2022届北京市第八中学高三下学期数学开学考试题含解析

2022届北京市第八中学高三下学期数学开学考试题

一、单选题

1．已知集合，集合或，是实数集，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先化简集合，再由集合的交集、补集运算求解即可.

【详解】，或，故.

故选：A

2．已知，，是空间中三条不同的直线，，，是空间中三个不同的平面，则下列说法正确的是（       ）

A．若直线和直线都与直线垂直，则

B．若，，则

C．若，，则

D．若直线和直线异面，且，，，，则

【答案】D

【分析】根据空间中垂直于同一直线的两条直线可以相交，平行和异面，即可判断A选项；根据空间中两直线的位置关系，即可判断B选项；根据空间中两平面的位置关系，即可判断C选项；由，，可知内存在两条不平行（相交）的直线满足，进而得出均平行于平面，最后根据两平面平行的判定定理，即可判断D选项.

【详解】解：对于A，空间中垂直于同一直线的两条直线可以相交，平行和异面，故A错误；

对于B，已知直线都与平面平行，但的位置不能确定，相交，平行，异面均可，故B错误；

对于C，当，时，可以相交，也可以平行，故C错误；

对于D，因为直线和直线异面，，，

则内存在两条不平行（相交）的直线满足，

而，，可得均平行于平面，则，故D正确.

故选：D.

3．过点的直线与圆相交于A，两点，则的最小值是（       ）

A． B． C． D．4

【答案】B

【分析】根据题意，设，圆的圆心为，分析圆的圆心以及半径，求出到直线的距离，由直线与圆的位置关系可得当最大时，弦长最小，而的最大值为，据此计算可得答案．

【详解】根据题意，设，圆C：的圆心为，

圆C：，即，圆心为，半径，

圆心到直线的距离为，则，

当最大时，弦长最小，

∵M在圆C内部，故的最大值为，

则的最小值为，

故选：B．

4．定义在上的函数满足，对任意的，都有，则下列函数一定在上单调递增的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由函数满足，对任意的，都有结合增函数的定义可得函数在上为增函数，根据单调性的定义判断各选项的单调性.

【详解】∵函数满足，对任意的，都有，

∴函数在上为增函数，

不妨取，

则，函数在上为减函数，排除A，

，函数的定义域为，B错，排除B，

当时，，函数的定义域为，C错，

又函数在上为增函数，函数在上为增函数，所以在上为增函数，D对，

故选：D.

5．已知数据的平均数为，方差为，中位数为，极差为.由这组数据得到新数据，其中，则下列命题中错误的是（       ）

A．新数据的平均数是 B．新数据的方差是

C．新数据的中位数是 D．新数据的极差是

【答案】C

【分析】根据平均数、方差、中位数、极差的定义求解．

【详解】解：对于选项A：因为，所以新数据的平均数为，故选项A正确，

对于选项B：因为，所以新数据的方差为，故选项B正确，

对于选项C：因为数据，，，的中位数为，所以新数据的中位数是，故选项C错误，

对于选项D：设数据，，，中最大，最小（其中，，，，则，所以新数据的极差是，故选项D正确，

故选：C．

6．已知，i为虚数单位，则“”是“复数是纯虚数”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】通过判断时复数是否为纯虚数，复数是纯虚数时是否相等，由此确定两者之间关系.

【详解】若复数是纯虚数，则；

若，则是实数，

所以“”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件．

故选：B.

7．若数列的前项和为，且满足，，则（       ）

A．509 B．511 C．1021 D．1023

【答案】C

【分析】根据已知条件，采用并项求和即可：.

【详解】

=

=

=

=

=

=1021

故选：C.

8．星等分为两种：目视星等与绝对星等.但它们之间可用公式转换，其中为绝对星等，为目视星等，为到地球的距离（单位：光年）.现在地球某处测得牛郎星目视星等为0.77，绝对星等为2.19；织女星目视星等为0.03，绝对星等为0.5.则距离地球更近的星球和它们到地球的距离之比（较远距离与较近距离之比）分别是（       ）（参考数据：，，）

A．牛郎星，约1.5 B．织女星，约1.5 C．牛郎星，约2.9 D．织女星，约2.9

【答案】A

【分析】设牛郎星到地球的距离为，织女星到地球的距离为，根据所给公式及指数与对数的关系，求出、，即可判断，再求出即可；

【详解】解：设牛郎星到地球的距离为，织女星到地球的距离为，所以，，即，，即，，所以，，所以，所以距离地球更近的星球为牛郎星，且；

故选：A

9．抛物线：的焦点为，准线是，是坐标原点，在抛物线上满足，连接并延长交准线与点，若的面积为，则抛物线的方程是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，抛物线的准线的方程为，则焦点到准线的距离为，根据条件可知在线段的中垂线上，从而得出，，进而求得，最后根据求出的值，即可得出抛物线的方程.

【详解】解：由题可知，抛物线的准线的方程为，则焦点到准线的距离为，

已知，所以在线段的中垂线上，

因为在抛物线上，在准线上，设，

故，，

可知，即，得，

，即，

解得：，，

故抛物线的方程是.

故选：D.

10．已知等差数列，是数列的前项和，对任意的，均有成立，则的值不可能是（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】A

【分析】根据题意，由恒成立可得是等差数列的前项和中的最大值，结合等差数列前项和的性质，分3种情况讨论，综合求出的取值范围，分析选项可得答案．

【详解】根据题意，等差数列，对任意的，均有成立，即是等差数列的前项和中的最大值，

必有，公差，

分3种情况讨论：

①，此时，、是等差数列的前项和中的最大值，

此时，则有，

则，

②，此时，、是等差数列的前项和中的最大值，

此时，则有，

，

③，，是等差数列的前项和中的最大值，

此时，，则，变形可得：，

，

而，则有，

综合可得：.

故选：A．

二、填空题

11．若，，则______.

【答案】-0.25

【分析】切化弦，再利用二倍角正余弦公式化简计算作答.

【详解】依题意，，因，则，

则有，解得，

所以.

故答案为：

12．二项式展开式中存在常数项，写出一个满足条件的___________.

【答案】7（7的整数倍均可）

【分析】利用二项式展开式的通项公式即可求解.

【详解】，

令，即，

因为，

所以若展开式中存在常数项，

 则为7的整数倍，

故答案为：7(7的整数倍）

13．某个密室逃脱游戏的一个环节是要打开一个密码箱，已知该密码箱的密码由四个数字组成（每格都可以出现0~9十个数字），且从之前的游戏环节得知，该密码的四个数字互不相同，且前两个数字均大于6，最后两个数字均小于5.该密码的可能的情况数为______（请用数字作答）.

【答案】120

【分析】根据给定条件求出密码的前两个与后两个的排法数，再利用分步计数乘法原理计算作答.

【详解】依题意，从7，8，9中任取2两个不同数字排前两位有种，从0，1，2，3，4中任取2两个不同数字排后两位有，

由分步计数乘法原理得：，

所以该密码的可能的情况数为120.

故答案为：120

14．已知函数是定义在R上的减函数，若对恒成立，则实数a的取值范围为__________．

【答案】

【分析】由恒成立结合函数的单调性可得恒成立，再根据三个二次的关系可得，由此可得实数a的取值范围.

【详解】由题意易知恒成立，即恒成立，所以，得．

故答案为：.

15．平面向量，，满足，且，，则下列说法正确的是______.

①                                               ②在方向上的投影的数量是1

③的最大值是                                 ④若向量满足，则的最小值是

【答案】①③④

【分析】根据给定条件求出，再结合平面向量的模、数量积运算逐一分析每个命题，推理计算作答.

【详解】因，，，则，即，

，①正确；

在方向上的投影的数量是，②不正确；

由得，即，

当且仅当与同向共线时取“=”，

整理得：，解得，的最大值是，③正确；

作，如图，，即，

令，由得，在射线OA上取点E，使，过E作直线，

则有点M在直线l上，取OB中点C，过C作于点D，连接，

，当且仅当点M与点D重合时取“=”，

因此，的最小值是，④正确，

所以正确说法的序号是①③④.

故答案为：①③④

三、解答题

16．将函数的图象向右平移个单位得到的图象，再将的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象.

(1)求函数的单调递增区间；

(2)已知在三角形中，角，，的对边分别为，，，且，，，求的面积.

【答案】(1)

(2)或

【分析】(1)由函数图象变换结论可求函数的解析式，结合正弦函数的单调性结论求函数的单调递增区间；(2)由条件结合(1)求角，再由余弦定理求，根据面积公式求的面积.

【详解】(1)由题意可知将函数的图象横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变可得的图象，

∴ ，又的图象向左平移个单位可得函数的图象，

∴

由可得，

∴   函数单调递增区间为，.

(2)∵ 又，

∴

∴ 解得或.

又.

∴   或.

17．如图，在四棱锥中，，，，平面.

(1)试在线段上取一点使平面，请给出点的位置，并证明；

(2)若点满足，求二面角的平面角的余弦值.

【答案】(1)为中点时使平面，证明见解析；

(2)

【分析】（1）设平面交于，连接、，根据线面平面的性质得到，再由，即可得到平面，从而得到，所以，即可得到四边形是平行四边形，从而得证；

（2）取的中点，连接 ，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值；

【详解】(1)解：为中点时使平面，理由如下：

设平面交于，连接、，

因为平面，平面平面，所以，

因为，平面，平面，所以平面，平面平面，平面，所以，

又因为，所以，

所以四边形是平行四边形，

所以，所以是中点．

(2)解：取的中点，连接 ，因为，所以，如图建立空间直角坐标系，所以，，，，因为，所以，所以，，，设平面的法向量为，所以，令，则，，所以，平面的法向量为，所以，令，则，，所以，设二面角为，由图可知二面角的平面角为锐二面角，则，所以二面角的平面角的余弦值；

18．某地区期末进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中的值；

(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在，，的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在的人数，求的分布列和数学期望；

(3)转化为百分制后，规定成绩在的为等级，成绩在的为等级，其它为等级.以样本估计总体，用频率代替概率.从以下两个条件中任选一个作答：当为何值时的值最大？（直接写出答案，不用写出解答过程.若选择多个条件作答，以第一个为准.）

①从所有参加考试的同学中随机抽取人，其中获得等级的人数恰为3人的概率为；

②从所有参加考试的同学中随机抽取10人，其中获得等级的人数恰为人的概率为.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，；

(3)选①；选②；

【分析】（1）根据已知条件，结合频率分布直方图的性质计算可得；

（2）由题意可推得，所有可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可求得分布列，再结合期望公式，即可求解．

（3）若选①则，当时直接求出概率，当时，由，解出不等式，即可求出的值；

若选②则，再根据得到不等式组，即可求出的值；

【详解】(1)解：由频率分布直方图的性质可得，，解得；

(2)解：，，的三组频率之比为，

从，，中分别抽取7人，3人，1人，

所有可能取值为0，1，2，3，则，，

，，

故的分布列为：

故．

(3)解：依题意等级的概率为，

若选①，则，当时，

当时则，即，解得，因为，所以，即当时，取得最大值；

若选②，依题意，所以，所以，即，即，解得，因为，所以；

19．已知函数，其中，.

（1）求的单调区间；

（2）设当时，若对任意，不等式恒成立，求整数的最小值.

【答案】（1）答案见解析；（2）.

【分析】（1）首先求函数的导数，分和两种情况讨论函数的单调性；（2）不等式转化为，设函数，利用导数求函数的最大值，即可求得的取值范围.

【详解】（1）由题意，可得.

因为，所以当时，

当时，，函数在上为单调递增函数；

当时，.函数在上为单调递减函数.

当时，

当时，，函数在上为单调递㖅函数；

当时，.函数在上为单调递增函数.

（2）由题意可得，

设.则，

当时，.

设，则，所以在上单调递增.

又，

所以，使得.即，.

当时，，；

当时，.

所以函数在上单调递增，住上单调递減，

所以，

因为函数在上单调递增，所以.

因为对任意的垣成立，且.

所以的最小值是.

20．已知圆：，，为圆上的动点，若线段的垂直平分线交于点.

(1)求动点的轨迹的方程；

(2)已知为上一点，过作斜率互为相反数且不为0的两条直线，分别交曲线于，，求的取值范围.

【答案】(1)动点的轨迹的方程为；

(2)的取值范围.

【分析】(1)由条件线段的垂直平分线交于点可得，由此可得，根据椭圆的定义可得点的轨迹为椭圆，结合椭圆的标准方程求动点的轨迹的方程；(2)由(1)可求点坐标，设直线的方程为，，联立方程组化简可得，，由直线，的斜率互为相反数可得的值，再由弦长公式求的长，再求其范围.

【详解】(1)由题知

故.

即

即在以为焦点且长轴为4的椭圆上

则动点的轨迹的方程为：；

(2)

故

即.

设：，

联立

（），，

∴ ，，

又

则：

即

若，则过，不符合题意

故，∴

，

故

21．已知有限集X，Y，定义集合，表示集合X中的元素个数.

（1）若，求集合和，以及的值；

（2）给定正整数n，集合，对于实数集的非空有限子集A，B，定义集合

①求证：；

②求的最小值.

【答案】（1）X－Y＝{1,2}，Y－X＝{5}，|(X－Y)∪(Y∪X)|＝3；（2）①见解析；②

【分析】（1）直接根据定义求解即可；

（2）①分若A∪B中含有一个不在S中的元素和，且，两种情况讨论即可，当，且时，可通过得证；

②结合①知，讨论若，或，得，若，且，设，，可证得的最小值是

【详解】（1）根据定义直接得X－Y＝{1,2}，Y－X＝{5}，|(X－Y)∪(Y∪X)|＝3.

（2）①显然.

若A∪B中含有一个不在S中的元素，则，即

.

若，且，则

此时A中最小的元素，B中最小的元素，

所以C中最小的元素.

所以.

因为，

所以，即.

综上，.

②由①知.

所以

若，或，则

若，且，设，

且，，

则，

若，

因为，

所以这个数一定在

集中C中，且均不等于1.

所以

所以

当，时，

所以的最小值是

【点睛】关键点点睛：本题的第三问较难，解题的关键是由①得，进而进行分情况讨论可得解.