2022届上海市松江二中高三下学期开学考试数学试题含解析

这是一份2022届上海市松江二中高三下学期开学考试数学试题含解析，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届上海市松江二中高三下学期开学考试数学试题一、单选题1．已知，若，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据不等式的性质，幂函数的单调性以及通过找特值的方法，分别判断每个选项的正误即可.【详解】当，故A错误；当，故B错误；构造函数为增函数，故得到，故C正确；当，故D错误;故选：C2．已知，则“存在使得”是“”的（       ）．A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.【详解】(1)当存在使得时，若为偶数，则；若为奇数，则；(2)当时，或，，即或，亦即存在使得．所以，“存在使得”是“”的充要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.3．阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用，如图，在平面直角坐标系中，螺线与坐标轴依次交于点､，并按这样的规律继续下去，给出下列两个结论：①存在正整数的面积为2022；②对于任意正整数为锐角三角形.则（       ）A．①错误，②错误 B．①正确，②错误C．①错误，②正确 D．①正确，②正确【答案】C【分析】由题设可得，△中最大边为且，即可判断结论的正误.【详解】由题设知：且，而，所以不存在使△的面积为2022，①错误；又△中最大边为，且，所以，故对于任意正整数为锐角三角形，②正确.故选：C4．定义在上的函数，若存在且，使得恒成立，则称具有“性质”.已知是上的增函数，且恒成立；是上的减函数，且存在，使得，则（       ）A．和都具有“性质”B．不具有“性质”，具有“性质”C．具有“性质”，不具有“性质”D．和都不具有“性质”【答案】A【分析】根据具有“性质”函数的定义，令、结合、的单调性判断是否存在使成立即可.【详解】由是上的增函数，则当时有，又，所以，即存在使恒成立，故具有“性质”；对于，若，则，又是上的减函数，而，所以，即存在使恒成立，故具有“性质”；故选：A二、填空题5．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则___________.【答案】i-2【分析】根据复数的乘法运算求解即可.【详解】由题意知，，则，故答案为：6．设集合，且，则___________.【答案】－2【分析】由二次不等式和一次不等式的解法，求出集合，，再由交集的定义，可得的方程，解方程可得．【详解】集合，，由，可得，则．故答案为：－2．7．在的展开式中，的系数为___________．【答案】10【分析】由二项式定理写出展开式通项，求含的项即可知其系数.【详解】由题设，展开式通项公式为，当时，，∴的系数为10.故答案为：10.8．如图，在正方体中，过点且与直线垂直的所有面对角线的条数为___________.【答案】2【分析】根据正方体的性质有面，由线面垂直性质可得，根据线面垂直的判定和性质有，同理确定与垂直的其它面对角线即可.【详解】由正方体性质：面，面，则，又，，所以面，又面，故，即面上的面对角线；同理，可得面对角线都垂直于.所以一共6条面对角线与垂直，其中过A点的有2条.故答案为：2.9．若函数在上单调递增，则的最大值为___________.【答案】【分析】由正弦函数的性质，令可得函数的单调增区间，结合题设给定递增区间求参数m的最大值即可.【详解】由正弦函数的性质知：在上递增，在上递减，对于，有，可得；有，可得，所以题设函数在上递增，在上递减，要使其在上单调递增，则，故的最大值为.故答案为：.10．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率为___________.【答案】【分析】先求出所有可能的点数组合数，再列举出所有点数和不超过5的组合，应用古典概率的求法求概率.【详解】两枚骰子可能点数组合有种，而点数和不超过5的组合有、、、、、、、、、共有10种，所以向上的点数之和不超过5的概率为.故答案为：.11．若变量满足约束条件，且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为           ．【答案】【详解】试题分析： 由目标函数的最小值为，得，即，结合约束条件中的条件可作出可行区域图如下，由，解得交点坐标为，又直线恒过点，所以使得目标函数取得最小值的可行区域内的顶点坐标为，将其代入直线，解得.【解析】简单线性规划.12．若关于的三元一次方程组有唯一组解，则的集合是___________.【答案】【分析】由方程组得，要使方程组有唯一组解可得，根据正弦函数的性质求的集合.【详解】由题设，，则，所以，即，.故的集合是.故答案为：.13．在等差数列中，，记，则数列最大项的值为___________.【答案】945【分析】由已知求等差数列公差，并写出的通项公式，再讨论的取值判断的符号，结合，即可知最大项对应的值，进而求最大项的值.【详解】设数列公差为，则，可得，所以，若，有，则时，而时，综上，若时，为奇数，为偶数；若时；所以，当时数列最大，即.故答案为：945.14．已知是互相垂直的单位向量，向量满足：是向量与夹角的正切值，则___________.【答案】【分析】设，，根据向量数量积的定义可得，结合已知条件有，进而可得，即可求其极限.【详解】若，且是单位向量，，所以，，即，所以，又，，则，综上，，故.故答案为：.15．已知函数，若对于图像上的任意一点，在的图像上总存在一点，满足，且，则实数___________.【答案】0.5【分析】设点，，点，分类讨论和两种情况，结合已知条件可以得到，的关系式，分析化简知，代入化简即可得解．【详解】设点，，点，当，，由，知，即，即，又，知，即，将式代入，得，由于，，有，因此有，即，即，由于，，∴式可知不满足条件，则有，代入式得，∴，故．当时，点，根据指数函数与对数函数的性质知，此时，显然满足条件；故答案为：．16．设集合中，至少有两个元素，且满足：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则.若有4个元素，则有___________个元素.【答案】【分析】由题可知有4个元素，根据集合的新定义，设集合，且，，分类讨论和两种情况，并结合题意和并集的运算求出，进而可得出答案.【详解】解：由题可知，，有4个元素，若取，则，此时，包含7个元素，具体如下：设集合，且，，则，且，则，同理，若，则，则，故，所以，又，故，所以，故，此时，故，矛盾，舍去；若，则，故，所以，又，故，所以，故，此时，若，则，故，故，即，故，此时，即中有7个元素.故答案为：7.三、解答题17．在三棱锥中，已知为中点，平面，.(1)求三棱锥的体积；(2)若点分别为的中点，求直线与平面所成角的大小.【答案】(1)(2)【分析】（1）连接，得到，求得，由平面，且，得到三棱锥的高为，结合体积公式，即可求解；（2）以所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求得和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】(1)解：连接，在中，因为为中点，所以，所以，且，因为平面，且，即三棱锥的高为，所以三棱锥的体积为.(2)解：由（1）知，且平面，以所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，可得，因为点分别为的中点，所以，所以， 设平面的法向量为，则，取，可得，即，设直线与平面所成角为，可得，即直线与平面所成角为.18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求的值；（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得，利用正弦定理求得. （2）方法一：根据的值，求得的值，由（1）求得的值，从而求得的值，进而求得的值.【详解】（1）[方法一]：正余弦定理综合法由余弦定理得，所以.由正弦定理得.[方法二]【最优解】：几何法过点A作，垂足为E．在中，由，可得，又，所以．在中，，因此．（2）[方法一]：两角和的正弦公式法由于，，所以.由于，所以，所以.所以.由于，所以.所以.[方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法   在（1）的方法二的图中，由，可得，从而．又由（1）可得，所以．[方法三]：几何法+正弦定理法   在（1）的方法二中可得．在中，，所以．在中，由正弦定理可得，由此可得．[方法四]：构造直角三角形法   如图，作，垂足为E，作，垂足为点G．在（1）的方法二中可得．由，可得．在中，．由（1）知，所以在中，，从而．在中，．所以．【整体点评】（1）方法一：使用余弦定理求得，然后使用正弦定理求得；方法二：抓住45°角的特点，作出辅助线，利用几何方法简单计算即得答案，运算尤其简洁，为最优解；（2）方法一：使用两角和的正弦公式求得的正弦值，进而求解；方法二：适当作出辅助线，利用两角差的正切公式求解，运算更为简洁，为最优解；方法三：在几何法的基础上，使用正弦定理求得的正弦值，进而得解；方法四：更多的使用几何的思维方式，直接作出含有的直角三角形，进而求解，也是很优美的方法.19．某市环保部门通过研究多年来该地区的大气污染状况后，建立了一个预测该市一天中的大气污染指标与时间（单位：小时）之间的关系的函数模型：，，其中，代表大气中某类随时间变化的典型污染物质的含量，参数代表某个已测定的环境气象指标，且.现环保部门欲将的最大值作为每天的大气环境综合指数予以发布.(1)求的值域；(2)若该市政府要求每天的大气环境综合指数不得超过，请求出的表达式，并预测该市目前的大气环境综合指数是否会超标？请说明理由.【答案】(1)；(2)，不会超标，理由见解析.【分析】（1）由题设可得，理由正弦函数的性质求的值域即可.（2）令，讨论的大小关系求出的分段函数形式，在讨论的范围求对应表达式，并判断的值域，由其最大值与2的大小关系判断是否会超标.【详解】(1)由题设，，则，所以，即的值域为.(2)由（1）知：，则，所以，当时，在上递增，故；当时，，此时在上，在上；而得：，故，综上，，易知：恒成立，故该市目前的大气环境综合指数不会超标.20．如图，已知椭圆的一个焦点坐标为，且与轴正半轴分别交于两点，其中的面积为，圆与相切，是椭圆上的动点，以为圆心的圆的半径与圆的半径相同.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点作圆的两条切线，分别与圆切于点，射线分别与椭圆交于两点，当的斜率都存在时，①求证：为定值；②设的面积为的面积为，求的取值范围.【答案】(1)(2)①②【分析】（1）根据题意，由求解；（2）①易知，设，过点O的切线方程为，由，利用韦达定理求解；②设，根据，得到，然后由，得到求解.【详解】(1)解：由题意得：，解得，所以椭圆的方程为；(2)①，设，切线PM，PN的斜率为，过点O的切线方程为，则，即，所以，因为，所以，所以； ②的最小值为，故点O总在圆P外，此方程恒成立，，设，则，即，又，所以，整理得，所以，因为，即，所以.21．若实数数列满足，则称数列为数列.(1)请写出一个5项的数列，满足，且各项和大于零；(2)如果一个数列满足：存在正整数使得组成首项为1，公比为的等比数列，求的最小值；(3)已知为数列，求证：为数列且为数列”的充要条件是“是单调数列”.【答案】(1)(答案不唯一)；(2)；(3)证明见解析.【分析】（1）根据数列的定义写出一个满足条件的数列即可.（2）由数列的定义，只需让正整数且间的间隔尽量小，结合题设找到后续各项数字出现规律，找到对应的最小位置，即可得的最小值.（3）由数列的定义，分别从充分性、必要性两方面证明结论，注意反证法的应用.【详解】(1)由题设，，又，所以，存在满足条件，又，则，综上，满足题设的数列有.(2)由题设，为，所以数列从开始依次往后各项可能出现的数字如下：，，，，，，，，…，要使的最小即正整数且间的间隔尽量小，又，则，综上，的最小值为.(3)由为数列，则，由为数列，则，又为数列，即，若不是单调数列，则存在，即，显然与矛盾；或存在，即，显然与矛盾；综上，是单调数列，充分性得证；由是单调数列且为数列，所以，则，则，即，所以、均为数列，必要性得证；综上，为数列且为数列”的充要条件是“是单调数列”.【点睛】关键点点睛：第二问，根据等比数列写出的各项，结合及数列的定义，有必是最靠前的项，再依次项判断后续各项数字出现规律，找到对应的最小位置.