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    新人教A版高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数5.1函数的零点与方程的解学案

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    2020-2021学年第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用(二)学案及答案

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    这是一份2020-2021学年第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用(二)学案及答案,共7页。
    函数的零点与方程的解新课程标准解读核心素养1.结合学过的函数图象与性质了解函数零点与方程解的关系数学抽象、直观想象2.了解函数零点存在定理会判断函数零点的个数直观想象、逻辑推理 路边有一条河小明从A点走到了B点.观察下列两幅图.[问题] 推断哪一幅能说明小明一定曾渡过河?                                                                                                            知识点一 函数的零点1.概念:使f(x)=0的实数x叫做函数yf(x)的零点.2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系:1函数的零点是实数而不是点.如函数f(x)=x+1的零点是-1,而不是(-10).2并不是所有的函数都有零点如函数f(x)=yx2+1均没有零点.3若函数有零点则零点一定在函数的定义域内.     1.函数f(x)=log2x的零点是(  )A.1         B.2C.3  D.4答案:A2.函数f(x)=(x-1)(x2+3x-10)的零点有______个.答案:3知识点二 函数零点存在定理1.条件:函数yf(x)在区间[ab]上的图象是一条连续不断的曲线且有f(a)f(b)<02.结论:函数yf(x)在区间(ab)内至少有一零点存在c∈(ab)使f(c)=0这个c也就是方程f(x)=0的解.1.函数yf(x)在区间[ab]上的图象是连续不断的一条曲线f(a)f(b)<0时能否判断函数在区间(ab)上的零点个数?提示:只能判断有无零点不能判断零点的个数.2.函数yf(x)在区间(ab)上有零点是不是一定有f(a)·f(b)<0?提示:不一定f(x)=x2在区间(-11)上有零点0但是f(-1)f(1)=1×1=1>0.1.判断正误.(正确的画“√”错误的画“×”)(1)函数yf(x)在区间[ab]上的图象是一条连续不断的曲线且有f(a)f(b)<0则函数在区间(ab)内有唯一的零点.(  )(2)若函数yf(x)在区间(ab)上f(af(b)>0则在区间(ab)内一定没有零点.(  )(3)“f(a)f(b)<0”是“函数yf(x)(f(x)的图象在[ab]上是连续不断的)在区间(ab)内至少有一个零点”的充分不必要条件.(  )答案:(1)× (2)× (3)√2.函数f(x)=2x的零点所在的区间是(  )A.(1+∞)  B.C.  D.答案:B求函数的零点[例1] (1)求函数f(x)=的零点;(2)已知函数f(x)=axb(a≠0)的零点为3求函数g(x)=bx2ax的零点.[解] (1)当x≤0时x2+2x-3=0解得x=-3;x>0时令-2+ln x=0解得xe2.所以函数f(x)=的零点为-3和e2.(2)由已知得f(3)=0即3ab=0b=3ag(x)=3ax2axax(3x+1).g(x)=0ax(3x+1)=0解得x=0或x=-.所以函数g(x)=bx2ax的零点为0和-.函数零点的求法(1)代数法:求方程f(x)=0的实数根;(2)几何法:对于不能用求根公式的方程f(x)=0可以将它与函数yf(x)的图象联系起来.图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.     [跟踪训练]1.函数f(x)=2x2-3x+1的零点是(  )A.-1       B.,1C.-1  D.-,1解析:选B 方程2x2-3x+1=0的两根分别为x1=1x2所以函数f(x)=2x2-3x+1的零点是1.2.f(x)=则函数g(x)=f(x)-x的零点为________.解析:求g(x)的零点即求f(x)=x的根解得x=1+x=1.g(x)的零点为1+1.答案:1+,1函数零点个数问题角度一 判断函数零点个数[例2] 求函数f(x)=2xlg(x+1)-2的零点个数.[解] 法一:∵f(0)=1+0-2=-1<0f(1)=2+lg 2-2>0f(x)在(01)上必定存在零点.又显然f(x)=2xlg(x+1)-2在(-1+∞)上为增函数.故函数f(x)有且只有一个零点.法二:在同一坐标系下作出h(x)=2-2xg(x)=lg(x+1)的草图.由图象知g(x)=lg(x+1)的图象和h(x)=2-2x图象有且只有一个交点f(x)=2xlg(x+1)-2有且只有一个零点.判断函数零点个数的4种常用方法(1)利用方程根转化为解方程有几个不同的实数根就有几个零点(2)画出函数yf(x)的图象判定它与x轴的交点个数从而判定零点的个数;(3)结合单调性利用零点存在定理可判定yf(x)在(ab)上零点的个数;(4)转化成两个函数图象的交点问题.     角度二 根据零点个数求参数范围[例3] 已知函数f(x)=(aR)若函数f(x)在R上有两个零点a的取值范围是(  )A.(-∞-1)  B.(-∞,0)C.(-1,0)  D.[-1,0)[解析] 当x>0时f(x)=3x-1有一个零点x.因此当x≤0f(x)=exa=0只有一个实根a=-ex(x≤0)则-1≤a<0.[答案] D已知函数有零点(方根有根)求参数值常用的方法(1)直接法:直接求解方程得到方程的根再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离转化成求函数值域问题加以解决;(3)数形结合:先对解析式变形在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后观察求解.     [跟踪训练]若函数f(x)=有两个不同的零点,则实数a的取值范围是________.解析:当x>0时f(x)=ln x=0x=1.因为函数f(x)有两个不同的零点则当x≤0时函数f(x)=2xa有一个零点f(x)=0得a=2x因为0<2x20=1所以0<a≤1所以实数a的取值范围是(01].答案:(0,1]函数零点所在区间问题[例4] (链接教科书第144页练习2题)f(x)=exx-2的零点所在的区间是(  )A.(-2-1)  B.(-1,0)C.(0,1)  D.(1,2)[解析] 法一:∵f(0)=-1<0f(1)=e-1>0f(x)在(01)内有零点.法二:exx-2=0ex=2-x原函数的零点所在区间即为函数yexy=2-x的图象交点的横坐标所在的区间.如图由图象可得函数yexy=2-x的图象交点所在的区间为(01).[答案] C 确定函f(x)零点所在区间的常用方法(1)解方程法:当对应方程f(x)=0易解时可先解方程再看求得的根是否落在给定区间上;(2)利用函数零点存在定理:首先看函数yf(x)在区间[ab]上的图象是否连续再看是否有f(af(b)<0.若有则函数yf(x)在区间(ab)内必有零点;(3)数形结合法:通过画函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.     [跟踪训练]1.函数f(x)=ln xx-3的零点所在的区间为(  )A.(0,1)  B.(1,2)C.(2,3)  D.(3,4)解析:选C ∵f(1)=ln 1+1-3=-2<0f(2)=ln 2+2-3=ln 2-1<0f(3)=ln 3+3-3=ln 3>0f(x)的图象是连续不断的f(x)在(23)内有零点故选C.2函数f(x)=x2ax+1在区间上有零点则实数a的取值范围是(  )A.(2+∞)       B.[2+∞)C.  D.解析:选D 由题意知方程axx2+1在上有解ax上有解txxt的取值范围是实数a的取值范围是.1.f(x)=则函数yf(4x)-x的零点是(  )A.  B.C.2  D.-2解析:选A 根据函数零点的概念函数yf(4x)-x的零点就是方程f(4x)-x=0的根解方程f(4x)-x=0x=0x故选A.2.函数yx2bx+1有一个零点b的值为(  )A.2  B.-2C.±2  D.3解析:选C 因为函数有一个零点所以Δb2-4=0所以b=±2.3.(多选)下列说法中正确的是(  )A.函数f(x)=x+1x[-2,0]的零点为(-1,0)B.函数f(x)=x+1x[-2,0]的零点为-1C.函数f(x)的零点即函数f(x)的图象与x轴的交点D.函数f(x)的零点即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标解析:选BD 根据函数零点的定义可知f(x)=x+1x[-20]的零点为-1即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.因此BD正确.4.已知函数f(x)的图象是连续不断的有如下xf(x)的对应值表: x123456f(x)1510-76-4-5 则函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有(  )A.2 B.3C.4 D.5解析:选B 由题表可知f(2)·f(3)<0f(3)·f(4)<0f(4)·f(5)<0又函数f(x)的图象是连续不断的曲线f(x)在区间[16]上至少有3个零点.5.函数f(x)=2x+2x在下列区间内一定有零点的是(  )A.[-1,0]  B.[-3-2]C.[1,2]  D.[3,4]解析:选A 函数f(x)=2x+2x是单调递增函数f(-1)=-2=-<0f(0)=1>0由函数零点存在定理可知函数在区间[-10]上一定存在零点. 

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