高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示第二课时学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示第二课时学案，共9页。
第二课时　函数的概念(二)设计运行时速达350公里的京津城际列车呈现出超越世界的“中国速度”，使得新时速旅客列车的运行速度值界定在200公里/时与350公里/时之间．[问题]　(1)如何表示列车的运行速度的范围？(2)还可以用其他形式表示列车的运行速度的范围吗？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点一　区间的概念1．一般区间的表示设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b] 2．特殊区间的表示 定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}符号(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a) 用区间表示下列数集：(1){x|x≥1}＝________；(2){x|2＜x≤3}＝________；(3){x|x＞－1且x≠2}＝________；(4)R＝________；(5){x|x≤－1}∩{x|－5≤x＜2}＝________；(6){x|x＜9}∪{x|9＜x＜20}＝________．答案：(1)[1，＋∞)　(2)(2，3]　(3)(－1，2)∪(2，＋∞)(4)(－∞，＋∞)　(5)[－5，－1]　(6)(－∞，9)∪(9，20)知识点二　同一个函数 前提条件定义域相同对应关系完全一致结论这两个函数是同一个函数 定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？提示：不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)f(x)＝与g(x)＝x是同一个函数．(　　)(2)函数f(x)＝x2－x与g(t)＝t2－t是同一个函数．(　　)答案：(1)×　(2)√2．下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　)A．y＝与y＝x＋3B．y＝－1与y＝x－1C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z答案：C区间的应用[例1]　将下列集合用区间以及数轴表示出来：(1){x|x<2}；(2){x|－1<x<0或1≤x≤5}；(3){x|2≤x≤8且x≠5}；(4){x|3<x<5}．[解]　(1){x|x<2}可以用区间表示为(－∞，2)，用数轴表示如图①.(2){x|－1<x<0或1≤x≤5}可以用区间表示为(－1，0)∪[1，5]，用数轴表示如图②.(3){x|2≤x≤8且x≠5}用区间表示为[2，5)∪(5，8]，用数轴表示如图③.(4){x|3<x<5}用区间表示为(3，5)，用数轴表示如图④.用区间表示数集的方法(1)区间左端点值小于右端点值；(2)区间两端点之间用“，”隔开；(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号；(4)以“－∞”，“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号．　　　　 [跟踪训练]1．(2021·辽阳高一月考)函数f(x)＝＋的定义域为(　　)A．(－∞，－1)∪(－1，3]　　　　 B．(－∞，3]C．(－1，3]  D．(－∞，－1)解析：选A　要使函数f(x)＝＋有意义，则解得x≤3且x≠－1，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，3]．故选A.2．已知区间(4p－1，2p＋1)，则p的取值范围为________．解析：由题意，得4p－1<2p＋1，所以p<1.答案：(－∞，1)同一个函数的判定[例2]　(多选)下列式子表示同一个函数的是(　　)A．f(x)＝|x|，φ(t)＝B．y＝，y＝()2C．y＝·，y＝D．y＝，y＝x－3[解析]　A：f(x)与φ(t)的定义域相同，又φ(t)＝＝|t|，即f(x)与φ(t)的对应关系也相同，∴f(x)与φ(t)是同一个函数；B：y＝的定义域为R，y＝()2的定义域为{x|x≥0}，两者定义域不同，故y＝与y＝()2不是同一个函数；C：y＝·的定义域为{x|－1≤x≤1}，y＝的定义域为{x|－1≤x≤1}，即两者定义域相同．又∵y＝·＝，∴两函数的对应关系也相同．故y＝·与y＝是同一个函数；D：∵y＝＝|x－3|与y＝x－3的定义域相同，但对应关系不同，∴y＝与y＝x－3不是同一个函数．[答案]　AC判断两个函数是否为同一个函数的步骤　　　　 [跟踪训练]下列各组函数：①f(x)＝，g(x)＝x－1；②f(x)＝，g(x)＝；③f(x)＝x＋1，g(x)＝x＋x0；④f(x)＝x0，g(x)＝；⑤f(x)＝(x－1)2，g(t)＝t2－2t＋1.其中表示同一个函数的是________(填上所有正确的序号)．解析：①f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，g(x)的定义域为R，f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一个函数；②f(x)与g(x)的定义域都是{x|x>0}，f(x)＝，g(x)＝，它们的对应关系不同，不是同一个函数；③f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一个函数；④f(x)与g(x)的定义域、对应关系皆相同，故是同一个函数；⑤虽然表示自变量的字母不同，但f(x)与g(t)的定义域相同，对应关系相同，故是同一个函数．答案：④⑤求函数的值域[例3]　求下列函数的值域：(1)y＝－1；(2)y＝x2－2x＋3，x∈{－2，－1，0，1，2，3}；(3)y＝；(4)y＝2x＋4.[解]　(1)(直接法)∵≥0，∴－1≥－1，∴y＝－1的值域为[－1，＋∞)．(2)(观察法)∵x∈{－2，－1，0，1，2，3}，把x代入y＝x2－2x＋3得y＝11，6，3，2，∴y＝x2－2x＋3的值域为{2，3，6，11}．(3)(分离常数法)y＝＝＝3－.∵≠0，∴y≠3，∴y＝的值域为{y|y∈R，且y≠3}．(4)(换元法)令t＝(t≥0)，则x＝1－t2，则y＝－2t2＋4t＋2＝－2(t－1)2＋4(t≥0)，结合图象(图略)可得函数的值域为(－∞，4]．求函数值域常用的4种方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法．　　　　 [跟踪训练]1．函数y＝2x－的值域是________．解析：设t＝，则t≥0且x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝2＋，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为.答案：2．求下列函数的值域：(1)y＝；(2)y＝x2－4x＋6(1≤x≤5)；(3)y＝.解：(1)∵0≤16－x2≤16，∴0≤≤4，即函数y＝的值域为[0，4]．(2)y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，因为1≤x≤5，由函数图象(图略)可知y∈[2，11]．(3)∵y＝＝1－，且定义域为{x|x≠－1}，∴≠0，即y≠1.∴函数y＝的值域为{y|y∈R，且y≠1}．抽象函数与复合函数的定义域一、概念1．抽象函数的概念没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数．2．复合函数的概念若函数y＝f(t)的定义域为A，函数t＝g(x)的定义域为D，值域为C，则当C⊆A时，称函数y＝f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t＝g(x)叫做内层函数，y＝f(t)叫做外层函数．[说明]　由复合函数的定义可知，内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的子集，外层函数的定义域和内层函数的值域共同确定了复合函数的定义域．二、结论理解抽象函数或复合函数的定义域，要明确以下几点：(1)函数f(x)的定义域是指x的取值所组成的集合；(2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围，而不是φ(x)的范围；(3)f(t)，f(φ(x))，f(h(x))三个函数中的t，φ(x)，h(x)在对应关系f下的范围相同；(4)已知f(x)的定义域为A，求f(φ(x))的定义域，其实质是已知φ(x)的范围(值域)为A，求出x的取值范围；(5)已知f(φ(x))的定义域为B，求f(x)的定义域，其实质是已知f(φ(x))中的x的取值范围为B，求出φ(x)的范围(值域)，此范围就是f(x)的定义域．[迁移应用]1．已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域[例1]　已知函数f(x)＝，则函数f(3x－2)的定义域为(　　)A.　　　　　　 B.C．[－3，1]  D.[思路点拨]　解题的关键是求出函数y＝f(x)中x的范围，这个范围即为3x－2的范围，建立不等式求出自变量x的范围即可．[解析]　由－x2＋2x＋3≥0，解得－1≤x≤3，即函数f(x)的定义域为[－1，3]．由－1≤3x－2≤3，解得≤x≤，则函数f(3x－2)的定义域为.[答案]　A2．已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域[例2]　已知f(x2－1)定义域为[0，3]，则f(x)的定义域为________．[思路点拨]　定义域是指自变量的取值范围，则f(x2－1)中x∈[0，3]，求出x2－1的范围，这个范围即为f(x)的定义域．[解析]　根据f(x2－1)定义域为[0，3]，得x∈[0，3]，∴x2∈[0，9]，∴x2－1∈[－1，8]．故f(x)的定义域为[－1，8]．[答案]　[－1，8]3．已知f(g(x))的定义域，求f(h(x))的定义域[例3]　若函数f(x＋1)的定义域为，则函数f(x－1)的定义域为________．[思路点拨]　由f(x＋1)的定义域为，即－≤x≤2，可求得≤x＋1≤3，也就是f(x)的定义域为，由此可推出≤x－1≤3，进而求出x的范围即为f(x－1)的定义域．[解析]　由题意知－≤x≤2，则≤x＋1≤3，即f(x)的定义域为，∴≤x－1≤3，解得≤x≤4.故f(x－1)的定义域是.[答案]　1．不等式x－2≥0的所有解组成的集合表示成区间是(　　)A．(2，＋∞)  B．[2，＋∞)C．(－∞，2)  D．(－∞，2]解析：选B　不等式x－2≥0的所有解组成的集合为{x|x≥2}，表示成区间为[2，＋∞)．2．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是(　　)A．y＝  B．y＝C．y＝  D．y＝x2＋1解析：选B　y＝的值域为[0，＋∞)，y＝的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝x2＋1的值域为[1，＋∞)．3．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的值域为________．解析：由题图易知函数的值域为[－4，3]．答案：[－4，3]