2022届黑龙江省哈尔滨市哈尔滨师范大学附属中学高三下学期开学考试数学（理）含答案练习题

  2022届黑龙江省哈尔滨市哈尔滨师范大学附属中学高三下学期开学考试

理科数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡.上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

考试时间为120分钟，满分150分

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则

A.    B.    C.    D.

2.已知复数满足（i为虚数单位），则

A.    B.    C.1   D.2

3.若，则“”是“”的

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件

C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

4.设函数若，则

A.3   B.4   C.32.   D.33

5.公园中有一块如图所示的五边形荒地，公园管理部门计划在该荒地种植126棵观赏树，若1至6六个区域种植的观赏树棵数成等比数列，且前3个区域共种植14棵，则第5个区域种植的观赏树棵数为

A.16   B.28   C.32   D.64

5.已知的展开式中常数项为61，则

A.    B.    C.2   D.2

6..建在水资源不十分充足的地区的火电厂为了节约用水，需建造一个循环冷却水系统（冷却塔），以使水冷却可正复使用.右图是世界最高的电厂冷却塔——中国国家能源集团胜利电厂冷却塔，该冷却塔高225米，创造了“最高冷却塔”的吉尼斯世界纪录.该冷却塔的外形可看作双曲线的一部分绕其虛轴旋转所成的曲面，如图：已知直线，为该双曲线的两条渐近线，，向上的方向所成角的正切值为，则该双曲线的离心率为

A.    B.5   C.    D.

8.如图，正四棱维（底面为正方形，顶点在底面的射影为底面正方形的中心）中，，点E为PB中点，若CE与PD所成的角余弦值为，则四棱锥的体积为

A.    B.    C.    D.

9.已知D，E为所在平面内的点，且，，若，则

A.-3   B.3   C.    D.

10.将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若的图象关于轴对称，且，则的可能取值为.

A.    B.1   C.    D.π

11.已知直线：与抛物线：交于，两点，点A，B在准线上的射影分别为点，，若四边形的面积为，则.

A.2   B.4   C.    D.

12.已知数列中，，，当数列的前项和取得最大值时，的值为.

A.53   B.49   C.49或53   D.49或51

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知实数，满足约束条件设，则最小值为_________.

14.小明用某款手机性能测试app对10部不同品牌的手机的某项性能进行测试，所得的分数按从小到大的顺序（相等数据相邻排列）排列为：81，84，84，87，x，y，93，95，97，99，已知总体的中位数为90，若要使该总体的标准差最小，则_________.

15.如图，在三棱锥中，平面，，，若三棱锥的外接球体积为，则异面直线与所成角为_________.

16.已知函数的图象上存在点使得（为自然对数的底数），则实数的取值范围为__________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：60分。

17.（12分）

在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且.

（1）求角C.

（2）E为三角形ABC所在平面内的一点，，且，求线段CE的长.

18.（12分）

在东京奥运会中，甲，乙、丙三名跳水远动员参加小组赛，已知甲晋级的概率为，乙、丙晋级的概率均为，且三人是否晋级相互对立.

（1）若甲晋级的概率与乙、丙两人均没有晋级的概率相等，与乙、丙两人有且仅有一人晋级的概率也相等，求，；

（2）若，记三个人中晋级的人数为，若时的概率和时的概率相等，求.

19.（12分）

如图，四棱柱中，四边形为矩形，且平面平面，，，，，分别为，的中点.

（1）证明：平面；

（2）求与平面所成的角的正弦值.

20.（12分）

已知椭圆：的离心率为，且过左焦点和上顶点的直线与圆相切.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线：与椭圆交于，两点，为坐标原点，且直线，，的斜率之和为0.求三角形面积的最大值.

21.（12分）

已知函数，.

（1）若在点处的切线与在点处的切线互相平行，求实数的值；

（2）若对，恒成立，求实数的取值范围.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）点，直线与曲线C交于A，B两点，若，求直线的普通方程.

23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知，.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，，，证明：.

2022届高三开年摸底联考  全国卷1

理科数学参考答案及评分意见

1.D【解析】，，所以.

2.B【解析】.

3.A【解析】由，，，故为充分不必要条件.

4.D【解析】当时，，故，解得.

5.C【解析】由题，，所以，解得，，故.

6.B【解析】展开式的通项为，所以当或时，的展开式中常数项为，即，解得.

7.C【解析】设一条渐近线向上的方向与虚轴向上的方向所成的角为，则，得或（舍），即，故，所以，解得.

8.A【解析】如图，连接AC，BD，设交点为O，连接PO，OE，

则，所以或其补角即为CE与PD所成的角，

设，则，易知，，

，故，所以，解得，

，所以.

9.A【解析】由题可知：为中点，为中点，所以，所以，，故.

10.C【解析】由题函数为偶函数，所以，，又，所以，故，，所以，，，所以，，可得和均为的奇数倍，故的可能取值为.

11.B【解析】易知直线过抛物线的焦点，联立方程可得，所以，，又A，B到准线的距离分别为，，所以，四边形为直角梯形，其高，所以，故.

12.D.【解析】易得，因为，所以，作差得，即，所以数列为等差数列，，，故公差，故，所以，，，，设，当时，，，，当时，，所以当或51时，的前项和取得最大值.

13.-2【解析】由可行域易知，当直线过点时，取得最小值-2.

14.0【解析】因为总体的中位数为90，所以，平均数为90，要使该总体的标准差最小，即方差最小，即最小，又，当且仅当时，即时等号成立，故.

15. 【解析】如图，将三棱锥补成三棱柱，取中点，中点，外接球球心即为的中点，设外接球半径为，则，得，所以，得，由，所以或其补角即为异面直线所成的角，易得，所以异面直线PB与AC所成角为.

16. 【解析】，由得，所以存在，使得成立，即成立，设，

则，易知当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，

又，，，故，所以实数的取值范围为 .

17. 【解析】因为，由得，

由正弦定理得，

因为，所以，

故，

得，即，

又，所以.

（2）由余弦定理得，

所以，故，

所以四边形为矩形，

所以，

所以.

18.【解析】（1）乙、丙两人均没有晋级的概率为，

乙、丙两人有且仅有一人晋级的概率为，

故

解得，

（2）的所有可能取值为0，1，2，3.

，，

由题知，解得，

所以，

所以 .

19.【解析】（1）证明：如图，分别取AD和BC的中点H，P连接MH，HP，PE，

则，，，，

所以，，

所以四边形为平行四边形，

所以，又，所以，

因为平面，平面，

所以平面.

（2）因为四边形为矩形，所以，

因为平面平面，且平面平面，

所以平面，故，

因为， ，所以，

以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，，，，，

所以，，

设平面的法向量为，

则不妨令，则，所以，

又，

所以，

所以与平面所成的角的正弦值为.

20.【解析】（1）设椭圆的半焦距为，则①.

直线 ：，则，即②

又③

由①②③解得，，

所以求椭圆的方程为.

（2）设，，

联立整理得，

所以，得

，，

设直线，的斜率分别为，，则，

即，

所以，

又，所以，

所以

原点到直线的距离，

所以，

当且仅当时，即时等号成立，

所以三角形而积的最大值为1.

21.【解析】（1） ，所以 ，，

所以，

由题， ，又，所以.

（2）由得：，即，

即 ，

设，

则，，

，设，，

所以时，，单调递减，当时，，单调递增，

所以，

所以在上单调递增，所以对恒成立，

即对恒成立，

设，则，

易知当时， ，单调递增，当时， ，单调递减，

，故.

所以实数的取值范围为.

四、选做题

22.【解析】（1）由得，

即，

即.

（2）将 （为参数， ）代入，

整理得，

设， 所对应的参数分别为，，

则，，

所以 ，

因为，所以，，

故直线的参数方程为（为参数）或（为参数），

所以直线的普通方程为或.

23.【解析】（1）由题，当时， ，

或或

解得，

所以不等式的解集为 .

（2）证明：

（当且仅当时，即时等号成立） .

（当且仅当时，即时等号成立）.