2021学年第五章 三角函数5.1 任意角和弧度制第四课时学案

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第四课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式世间万物，物以类聚，人以群分，如动物界和植物界，带有一般性的事物涵盖一切，而特殊性的事物内涵丰富，种类繁多．在三角恒等变换中，二倍角的正弦、余弦和正切公式又有什么特点呢？[问题]　在公式C(α＋β)，S(α＋β)和T(α＋β)中，若α＝β，公式还成立吗？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点　二倍角的正弦、余弦、正切公式函数公式β＝α简记符号正弦sin 2α＝2sinαcosαS(α＋β)S2α余弦cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2αC(α＋β)C2α正切tan 2α＝T(α＋β)T2α二倍角公式的变形(1)逆用：2sin αcos α＝sin 2α，2cos2α－1＝cos 2α，1－2sin2α＝cos 2α；(2)变形：①cos2α＝，sin2α＝；②1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.　　　　 1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)4α是2α的二倍角，α是的二倍角．(　　)(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(　　)(3)存在α，使得sin 2α＝2sin α成立．(　　)答案：(1)√　(2)×　(3)√2．已知sin α＝，cos α＝，则sin 2α等于(　　)A.　　　　　　　　　 B.C.  D.答案：D　3．已知tan α＝，则tan 2α＝________．答案：－4．cos215°－sin215°结果等于________．答案：利用二倍角公式解决给角求值问题[例1]　(链接教科书第223页练习5题)求下列各式的值．(1)1－2sin2750°；(2)；(3)cos 20°·cos 40°·cos 80°.[解]　(1)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝.(2)原式＝＝＝＝2.(3)原式＝2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°＝·sin 40°cos 40°cos 80°＝sin 80°cos 80°＝·sin 160°＝＝.解给角求值问题的方法(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角；(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．　　　　 [跟踪训练]1．cos4－sin4等于(　　)A．－　　　　　　　　　　 B．－C.  D.解析：选D　原式＝＝cos＝.2．求值＝________．解析：＝＝tan 60°＝.答案： 利用二倍角公式解决给值求值问题[例2]　(链接教科书第221页例5)已知<α<π，sin α＝.(1)求tan 2α的值；(2)求cos的值．[解]　(1)由题意得cos α＝－，∴tan α＝－，∴tan 2α＝＝＝.(2)∵cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝－，sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，∴cos＝cos 2αcos ＋sin 2αsin ＝－×＋×＝－.解决给值求值问题的方法给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系；(3)注意几种公式的灵活应用，如：①sin 2x＝cos＝cos＝2cos2－1＝1－2sin2；②cos 2x＝sin＝sin＝2sincos.　　　　 [跟踪训练]1．已知＝，则sin 2x＝(　　)A．－  B．－C.  D.解析：选A　∵＝，∴＝，∴cos x＋sin x＝，∴1＋sin 2x＝，∴sin 2x＝－.2．在△ABC中，tan A＝，tan B＝2，则tan(2A＋2B)＝________．解析：∵tan A＝.tan B＝2，∴tan(A＋B)＝＝＝－2.∴tan(2A＋2B)＝tan[2(A＋B)]＝＝＝.答案： 利用二倍角公式解决化简与证明问题[例3]　(1)化简：－；(2)求证：cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos 2Acos 2B.[解]　(1)原式＝＝＝tan 2θ.(2)证明：左边＝－＝＝(cos 2Acos 2B－sin 2Asin 2B＋cos 2A·cos 2B＋sin 2Asin 2B)＝cos 2Acos 2B＝右边，∴原等式成立．三角函数式的化简与证明(1)化简的方法：①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂或升幂；③一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ；(2)证明三角恒等式的方法：①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；②比较法，左边－右边＝0，左边/右边＝1；③分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件．　　　　 [跟踪训练]1．α为第三象限角，则－＝________．解析：因为α为第三象限角，所以cos α<0，sin α<0，所以－＝－＝－＝0.答案：02．求证：＝sin 4α.证明：＝2cos2α·(－cos 2α)·＝cos2αcos 2αtan α＝sin αcos αcos 2α＝sin 2αcos 2α＝sin 4α，所以原等式成立．1．若sin＝，则cos α＝(　　)A．－　　　　　　　 B．－C.  D.解析：选C　因为sin＝，所以cos α＝1－2sin2 ＝1－2×＝.2．已知α为第三象限角，且cos α＝－，则tan 2α的值为(　　)A．－  B.C．－  D．－2解析：选A　由题意可得，sin α＝－＝－，∴tan α＝2，∴tan 2α＝＝－，故选A.3．化简：－tan θtan 2θ.解：－tan θtan 2θ＝－＝＝＝＝1.