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2020-2021学年第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用(二)学案及答案
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函数的零点与方程的解新课程标准解读核心素养1.结合学过的函数图象与性质,了解函数零点与方程解的关系数学抽象、直观想象2.了解函数零点存在定理,会判断函数零点的个数直观想象、逻辑推理 路边有一条河,小明从A点走到了B点.观察下列两幅图.[问题] 推断哪一幅能说明小明一定曾渡过河? 知识点一 函数的零点1.概念:使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系:1.函数的零点是实数,而不是点.如函数f(x)=x+1的零点是-1,而不是(-1,0).2.并不是所有的函数都有零点,如函数f(x)=,y=x2+1均没有零点.3.若函数有零点,则零点一定在函数的定义域内. 1.函数f(x)=log2x的零点是( )A.1 B.2C.3 D.4答案:A2.函数f(x)=(x-1)(x2+3x-10)的零点有______个.答案:3知识点二 函数零点存在定理1.条件:函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0;2.结论:函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.1.函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,f(a)f(b)<0时,能否判断函数在区间(a,b)上的零点个数?提示:只能判断有无零点,不能判断零点的个数.2.函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点,是不是一定有f(a)·f(b)<0?提示:不一定,如f(x)=x2在区间(-1,1)上有零点0,但是f(-1)f(1)=1×1=1>0.1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,则函数在区间(a,b)内有唯一的零点.( )(2)若函数y=f(x)在区间(a,b)上f(a)·f(b)>0,则在区间(a,b)内一定没有零点.( )(3)“f(a)f(b)<0”是“函数y=f(x)(f(x)的图象在[a,b]上是连续不断的)在区间(a,b)内至少有一个零点”的充分不必要条件.( )答案:(1)× (2)× (3)√2.函数f(x)=2x-的零点所在的区间是( )A.(1,+∞) B.C. D.答案:B求函数的零点[例1] (1)求函数f(x)=的零点;(2)已知函数f(x)=ax-b(a≠0)的零点为3,求函数g(x)=bx2+ax的零点.[解] (1)当x≤0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3;当x>0时,令-2+ln x=0,解得x=e2.所以函数f(x)=的零点为-3和e2.(2)由已知得f(3)=0,即3a-b=0,则b=3a,故g(x)=3ax2+ax=ax(3x+1).令g(x)=0,即ax(3x+1)=0,解得x=0或x=-.所以函数g(x)=bx2+ax的零点为0和-.函数零点的求法(1)代数法:求方程f(x)=0的实数根;(2)几何法:对于不能用求根公式的方程f(x)=0,可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来.图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点. [跟踪训练]1.函数f(x)=2x2-3x+1的零点是( )A.-,-1 B.,1C.,-1 D.-,1解析:选B 方程2x2-3x+1=0的两根分别为x1=1,x2=,所以函数f(x)=2x2-3x+1的零点是,1.2.若f(x)=则函数g(x)=f(x)-x的零点为________.解析:求g(x)的零点即求f(x)=x的根,∴或解得x=1+或x=1.∴g(x)的零点为1+,1.答案:1+,1函数零点个数问题角度一 判断函数零点个数[例2] 求函数f(x)=2x+lg(x+1)-2的零点个数.[解] 法一:∵f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=2+lg 2-2>0,∴f(x)在(0,1)上必定存在零点.又显然f(x)=2x+lg(x+1)-2在(-1,+∞)上为增函数.故函数f(x)有且只有一个零点.法二:在同一坐标系下作出h(x)=2-2x和g(x)=lg(x+1)的草图.由图象知g(x)=lg(x+1)的图象和h(x)=2-2x图象有且只有一个交点,即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.判断函数零点个数的4种常用方法(1)利用方程根,转化为解方程,有几个不同的实数根就有几个零点;(2)画出函数y=f(x)的图象,判定它与x轴的交点个数,从而判定零点的个数;(3)结合单调性,利用零点存在定理,可判定y=f(x)在(a,b)上零点的个数;(4)转化成两个函数图象的交点问题. 角度二 根据零点个数求参数范围[例3] 已知函数f(x)=(a∈R),若函数f(x)在R上有两个零点,则a的取值范围是( )A.(-∞,-1) B.(-∞,0)C.(-1,0) D.[-1,0)[解析] 当x>0时,f(x)=3x-1有一个零点x=.因此当x≤0时,f(x)=ex+a=0只有一个实根,∴a=-ex(x≤0),则-1≤a<0.[答案] D已知函数有零点(方根有根)求参数值常用的方法(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;(3)数形结合:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后观察求解. [跟踪训练]若函数f(x)=有两个不同的零点,则实数a的取值范围是________.解析:当x>0时,由f(x)=ln x=0,得x=1.因为函数f(x)有两个不同的零点,则当x≤0时,函数f(x)=2x-a有一个零点,令f(x)=0得a=2x,因为0<2x≤20=1,所以0<a≤1,所以实数a的取值范围是(0,1].答案:(0,1]函数零点所在区间问题[例4] (链接教科书第144页练习2题)f(x)=ex+x-2的零点所在的区间是( )A.(-2,-1) B.(-1,0)C.(0,1) D.(1,2)[解析] 法一:∵f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,∴f(x)在(0,1)内有零点.法二:ex+x-2=0,即ex=2-x,∴原函数的零点所在区间即为函数y=ex和y=2-x的图象交点的横坐标所在的区间.如图,由图象可得函数y=ex和y=2-x的图象交点所在的区间为(0,1).[答案] C 确定函数f(x)零点所在区间的常用方法(1)解方程法:当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,再看求得的根是否落在给定区间上;(2)利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点;(3)数形结合法:通过画函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. [跟踪训练]1.函数f(x)=ln x+x-3的零点所在的区间为( )A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)解析:选C ∵f(1)=ln 1+1-3=-2<0,f(2)=ln 2+2-3=ln 2-1<0,f(3)=ln 3+3-3=ln 3>0,且f(x)的图象是连续不断的,∴f(x)在(2,3)内有零点,故选C.2.函数f(x)=x2-ax+1在区间上有零点,则实数a的取值范围是( )A.(2,+∞) B.[2,+∞)C. D.解析:选D 由题意知方程ax=x2+1在上有解,即a=x+在上有解,设t=x+,x∈,则t的取值范围是,∴实数a的取值范围是.1.若f(x)=,则函数y=f(4x)-x的零点是( )A. B.-C.2 D.-2解析:选A 根据函数零点的概念,函数y=f(4x)-x的零点就是方程f(4x)-x=0的根,解方程f(4x)-x=0,即-x=0,得x=,故选A.2.函数y=x2-bx+1有一个零点,则b的值为( )A.2 B.-2C.±2 D.3解析:选C 因为函数有一个零点,所以Δ=b2-4=0,所以b=±2.3.(多选)下列说法中正确的是( )A.函数f(x)=x+1,x∈[-2,0]的零点为(-1,0)B.函数f(x)=x+1,x∈[-2,0]的零点为-1C.函数f(x)的零点,即函数f(x)的图象与x轴的交点D.函数f(x)的零点,即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标解析:选BD 根据函数零点的定义,可知f(x)=x+1,x∈[-2,0]的零点为-1,即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.因此B,D正确.4.已知函数f(x)的图象是连续不断的,有如下x,f(x)的对应值表: x123456f(x)1510-76-4-5 则函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )A.2个 B.3个C.4个 D.5个解析:选B 由题表可知f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,又函数f(x)的图象是连续不断的曲线,故f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点.5.函数f(x)=2x+2x在下列区间内一定有零点的是( )A.[-1,0] B.[-3,-2]C.[1,2] D.[3,4]解析:选A 函数f(x)=2x+2x是单调递增函数,且f(-1)=-2=-<0,f(0)=1>0,由函数零点存在定理可知,函数在区间[-1,0]上一定存在零点.
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