高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.1 任意角和弧度制第一课时导学案及答案

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式新课程标准解读核心素养1.经历推导两角差的余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义数学抽象、逻辑推理2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系逻辑推理、数学运算3.能够运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式解决求值、化简等问题数学运算 第一课时　两角差的余弦公式很多同学认为两角差的余弦cos(α－β)＝cos α－cos β，那么这个结论正确吗？让我们做一个试验：cos(60°－30°)与cos 60°－cos 30°的值作比较，cos(60°－30°)＝cos 30°＝，cos 60°－cos 30°＝－，显然，cos(60°－30°)≠cos 60°－cos 30°，由此可得cos(α－β)＝cos α－cos β不一定成立．[问题]　如何用α，β的正、余弦值表示cos(α－β)呢？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点　两角差的余弦公式两角差的余弦公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ简记符号C(α－β)使用条件α，β都是任意角 1．公式的结构特征2．公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合．　　　　 1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)∃α，β∈R，cos(α－β)＝cos α－cos β成立．(　　)(2)对∀α，β∈R，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β都成立．(　　)答案：(1)√　(2)√2．cos 20°＝(　　)A．cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10°B．cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°C．sin 30°cos 10°－sin 10°cos 30°D．cos 30°cos 10°－sin 30°cos 10°答案：B3．设α∈，若sin α＝，则cos＝________．答案： 给角求值问题[例1]　(1)cos(－15°)的值为(　　)A.　　　　　 B.C.  D．－(2)cos 105°＋sin 105°.(1)[解析]　cos(－15°)＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝×＋×＝，故选C.[答案]　C(2)[解]　cos 105°＋sin 105°＝cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°＝cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝.利用两角差的余弦公式求值的一般思路(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解；(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值．　　　　 [跟踪训练]1．cos 105°＝________．解析：原式＝cos(150°－45°)＝cos 150°cos 45°＋sin 150°sin 45°＝－×＋×＝.答案：2．求下列各式的值：(1)cos 80°·cos 35°＋cos 10°·cos 55°；(2)sin 100°·sin(－160°) ＋cos 200°·cos(－280°)．解：(1)原式＝cos 80°·cos 35°＋sin 80°·sin 35°＝cos(80°－35°)＝cos 45°＝.(2)原式＝sin(180°－80°)·sin(－180°＋20°)＋cos(20°＋180°)·cos(80°－360°)＝sin 80°·(－sin 20°)＋(－cos 20°)·cos 80°＝－(cos 20°·cos 80°＋sin 20°·sin 80°)＝－cos(20°－80°)＝－.给值求值问题[例2]　(链接教科书第216页例2)(1)若sin(π＋θ)＝－，θ是第二象限角，sin＝－，φ是第三象限角，求cos(θ－φ)的值；(2)已知sin α＝，cos(α＋β)＝－，α，β均为锐角，求cos β的值．[解]　(1)∵sin(π＋θ)＝－sin θ＝－，∴sin θ＝，又θ是第二象限角，∴cos θ＝－.∵sin＝cos φ＝－，且φ为第三象限角，∴sin φ＝－，∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ＝×＋×＝.(2)由sin α＝和α为锐角可得cos α＝＝.由cos(α＋β)＝－和0<α＋β<180°可得sin(α＋β)＝＝.于是cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝.给值求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角；(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：①α＝(α－β)＋β；②α＝＋；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．　　　　 [跟踪训练]1．已知cos α＝，α∈，则cos＝(　　)A．  B．C．－  D．－解析：选B　∵cos α＝，α∈，∴sin α＝－＝－，则cos＝(cos α－sin α)＝.2．已知sin＝－，且π<α<π，求cos α的值．解：因为π<α<π，所以π<α＋<2π，所以cos>0，所以cos＝＝ ＝，所以cos α＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝－.给值求角问题[例3]　已知α，β均为锐角，且sin α＝，sin β＝，求α－β的值．[解]　∵α，β均为锐角，∴cos α＝，cos β＝.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.又∵sin α>sin β，∴0<β<α<，∴0<α－β<.故α－β＝.[母题探究](变条件)若本例中“sin α”变为“cos α”，“sin β ”变为“cos β”，则α－β＝________．解析：∵α，β均为锐角，∴sin α＝，sin β＝，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.又∵sin α<sin β，∴0<α<β<，∴－<α－β<0，故α－β＝－.答案：－已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围；(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数；(3)结合三角函数值及角的范围求角．　　　　 [跟踪训练]若cos(α－β)＝，cos 2α＝，α，β均为锐角，且α<β，求α＋β的值．解：∵cos(α－β)＝，cos 2α＝，α，β∈，且α<β，∴α－β∈，2α∈(0，π)，∴sin(α－β)＝－，sin 2α＝，∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)＝×＋×＝－，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.1．cos 56°cos 26°＋sin 56°cos 64°的值为(　　)A.  B．－C.  D．－解析：选C　原式＝cos 56°cos 26°＋sin 56°sin 26°＝cos(56°－26°)＝cos 30°＝.2．cos(－75°)的值(　　)A.  B.C.  D.解析：选C　cos(－75°)＝cos(－30°－45°)＝cos(－30°)×cos 45°＋sin(－30°)sin 45°＝×－×＝，故选C.3．已知α是锐角，sin α＝，则cos＝________．解析：因为α是锐角，sin α＝，所以cos α＝，所以cos＝coscos α＋sinsin α＝×＋×＝.答案：4．化简：＝________．解析：＝＝＝.答案：