人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质第二课时学案设计

第二课时　正、余弦函数的单调性与最值

过山车是一项富有刺激性的娱乐项目．那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷．过山车的运动包含了许多物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理．如果能亲身体验一下由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言．一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)这几个循环路径．

[问题]　(1)函数y＝sin x与y＝cos x图象也像过山车一样“爬升”“滑落”，这是y＝sin x，y＝cos x的什么性质？

(2)过山车爬升到最高点，然后滑落到最低点，再爬升，对应函数y＝sin x，y＝cos x的什么性质？函数y＝sin x，y＝cos x的图象在什么位置取得最大(小)值？

知识点　正、余弦函数的单调性与最值

对单调区间的理解

(1)k取Z内的每一个值，都对应着一个增区间及减区间，这些区间是断开的；

(2)正弦函数和余弦函数不是定义域内的单调函数；

(3)正弦函数或余弦函数取最值时，对应着图象的最高点或最低点．　　　　

1．从图象的变化趋势来看，正、余弦函数的最大值、最小值点分别处在什么位置？

提示：正、余弦函数的最大值、最小值点均处于图形拐弯的地方．

2．研究正弦函数单调性时，为什么常取区间，而不选[0，2π]作为一个周期呢？

提示：从图象可以看出，如果选[0，2π]这一段，其增函数的图象是断开的，不易分析，而选取作为一个周期区间，则能很好地体现其单调性．

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)正弦函数y＝sin x在R上是增函数．(　　)

(2)余弦函数y＝cos x的一个减区间是[0，π]．(　　)

(3)∃x∈[0，2π]满足sin x＝2.(　　)

(4)当余弦函数y＝cos x取最大值时，x＝π＋2kπ，k∈Z.(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×

2．函数y＝2sin x在区间[－π，π]上的单调递增区间是(　　)

A.　　　　　 B.

C.  D.

答案：A

3．函数y＝3＋2cos x的最小值为________．

答案：1

4．函数f(x)＝2sin x(x>0)的值域是________．

答案：[－2，2]

[例1]　(链接教科书第206页例5)求下列函数的单调区间：

(1)y＝cos；

(2)y＝2sin.

[解]　(1)当2kπ－π≤＋≤2kπ，k∈Z时，函数单调递增，

故函数的单调递增区间是(k∈Z)．　

当2kπ≤＋≤2kπ＋π，k∈Z时，

函数单调递减，故函数的单调递减区间是(k∈Z)．

(2)∵y＝2sin＝－2sin，

∴函数y＝－2sin的单调增区间、单调减区间分别由下面的不等式确定．

2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，①

2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)．②

解①得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，

解②得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．

故函数y＝2sin的单调增区间、单调减区间分别为(k∈Z)，(k∈Z)．

求解与正弦、余弦函数有关的单调区间的两个技巧

(1)数形结合：结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间；

(2)整体代换：确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的方法，采用“换元法”整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“Z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin Z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x的系数转化为正数．　　　　

[跟踪训练]

1．函数y＝|cos x|的一个单调减区间是(　　)

A.　　　　 B.

C.  D.

解析：选C　函数y＝|cos x|＝图象如下图所示：

单调减区间有，，…，故选C.

2．求函数y＝sin，x∈的单调递减区间．

解：由＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ(k∈Z)，

得＋≤x≤＋(k∈Z)．

又x∈，

所以函数y＝sin，x∈的单调递减区间为，.

[例2]　(链接教科书第206页例4)不通过求值，比较下列各组数的大小：

(1)sin 250°与sin 260°；(2)cos与cos.

[解]　(1)∵函数y＝sin x在上单调递减，

且90°<250°<260°<270°，

∴sin 250°>sin 260°.

(2)cos＝cos＝cos，

cos＝cos＝cos.

∵函数y＝cos x在[0，π]上单调递减，

且0<<<π，

∴cos>cos，

∴cos>cos.

比较三角函数值大小的方法

(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较；

(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．　　　　

[跟踪训练]

不通过求值，比较下列各组数的大小：

(1)sin与sin；

(2)sin 194°与cos 160°.

解：(1)sin＝sin＝sin，

sin＝sin＝sin ，

∵y＝sin x在上是增函数，

∴sin<sin ，

即sin<sin π.

(2)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，

cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°.

∵0°<14°<70°<90°，

∴sin 14°<sin 70°，

∴－sin 14°>－sin 70°，

即sin 194°>cos 160°.

[例3]　(链接教科书第205页例3)(1)求函数y＝2cos，x∈的值域；

(2)求函数y＝cos2x＋4sin x的最值及取到最大值和最小值时x的取值集合．

[解]　(1)∵－<x<，

∴0<2x＋<，

∴－<cos<1，

∴函数y＝2cos，x∈的值域为(－1，2)．

(2)y＝cos2x＋4sin x

＝1－sin2x＋4sin x

＝－sin2x＋4sin x＋1

＝－(sin x－2)2＋5.

∴当sin x＝1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，ymax＝4；

当sin x＝－1，即x＝2kπ－，k∈Z时，ymin＝－4.

∴ymax＝4，此时x的取值集合是

；

ymin＝－4，此时x的取值集合是

.

三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法

(1)形如y＝asin x(或y＝acos x)型，可利用正弦函数(余弦函数)的有界性，注意对a正负的讨论；

(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值；

(3)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定．　　　　

[跟踪训练]

　求函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值．

解：因为f(x)＝sin2x＋cos x－，

f(x)＝1－cos2x＋cos x－，

令cos x＝t且t∈[0，1]，

则y＝－t2＋t＋＝－＋1，

则当t＝时，f(x)取最大值1.

1．函数f(x)＝2sin x在区间上的最大值为(　　)

A．0　　　　　　　　　　 B．－

C.  D．2

解析：选D　因为x∈，所以当x＝时，

函数f(x)有最大值2.

2．函数y＝3cos在x＝________时，y取最大值．

解析：当函数取最大值时，x－＝2kπ(k∈Z)，

x＝4kπ＋(k∈Z)．

答案：4kπ＋(k∈Z)

3．sin________sinπ(填“>”或“<”)．

解析：sinπ＝sin＝sin，

sinπ＝sin＝sin.

因为y＝sin x在上单增，

又0<<<，

所以sin<sin，

所以sin<.

答案：<

4．求函数f(x)＝sin在上的单调递增区间．

解：令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，又0≤x≤，

所以f(x)在上的单调递增区间是.