人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制第二课时导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制第二课时导学案，共9页。
第二课时　两角和与差的正弦、余弦公式乔布斯描述苹果电脑是“思想的自行车”——一种能够使人们的思想达到想象中任何角落的工具，并且功能多样，他用类比介绍了这一引领信息时代的创新发明．我们一旦开始给予类比密切的关注，就会发现它在生活中随处可见，类比可以推动创新．[问题]　(1)你能用类比的方法，由cos(α－β)推导出cos(α＋β)吗？(2)两角和与差的正弦公式如何推导出来？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点　两角和与差的余弦、正弦公式 名称简记符号公式使用条件两角差的余弦公式C(α－β)cos(α－β)＝cos α·cos β＋sin αsin βα，β∈R两角和的余弦公式C(α＋β)cos(α＋β)＝cos_α·cos_β－sin_αsin_βα，β∈R两角和的正弦公式S(α＋β)sin(α＋β)＝sin_α·cos_β＋cos_αsin_βα，β∈R两角差的正弦公式S(α－β)sin(α－β)＝sin_α·cos_β－cos_αsin_βα，β∈R两角和与差的正弦、余弦公式的记忆方法(1)理顺公式间的联系：C(α＋β)C(α－β)S(α－β)S(α＋β)(2)注意公式的结构特征和符号规律：对于公式C(α－β)，C(α＋β)，可记为“同名相乘，符号反”；对于公式S(α－β)，S(α＋β)，可记为“异名相乘，符号同”．　　　　 1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(　　)(2)sin(α－β)＝sin βcos α－sin αcos β.(　　)答案：(1)√　(2)×2．cos 50°cos 10°－sin 50°sin 10°的值为(　　)A．0　　　　　　　　 B.C.  D．cos 40°答案：B3．sin 15°＝________．答案：4．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin＝________．答案：－给角求值问题[例1]　(链接教科书第219页例4)求值：(1)sin 245°·sin 125°＋sin 155°sin 35°；(2).[解]　(1)原式＝－sin 65°sin 55°＋sin 25°sin 35°＝－cos 25°cos 35°＋sin 25°sin 35°＝－cos(35°＋25°)＝－cos 60°＝－.(2)原式＝＝＝＝＝.解给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形；(2)一般途径有：将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，变换分子、分母的形式进行约分，解题时要注意逆用或变形用公式．　　　　 [跟踪训练]1．cos 70°sin 50°－cos 200°sin 40°的值为(　　)A．－　　　　　　　 B．－C.  D.解析：选D　∵cos 200°＝cos(180°＋20°)＝－cos 20°＝－sin 70°，sin 40°＝cos 50°，∴原式＝cos 70°sin 50°－(－sin 70°)cos 50°＝sin(50°＋70°)＝sin 120°＝.2．化简求值：(1)；(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)．解：(1)原式＝＝＝＝sin 30°＝.(2)设α＝θ＋15°，则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－cos α＝＋－cos α＝0.给值求值问题[例2]　(链接教科书第218页例3)已知α，β均为锐角，sin α＝，cos(α＋β)＝.(1)求cos的值；(2)求sin β的值．[解]　(1)∵α为锐角，sin α＝，∴cos α＝＝，∴cos＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋×＝.(2)∵α，β均为锐角，∴α＋β∈(0，π)，由cos(α＋β)＝，得sin(α＋β)＝＝，∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×－×＝.解决给值求值问题的策略(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．　　　　 [跟踪训练]1．已知sin α＝，cos β＝－，且α为第一象限角，β为第二象限角，则sin(α＋β)的值为________．解析：因为α为第一象限角，β为第二象限角，sin α＝，cos β＝－，所以cos α＝，sin β＝，所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝.答案：2．(2021·河北石家庄辛集中学高一月考)若0<α<<β<π，且cos β＝－，sin(α＋β)＝，求sin α的值．解：由<β<π，cos β＝－得sin β＝.又0<α<<β<π，所以<α＋β<，所以cos (α＋β)＝－＝－＝－.所以sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝×＋×＝.给值求角问题[例3]　已知sin α＝，sin β＝，且α和β均为钝角，求α＋β的值．[解]　因为α和β均为钝角，所以cos α＝－＝－，cos β＝－＝－.由α和β均为钝角，得π<α＋β<2π，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.所以α＋β＝.给值求角问题的求解策略(1)解题步骤：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的取值范围写出所求的角；(2)选三角函数的方法：例如，若角的取值范围在某一个象限内，则选正弦函数、余弦函数均可；若角的取值范围在一、二或三、四象限，则选余弦函数；若角的取值范围在一、四或二、三象限，则选正弦函数等．　　　　 [跟踪训练]已知α∈，β∈，且cos(α－β)＝，sin β＝－，求α.解：∵α∈，β∈，∴α－β∈(0，π)．∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝.∵β∈，sin β＝－，∴cos β＝.∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝×＋×＝.又∵α∈，∴α＝.两角和与差的三角函数公式在三角形中的应用在钝角三角形ABC中，已知C为钝角，A，B都是锐角，试探究P＝sin(A＋B)，Q＝sin A＋sin B，R＝cos A＋cos B的大小，并把P，Q，R按从小到大的顺序排列起来．[问题探究]1．当A＝30°，B＝30°时，求P，Q，R的值，并比较它们的大小．提示：当A＝30°，B＝30°时，P＝sin(30°＋30°)＝sin 60°＝，Q＝sin 30°＋sin 30°＝2sin 30°＝1，R＝cos 30°＋cos 30°＝2cos 30°＝，∴P<Q<R.2．当A＝30°，B＝45°时，求P，Q，R的值，并比较它们的大小．提示：当A＝30°，B＝45°时，P＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝×＋×＝，Q＝sin 30°＋sin 45°＝＋＝，R＝cos 30°＋cos 45°＝＋＝，∵P－Q＝－＝<0，∴P<Q，∵Q－R＝－＝<0，∴Q<R，∴P<Q<R.3．由问题1，2你能得到什么结论，并证明你的结论．提示：由问题1，2猜想P<Q<R.证明：∵C为钝角，∴0<A＋B<，∴A<－B，B<－A，∴cos A>cos＝sin B，cos B>cos＝sin A，∴R－Q＝cos A＋cos B－sin A－sin B>sin B＋sin A－sin A－sin B＝0，即R>Q.∵P－Q＝sin(A＋B)－sin A－sin B＝sin Acos B＋cos Asin B－sin A－sin B＝sin A(cos B－1)＋sin B(cos A－1)<0，∴P<Q.综上可得P<Q<R.4．若将钝角三角形改为锐角三角形，P，Q，R的大小又如何？提示：∵P－R＝sin(A＋B)－cos A－cos B＝sin Acos B＋cos Asin B－cos A－cos B＝(sin A－1)cos B＋(sin B－1)cos A<0，∴P<R.∵△ABC为锐角三角形，∴0<A<，0<B<，A＋B>，∴－B<A<，－A<B<，∴R－Q＝cos A＋cos B－sin A－sin B<cos A＋cos B－sin－sin＝cos A＋cos B－cos B－cos A＝0，∴R<Q，综上，P<R<Q.[迁移应用]已知A，B，C是△ABC的三个内角，y＝tan＋，若任意交换两个角的位置，y的值是否变化？证明你的结论．解：任意交换两个角的位置，y的值不变．证明如下：∵A，B，C是△ABC的三个内角，A＋B＋C＝π，∴＝－.y＝tan＋＝tan＋＝tan＋＝tan＋tan＋tan，因此任意交换两个角的位置，y的值不变．1．coscos－sinsin＝(　　)A.　　　　　　　 B.C.  D．1解析：选B　cos cos－sinsin＝cos＝cos＝，故选B.2．已知cos＝，则sin＝(　　)A.  B.C.  D.解析：选A　∵cos＝－sin α＝，∴sin α＝－，∴－<α<0，∴cos α＝，∴sin＝sin αcos＋cos αsin＝－×＋×＝，故选A.3．(2021·天津一中高一质检)已知0<β<α<，点P(1，4)为角α的终边上一点，且sin αsin＋cos αcos＝，则角β＝(　　)A.　　　　　　　 B.C.  D.解析：选D　由题意知|OP|＝7(O为坐标原点)，∴sin α＝，cos α＝.由sin αsin＋cos αcos＝，得sin αcos β－cos αsin β＝，∴sin(α－β)＝.∵0<β<α<，∴0<α－β<，∴cos(α－β)＝＝，∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝.∵0<β<，∴β＝，故选D.4．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，求sin的值．解：∵sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sin β＝，∴sin β＝－，又β是第三象限角，∴cos β＝－＝－，∴sin＝sin βcos＋cos βsin＝×＋×＝－.