高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）学案，共8页。
函数模型的应用新课程标准解读核心素养1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具数学建模2.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律数学运算 爱因斯坦说过，复利的威力比原子弹还可怕．若每月坚持投资100元，40年之后将成为百万富翁．也就是说随着变量的增长，指数函数值的增长是非常迅速的，可以根据这一特点来进行资金的管理．例如，按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，设本利和为y，存期为x，那么要知道存一定期限之后所得的本利和，就要写出本利和y随着存期x变化的函数式．假设存入的本金为1 000元，每期的利率为2.25%.[问题]　五期后的本利和是多少？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点　几种常见函数模型 函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)反比例函数模型f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数型函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)对数型函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)幂函数型模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)分段函数模型y＝对于建立的各种函数模型，要能够对其进行识别，充分利用数学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺利解决实际问题的重要资本．运用已知函数模型刻画实际问题时，由于实际问题的条件与得出已知模型的条件会有所不同，因此往往需要对模型进行修正．　　　　 1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后期增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用(　　)A．一次函数　　　　　　 B．二次函数C．指数型函数  D．对数型函数解析：选D　由于一次函数、二次函数、指数型函数后期增长不会越来越慢，只有对数型函数后期增长越来越慢．2．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的关系可以表示为________．解析：分裂一次后为2×2＝22个，分裂两次后为4×2＝23个，……，分裂x次后为y＝2x＋1个，所以函数关系式y＝2x＋1.答案：y＝2x＋1指数型模型的应用[例1]　(链接教科书第149页例4)一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减．(1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)．[解]　(1)最初的质量为500 g.经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9；经过2年，w＝500×0.92；由此推知，t年后，w＝500×0.9t.(2)由题意得500×0.9t＝250，即0．9t＝0.5，两边取以10为底的对数，得lg 0.9t＝lg 0.5，即tlg 0.9＝lg 0.5，∴t＝≈6.6.即这种放射性元素的半衰期为6.6年．指数函数模型的应用在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．　　　　 [跟踪训练]据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2019年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m，则从2019年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是(　　)A．y＝0.95·mB．y＝(1－0.05)·mC．y＝0.9550－x·mD．y＝(1－0.0550－x)·m解析：选A　设北冰洋每年冬季冰雪覆盖面积为上一年的q%.由题意可知(q%)50＝0.95，所以q%＝0.95，所以从2019年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式为y＝0.95·m.对数型模型的应用[例2]　大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝log3，单位是 m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数．(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？(2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？[解]　(1)由v＝log3可知，当θ＝900时，v＝log3＝log39＝1(m/s)．所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1 m/s.(2)由v2－v1＝1，即log3－log3＝1，得＝9.所以耗氧量的单位数为原来的9倍．[母题探究](变设问)若本例条件不变：(1)当一条鲑鱼的耗氧量是8 100 个单位时，它的游速是多少？(2)求一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数．解：(1)将θ＝8 100代入函数解析式，得v＝log381＝×4＝2(m/s)，所以一条鲑鱼的耗氧量是8 100个单位时，它的游速是2 m/s.(2)令v＝0，得log3＝0，即＝1，则θ＝100，所以一条鲑鱼静止时的耗氧量为100个单位．对数函数应用题的基本类型和求解策略(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解；(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．　　　　 [跟踪训练]某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元；销售额x为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y＝alog4x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元．解析：依题意得即解得a＝2，b＝－2.∴y＝2log4x－2，当y＝8时，2log4x－2＝8，解得x＝1 024.故他的销售额应为1 024万元．答案：1 024建立拟合函数模型解决实际问题[例3]　(链接教科书第150页例5)某个体经营者把前六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：月投资A种商品的金额/万元123456纯利润/万元0.651.391.8521.841.40  月投资B种商品的金额/万元123456纯利润/万元0.250.490.7611.261.51 该经营者准备下个月投入12万元经营这两种商品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才最合算．请你帮助制订一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并求出最大纯利润．(精确到0.1万元)[解]　以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，画出散点图，如图所示．据此，可考虑用函数y＝－a(x－4)2＋2(a>0)　①表示投资A种商品的金额与其纯利润的关系，用y＝bx(b>0)　②表示投资B种商品的金额与其纯利润的关系．把x＝1，y＝0.65代入①式，得0.65＝－a(1－4)2＋2，解得a＝0.15，经检验，解析式满足题意，故所获纯利润关于月投资A种商品的金额的函数解析式可近似地用y＝－0.15(x－4)2＋2来表示．把x＝4，y＝1代入②式，解得b＝0.25，经检验，解析式满足题意，故所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数解析式可近似地用y＝0.25x来表示．设下个月投入A，B两种商品的资金分别是xA万元，xB万元，纯利润为W万元，得即W＝－0.15＋0.15×＋2.6.故当xA＝≈3.2时，W取得最大值，约为4.1，此时，xB＝8.8.即下个月投入A，B两种商品的资金分别约为3.2万元，8.8万元时，可获得最大纯利润，约为4.1万元．建立拟合函数与预测的基本步骤　　　　 [跟踪训练]某商场经营一批进价为每件30元的商品，在市场销售中发现此商品的销售单价x(元)与日销量y(件)之间有如下关系：销售单价x(元)30404550日销售量y(件)6030150(1)根据表中提供的数据在平面直角坐标系中描出实数对(x，y)对应的点，并确定x与y的一个函数关系式y＝f(x)；(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少时，才能获得最大日销售利润．解：(1)由题表中数据，在平面直角坐标系中作出实数对(30，60)，(40，30)，(45，15)，(50，0)对应的点，它们近似地分布在一条直线上，如图所示．设直线方程为y＝kx＋b(k≠0)，将点(50，0)，(45，15)代入，得解得∴y＝－3x＋150(30≤x≤50)．经检验(30，60)，(40，30)在此直线上，∴所求函数关系式为y＝－3x＋150(30≤x≤50)．(2)依题意P＝y(x－30)＝(－3x＋150)(x－30)＝－3(x－40)2＋300(30≤x≤50)，∴当x＝40时，P取得最大值，最大值为300.故当销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润．1．衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为V＝ae－kt，新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为(　　)A．75　　 B．100　　　C．125　　 D．150解析：选A　由题意，得a＝ae－50k，解得e－25k＝.令ae－kt＝a，即e－kt＝＝(e－25k)3＝e－75k，则t＝75，即需经过的天数为75.2．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系y＝2kx＋m(k，m为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是64小时，在18 ℃的保鲜时间是16小时，则该食品在36 ℃的保鲜时间是(　　)A．4小时  B．8小时  C．16小时  D．32小时解析：选A　依题意得解得∴y＝2－x＋6.当x＝36时，y＝2－×36＋6＝22＝4，故选A.3．某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如下表：月份123产量/千件505253.9为估计以后每月该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数y＝ax＋b或y＝ax＋b(a，b为常数，且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份的关系．请问用以上哪个模拟函数较好？说明理由．解：若用函数y＝ax＋b(a≠0)模拟，取(1，50)，(2，52)，则有得∴y＝2x＋48.当x＝3时，y＝54.若用函数y＝ax＋b模拟，取(1，50)，(2，52)，则有得∴y＝2x＋48.当x＝3时，y＝56.由题知3月份的产量为53.9千件，因此用函数y＝2x＋48模拟的估计误差较小，故用函数y＝ax＋b模拟比较好．