的判断[例1]　(1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是(　　)A．0　　　　　　　　　　 B．1C．2  D．3(2)(多选)下列两个集合间的对应中，是A到B的函数的有(　　)A．A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数的平方B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数的开方C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数D．A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，f：A中的数的2倍[解析]　(1)①中，因为在集合M中当1<x≤2时，在N中无元素与之对应，所以①不是；②中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以②是；③中，x＝2对应元素y＝3∉N，所以③不是；④中，当x＝1时，在N中有两个元素与之对应，所以④不是．因此只有②是，故选B.(2)A中，可构成函数关系；B中，对于集合A中元素1，在集合B中有两个元素与之对应，因此不是函数关系；C中，A中元素0的倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，因此不是函数关系；D中，可构成函数关系，故选A、D.[答案]　(1)B　(2)AD1．判断对应关系是否为函数的2个条件(1)A，B必须是非空实数集；(2)A中的任意一个元素在B中有且只有一个元素与之对应．2．根据图形判断是否为函数的方法(1)任取一条垂直于x轴的直线l；(2)在定义域内平行移动直线l；(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．[注意]　对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．　　　　 [跟踪训练]1．下列对应或关系式中是A到B的函数的是(　　)A．A＝R，B＝R，x2＋y2＝1B．A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，对应关系如图：C．A＝R，B＝R，f：x→y＝D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝解析：选B　A错误，x2＋y2＝1可化为y＝±，显然对任意x∈A，y值不唯一；B正确，符合函数的定义；C错误，2∈A，但在B中找不到与之相对应的数；D错误，－1∈A，在B中也找不到与之相对应的数．2．下列各题中的对应关系是不是实数集R上的函数？为什么？(1)f：把x对应到3x＋1；(2)g：把x对应到|x|＋1；(3)h：把x对应到；(4)r：把x对应到.解：(1)是，它的对应关系f是把x乘3再加1，对于任意的x∈R，3x＋1是唯一确定．(2)是，理由同上．(3)不是，当x＝0时，无意义．(4)不是，当x<0时，无意义．求已知函数的定义域[例2]　求下列函数的定义域：(1)y＝·；(2)y＝(x－1)0＋.[解]　(1)由题意得，⇒x＝1，∴函数的定义域为{1}．(2)由题意得，解得x>－1，且x≠1，∴函数的定义域为{x|x>－1，且x≠1}．求函数定义域的常用方法(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合；(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集；(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．　　　　 [跟踪训练]1．已知函数f(x)的定义域为{x|－2≤x≤2}，函数g(x)＝，则函数g(x)的定义域为(　　)A.  B．{x|x>－1}C.  D.解析：选A　由题可得解得－<x≤3，即函数g(x)的定义域为.故选A.2．求下列函数的定义域：(1)y＝－；(2)y＝.解：(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x≤1，且x≠－1，即函数定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x≤5，且x≠±3，即函数定义域为{x|x≤5，且x≠±3}． 求函数值[例3]　已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，则f(2)＝________，f(g(2))＝________．[解析]　∵f(x)＝，∴f(2)＝＝.又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6，∴f(g(2))＝f(6)＝＝.[答案]　　求函数值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值；(2)求f(g(a))的值应遵循由里向外的原则．　　　　 [跟踪训练]1．设函数f(x)＝，则当f(x)＝2时，x的取值为(　　)A．－4  B．4C．－10  D．10解析：选C　令＝2，则x＝－10，故选C.2．已知函数f(x)＝－1，且f(a)＝3，则a＝________．解析：因为f(x)＝－1，所以f(a)＝－1.又因为f(a)＝3，所以－1＝3，a＝16.答案：161．(多选)下列等式中的变量x，y不具有函数关系的是(　　)A．y＝x－1  B．y＝C．y2＝4x  D．y2＝x2解析：选CD　选项C中，当x＝1时，y＝±2，不符合函数的定义；选项D中，当x＝1时，y＝±1，不符合函数的定义．故选C、D.2．函数y＝＋的定义域为(　　)A．{x|x≤1}  B．{x|x≥0}C．{x|x≥1或x≤0}  D．{x|0≤x≤1}解析：选D　由题意可知解得0≤x≤1.3．已知函数f(x)＝x2－mx＋n，且f(1)＝－1，f(n)＝m，求f(x)及f[f(－1)]．解：由题意知解得所以f(x)＝x2－x－1，故f(－1)＝1.f(f(－1))＝f(1)＝－1.