2022届“四省八校”高三下学期开学考试数学（文）试题含解析

这是一份2022届“四省八校”高三下学期开学考试数学（文）试题含解析，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022 届“四省八校”高三下学期开学考试数学（文）试题一、单选题1．若集合，，则(       )A． B． C． D．【答案】C【分析】根据分式不等式解法解出集合A，根据对数的运算法则计算出集合B，再根据集合交集运算得结果.【详解】，，∴.故选：C.2．已知，复数（为虚部单位）为纯虚数，则z的共轭复数的虚部为（       ）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】根据复数的出发运算结合纯虚数的定义求出，从而可求出复数，即可得出答案.【详解】解：，因为复数（为虚部单位）为纯虚数，所以，解得，所以，所以，所以z的共轭复数的虚部为.故选：B.3．已知，，则“”是“存在使得”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式即可判断.【详解】(1)当存在使得时，则；即不能推出. (2)当时，或，,所以对第二种情况，不存在时，使得成立，故“”是“存在使得”的既不充分不必要条件.故选：D4．设函数，则函数的图象可能为(       )A． B．C． D．【答案】C【分析】判断f(x)的奇偶性和单调性即可判断图像.【详解】，，，∴f(x)是定义在(－1，1)上的奇函数，图像关于原点对称，据此排除BD；又，∴选C.故选：C.5．函数的最大值为(       )A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】利用三角恒等变换公式化简f(x)解析式，再根据正弦函数性质即可求解.【详解】∴f(x)最大值为5，故选：D.6．已知，则下列关系中成立的是A． B． C． D．【答案】C【分析】利用对数式特殊值，解对数方程，再比较x,y,z的大小关系．【详解】由题意知，，，解得．同理可解得，比较x和y：取，比较x和z：取，比较y和z：取，综上所述：，故选C．【点睛】对数式特殊值有，结合对数式指数式互化，解决一些特殊的对数方程．再构造同指数幂比较大小．7．函数对于都有，恒成立，在区间上无最值.将横坐标变为原来的6倍，图像左移个单位，上移3个单位得到，则下列选项正确的是（       ）A．在上单调递增B．当时取得最小值为C．的对称中心为（）D．右移m个单位得到，当时，为偶函数【答案】D【分析】根据三角函数的对称性求出对称中心与对称轴可得函数周期求，再利用特殊值求出求出函数解析式，根据图象变换得出的解析式，利用单调性，对称性判断ABC，再根据平移后得为偶函数求，判断D即可.【详解】因为，恒成立可知为函数的一个对称中心，为函数的一条对称轴，所以，，解得.∴，,，∴,满足题意则，令,解得，，当时，的增区间为，故在上不是增函数，故A错误；当时，不为最小值，故B错误；令,解得，，所以的对称中心为，故C错误；右移m个单位后可得，当为偶函数时，，，，故时，，故D正确.故选：D8．已知正方体的棱长为2，M为的中点，N为正方形ABCD内一动点，则下列命题正确的个数是(       )①若，则点N的轨迹长度为π.②若N到平面与直线的距离相等，则N的轨迹为抛物线的一部分.③若N在线段AC上运动，则.④若N在线段AC上运动，则.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】①连接DN、MN，求出DN，根据圆的定义可求N的轨迹，根据圆的周长可求轨迹长度；②根据几何关系可知N到平面的距离即为N到直线BC的距离，N到直线的距离即为NA，根据抛物线的定义即可判断N的轨迹；③连接，证明平面即可；④连接连接AC和BD交于O，连接MO，则∥MO，由此即可判断.【详解】①连接DN、MN，∵DM⊥平面ABCD，∴，∴，∴点N的轨迹是以D为圆心，2为半径的圆的，∴点N轨迹长度为圆的周长的，为，故①正确；②如图，过N作NE⊥BC与E，连接AN：∵平面ABCD⊥平面且两平面交于BC，∴NE⊥平面，∴NE即为N到平面的距离；∵⊥平面ABCD，∴⊥AN，∴AN就是N到直线的距离；若N到平面与直线的距离相等，即NE＝NA，根据抛物线的定义可知N的轨迹是以A为焦点，BC为准线的抛物线的一部分，故②正确；③连接：是正方形，，∵平面平面，同理可证平面③正确；④连接AC和BD交于O，连接MO，∵ABCD时正方形，∴OB＝OD，又M是的中点，∴在三角形中，∥MO，∴若N在线段AC上运动，只有当N为AC中点O才满足，故④错误.∴正确的命题是：①②③，正确的个数为：3.故选：C.9．若曲线存在垂直于y轴的切线，则a的取值范围是(       )A． B． C． D．【答案】C【分析】问题等价于f(x)的导数在x＞0时有零点，再参变分离转化为函数交点问题.【详解】依题意，f(x)存在垂直与y轴的切线，即存在切线斜率的切线，又，，∴有正根，即有正根，即函数y＝－2a与函数的图像有交点，令，则g(t)＝，∴g(t)≥g()＝，∴－2a≥，即a≤.故选：C.10．设函数是偶函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的x的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据不等式的形式构造函数，利用导数的性质，结合函数的奇偶性和单调性进行求解即可.【详解】令，则，∵，∴，∴在上为减函数，又∵，∴函数为定义域上的奇函数，在上为减函数.又∵，∴，∴不等式，∴，或，，∴，或，∵成立的x的取值范围是，故选：D11．已知抛物线过焦点的直线与抛物线交于、两点，则最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】推导出，然后在代数式上乘以，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】抛物线的焦点的坐标为，若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，设点、，设直线的方程为，联立，可得，，由韦达定理可得，，所以，，所以，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：D.12．在x轴上方作圆与x轴相切，切点为，分别从点､，作该圆的切线AM和BM，两切线相交于点M，则点M的横坐标的取值范围(       )A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意作出图像，根据几何关系研究动点M的轨迹即可.【详解】当M在第一象限时，如图，设直线AM，BM与圆分别相切于点E，F，由题可知，，，又∵，∴∴根据双曲线的可知，M在以A、B为焦点的双曲线的右支上(不能取顶点)，∴此时M恒坐标；当M在第三象限时，如图，同理可得，∴根据双曲线的定义可知，此时M是以A、B为焦点的双曲线的左支上的点(不能为顶点)，∴此时M恒坐标；综上，M点的横坐标的取值范围.故选：A.二、填空题13．已知实数x，y满足则的最小值为___________.【答案】2【分析】先求出可行域，然后根据直线截距求出最小值.【详解】解：由题意得： ，对应的平面区域如图所示：设，则，平移此直线，由图象可知直线，经过时，直线的截距最小，得到最小，所以.故答案为：14．若一几何体三视图如图所示，则几何体的表面积为___________.【答案】【分析】根据三视图可知该几何体为圆锥，根据圆锥表面积计算方法计算即可.【详解】根据三视图可知该几何体为圆锥，如图所示：h＝2，r＝1，l＝，圆锥表面积为.故答案为：.15．在中，已知，则的取值范围为___________.【答案】【分析】利用二倍角公式分析得出，利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，令，则，，利用函数的单调性可求得的取值范围.【详解】因为，所以，因为、，故，所以或.因为，故，故.则由正弦定理得，因为，所以，所以，设，则，则，设，，则在上单调递增，则，即.所以的取值范围为.故答案为：.16．瑞士著名数学家欧拉在年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”，直线与轴与双曲线的两条渐近线的三个不同交点构成集合，且恰为某三角形的外心、重心、垂心所成集合，若的斜率为，则该双曲线的离心率可是以是①，②，③，④，⑤.以上结论正确的是_______.【答案】①③⑤【分析】设直线的方程为，求出与轴的交点、直线与双曲线的两渐近线的交点、的坐标，对该三角形的外心、重心、垂心的坐标进行分类讨论，结合已知条件求出双曲线的离心率，即可得解.【详解】设直线的方程为，令，可得，设直线与轴的交点，双曲线的渐近线方程为，与直线联立，可得，.由三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，当、、依次为三角形的外心、重心、垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得，即为，化为，；当、、依次为三角形的外心、重心、垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得，即为化为不成立；当、、依次为三角形的外心、重心、垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得，即为，化为，；当、、依次为三角形的外心、重心、垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得，即为，化为不成立；当、、依次为三角形的外心、重心、垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得，即为，化为，；当、、依次为三角形的外心、重心、垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得，即为化为不成立.故选：①③⑤.三、解答题17．已知数列中，，，.(1)设，求证是等差数列；(2)求的通项.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）式子变形后，可知是首项，公差为1的等差数列.（2）利用累加法和错位相减法即可得出结论.【详解】(1)解：由已知可得：即即，所以是首项，公差为1的等差数列.(2)由（1）知则得到①，②，得.18．云南某小区抽取年龄在2-22岁100人做核酸检测由于工作人员不小心画出直方图后把原始数据丢失(1)估算抽取人群的平均年龄.(2)一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值.试估计此样本数据的第50百分位数.(3)用分层抽样的方式从第一组（年龄在2-6岁）和第五组（年龄在18-22岁）中一共抽取5人再从5人中任选2人求两人的年龄差不超过4岁的概率.【答案】(1)（岁）(2)(3)【分析】（1）根据频率分布直方图计算平均数的方法进行计算；（2）先确定第50百分位数来自于哪一组，然后利用的第50百分位数计算公式进行计算；（3）根据可能事件概率的计算公式进行求解.【详解】(1)解：由题意得平均年龄（岁）(2)第50百分位数位于区间，由，所以第50个百分位为.(3)根据分层抽样原理第一组抽2人，第五组抽3人再从5人中任取2人共有10种基本结果（两个人来自岁组有种；两人来自岁组由种；一人来自岁组，一人来自岁有种）.要使年龄差小于4岁等价于两人来自同组（）有4种结果所以概率.19．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为线段上的一点，且，为线段上的动点.(1)当为何值时，平面平面，并说明理由；(2)若，，平面平面，，求出点到平面的距离.【答案】(1)，理由见解析(2)【分析】（1）取，即点为的中点，证明出平面，结合面面垂直判定定理可得出结论；（2）由题意可知为的中点，利用已知条件求得以及三棱锥的体积，计算出的面积，利用等体积法可求得点到平面的距离.【详解】(1)解：当时，平面平面，理由如下：因为底面，平面，所以，因为为矩形，所以，又，所以平面.因为平面，所以.因为，所以为线段的中点，又因为，所以，又，所以平面，因为平面，所以平面平面.(2)解：因为平面平面，由（1）可知为的中点.因为底面，所以点到底面的距离为，所以，因为，所以，所以，，平面，平面，则，同理可知，，为的中点，则，，所以，，设点到平面的距离为，由得，解得.20．已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)当时，函数恒成立，求实数取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）求出函数的定义域，求得，分、两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；（2）由题意可知对任意的恒成立，令，分、、三种情况讨论，利用导数分析函数在上的单调性，验证能否恒成立，综合可得出实数的取值范围.【详解】(1)解：函数的定义域为，①当时，则，所以在上单调递增；②当时，则由知，由知，所以在上单调递增，在上单调递减；综上，当时，的单调递增区间为，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)解：由题意知恒成立，而，由，得，令，则.①若，，则在上单调递增，故，所以在上单调递增，所以，从而，不符合题意；②若，则，当时，，在上单调递增，从而，所以在在单调递增，所以，不符合题意；③若，则，在上恒成立，所以在上单调递减，，从而在上单调递减，所以，所以恒成立.综上所述，的取值范围是.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，本题涉及端点效应，一般的解题思路就是对参数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在定义域上的单调性，验证对应的不等式能否恒成，由此求解.21．如图，已知椭圆，曲线与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于、，直线、分别与交于点、.(1)证明：以为直径的圆经过点；(2)记、的面积分别为、，若，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与曲线的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理计算得出，可得出，即可证得结论成立；（2）设的斜率为，则的方程为，将直线的方程分别与曲线、的方程联立，可求得点、的坐标，同理可得出点、的坐标，可求得、，进而可得出的表达式，利用基本不等式可求得的取值范围.【详解】(1)证明：若直线的斜率不存在，则该直线与轴重合，此时直线与曲线只有一个交点，不合乎题意.所以，直线的斜率存在，设直线的方程为.由得，设、，则、是上述方程的两个实根，于是，.又因为点，所以，所以，即，所以为直径的圆经过点.(2)解：由已知，设的斜率为，则的方程为，由解得或，则点的坐标为，又直线的斜率为，同理可得点的坐标为.所以，由得，解得或，则点的坐标为，又直线的斜率为，同理可得点的坐标，于是，因此，当时，即当时，等号成立，所以，所以的取值范围为.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.22．在平面直角坐标系中，曲线经过伸缩变换得到曲线，曲线的方程为（为参数），以坐标原点为极点建立极坐标系，曲线是由过极点且关于极轴对称的两条射线组成的图形，其中.(1)请写出曲线的普通方程和曲线的极坐标方程.(2)已知点在曲线上，，延长、分别与曲线交于点、，求的面积.【答案】(1)，和(2)【分析】（1）求出曲线的普通方程，然后由变换可得出曲线的普通方程，求出，可得出曲线的极坐标方程；（2）求出点、、的坐标，可求得，直线的方程，求出点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】(1)解：将曲线的参数方程化为普通方程可得，将曲线经过变换可得到曲线，则，因此，曲线的普通方程为.曲线是由过极点且关于极轴对称的两条射线组成的图形，其中.则，故曲线的极坐标方程为和.(2)解：直线的方程为，联立，可得或，即点，同理可得点，则，且直线的方程为，设点，则，可得，即点，所以，点到直线的距离为，因此，.23．已知函数(1)求不等式的解集；(2)若的最大值为，且，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知可得，在不等式的两边同时平方可得出，解此不等式即可得解；（2）分析函数的单调性，可得出，可得出，利用三元基本不等式可求得的最小值.【详解】(1)解：由可得，两边平方得，整理得，解得，所以，不等式的解集为.(2)解：当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减.所以，，故，所以，，因为且，则，由三元基本不等式可得，当且仅当，即时取到等号，故的最小值为.