2022届湘豫名校高三下学期3月联考数学（文）试题含解析

这是一份2022届湘豫名校高三下学期3月联考数学（文）试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届湘豫名校高三下学期3月联考数学（文）试题一、单选题1．命题“，”的否定是（       ）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】由特称命题的否定：将存在改为任意并否定原结论，即可写出原命题的否定形式.【详解】特称命题的否定为全称命题，所以原命题的否定为，.故选：B.2．已知集合，，则集合的子集的个数为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求集合，进而可得子集个数【详解】因为集合，所以，其子集的个数为4，故选：D．3．复数（表示虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点为（       ）A．（－1，2） B．（1，－2） C．（1，2） D．（2，1）【答案】B【分析】根据复数的除法运算，化简，从而得到其共轭复数，根据复数的几何意义可得答案.【详解】因为，所以,所以共轭复数在复平面内对应的点为（1，－2）,故选:B4．已知等差数列的前n项和为，若，见（       ）A．4 B．5 C．6 D．12【答案】C【分析】由已知及等差数列前n项和公式可得，根据等差数列下标和的性质有，即可求目标式的值.【详解】因为数列为等差数判，，所以，即．所以.故选：C．5．已知函数f（x）在区间[－π，π]上的大致图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用排除法，结合函数图象，函数的奇偶性，单调性逐个分析判断【详解】由图象可知，函数f（x）为偶函数，对于A，因为，所以为奇函数，所以排除A；对于B，因为，所以为偶函数，当时，，则，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，所以B正确，对于C，当时，，在（0，＋∞）上恒成立，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以排除C，对于D，当时，，在（0，＋∞）上恒成立，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以排除D，故选：B．6．已知不等式组表示的平面图形为，则按斜二测画法，平面图形的直观图的面积为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出可行域，再按斜二测画法作出直观图，进而可得面积.【详解】绘制不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，则，，，，按照斜二测画法，直角梯形的直观图如图所示，为梯形，且两底边长分别为，，高为，所以直观图的面积为，故选：A．7．在平面直角坐标系中，A（0，1），B（0，4），C是直线上的一动点，M是圆上一点，则当最小时，的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】作A关于直线的对称点，根据对称性可得使最小时的C点坐标，求出其到圆心的距离，进而可得的最小值.【详解】作A关于直线的对称点，可得（1，0），则，解得当C（，）时取等号，所以．故选：A．8．某老物件收藏者购买了清代老榉木的大铜钱形状的水车轮子，正面以颇具传统文化意味的“古钱币”为外形，预示着财源广进，事业发达，也可以理解为象征中国传统文化的天圆地方，其正视图和侧视图（单位：厘米）如图所示（图中），且该轮子的表面积为（）平方厘米，若向轮子的正面随机投掷一颗小石子，则恰好落到正方形中的概率为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先通过该轮子的表面积求出m的值，然后利用几何概型，面积比面积进行求解.【详解】根据轮子的正视图和侧视图，可得该轮子的形状是底面直径为40厘米、高为13厘米的圆柱体，挖去一个底面是正方形、高为13厘米的直四棱柱而构成.所以其表面积为圆柱的表面积加上直四棱柱的侧面积，减去上下两个正方形的面积.所以.解得或（舍去）.所以恰好落到正方形中的概率为.故选：A9．在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则的值是（       ）A． B．或 C． D．【答案】D【分析】利用三角函数定义式，结合两角和的正切公式可得解.【详解】．因为，，，所以，所以，故选：D．10．已知曲线在点处的切线为，数列的首项为，点为切线上一点，则数列的前项和为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据导数的几何意义可得切线方程，进而可得数列的递推公式，从而可得通项公式及前项和.【详解】因为，所以曲线在点处的切线的斜率为，故所求切线的方程为，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，其前项和为．故选：B．11．已知定义在R上的函数为奇函数，则不等式的解集为（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用奇函数的性质求出的值，然后利用分类讨论思想去掉函数中的绝对值将变成分段函数，再利用异号为负的思想求解不等式.【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以，即.所以，化简得因为，所以或解得或.故选：D12．已知，则的最小值是（       ）A．1 B． C．2 D．4【答案】C【分析】构造函数，并判断其为奇函数且在R上单调递增，由此结合已知条件可得到，平方并利用基本不等式可求得答案.【详解】由题意：，设，则，所以函数f（x）是奇函数，且在R上为增函数．因为，所以，即，即，所以，即．所以，所以，当且仅当时，等号成立，故选：C二、填空题13．已知双曲线的离心率为，则该双曲线的倾斜角为锐角的渐近线的一个方向向量的坐标为______.【答案】[答案不唯一，形如均正确]【分析】求出双曲线的倾斜角为锐角的渐近线的斜率，可得出该渐近线的一个方向向量的坐标.【详解】因为，所以，所以倾斜角为锐角的渐近线的斜率为.故向量为该渐近线的一个方向向量.故答案为：[答案不唯一，形如均正确]14．为了弘扬中华民族敬老爱老的传统美德，切实关爱社区老年人的身体健康，社区卫生服务中心联合医院为老年人进行免费体检，并送上健康的祝福，已知重阳节当天，医院彩超室接待了12位年龄在70岁到80岁之间的老年人，4位年龄在80岁以上的老年人，为了进一步了解各个年龄阶段老年人的健康状况，按分层抽样的方式从中随机抽取4人，则年龄在70岁到80岁之间的老年人被抽取的人数为___．【答案】3【分析】根据分层抽样的特征求解即可.【详解】解：根据题意，年龄在70岁到80岁之间的老年人与年龄在80岁以上的老年人的比例为：，所以，年龄在70岁到80岁之间的老年人被抽取的人数为（人）．故答案为：15．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若函数在时恒成立，则实数m的最大值是___．【答案】1【分析】首先利用辅助角公式将化简，再根据三角函数的变换规则得到，再由的取值范围求出的范围，即可求出的取值范围，从而得解；【详解】解：因为，将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到，．∵，∴．∴，即．∴．故实数m的最大值是1，故答案为：三、双空题16．在 中，，则的最小值为___；若P为边AB上一点，则的最小值为___．【答案】          －4【分析】根据条件可推出，即，由此建立平面直角坐标系，求出相关向量的坐标，进而表示出向量的坐标，根据模的计算公式可求答案；同理求出的表达式，利用二次函数知识求得答案.【详解】由得，即，∴．以AC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则B（0，4），C（2，0）．∴．∴，∴当时，取得最小值． 设，则,∴当m＝2时，取得最小值－4，故答案为：；－4四、解答题17．在2021年的一次车展上，某国产汽车厂家的一个品牌推出了1.5升混动版和纯电动版两款车型，自这两款车型上市后，便获得了不错的口碑，汽车测评人老李通过自媒体平台，分8个指标对这两款车型进行了综合评测打分（满分：5分），如图所示：(1)求综合评测分数的平均值；从上图8个指标中任选1个，求指标分数为4.93的概率；(2)老李对两款车型的车主的性别作了统计，得到数据如下2×2列联表： 混动版纯电动版合计男 25 女15 60合计70   请将上述列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为喜欢哪款车型和性别有关．附：，其中．0.100.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828 【答案】(1)平均值为4.79，(2)列联表见解析，有99.9%的把握认为喜欢哪款车型和性别有关．【分析】（1）根据平均数的计算公式求得综合评测分数的平均值；根据古典概型的概率公式即可求得指标分数为4.93的概率；（2）根据表中数列可算出需要补充的数据；计算出 的值，和题中已知的表格数据相比较，可得答案.【详解】(1)平均值为，8个指标中分数为4.93的指标有3个，故从8个指标中任选1个，指标分数为4.93的概率为;(2) 混动版纯电动版合计男552580女154560合计7070140 由于,所以有99.9%的把握认为喜欢哪款车型和性别有关．18．如图，在四边形中，，，，，与的交点为．(1)求的长度；(2)求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用直角三角形边角关系及余弦定理解三角形；（2）利用正弦定理及直角三角形三边关系求边长，再求得面积.【详解】(1)，，，，，，，，，，在中，由余弦定理可得．(2)在中，由正弦定理可得，，为锐角，，，，，的面积为.19．如图，已知正三棱锥中，，，VD⊥平面ABC，垂足为D，DE⊥平面VAB，垂足为E，连接VE并延长，交AB于点M．(1)证明：M是AB的中点；(2)过点E作EF⊥平面VAC，垂足为F，求四面体VDEF的外接球的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，，再根据线面垂直的判定定理可得平面VDE，从而可得，即可得证；（2）连接CM，连接DF，易得D在CM上，利用线面垂直的判定定理证明为△VFD和△VED直角三角形，则VD的中点O即为外接球的球心，求出半径即可得解.【详解】(1)证明：∵VD⊥平面ABC，平面ABC，∴，∵DE⊥平面VAB，平面VAB，∴，∵，∴AB⊥平面VDE，又平面VDE，∴，又V－ABC是正三棱锥，∴，∴M是AB的中点；(2)解：在正三棱锥V－ABC中，∵，∴，∵，平面VAC，又EF⊥平面VAC，∴，EF与VA交于点F，如图1，连接CM，∵VD⊥平ABC，∴D是正三角形ABC的中心，由（1）知，M是AB的中点，∴D在CM上，又，∴，∴，又，∴，连接DF，∵EF平面VAC，平面VAC，∴，∵DE⊥平面VAB，平面VAB，∴，∵，∴VA⊥平面DEF，又平面DEF，∴，如图2，取VD的中点O，连接OE，OF，在Rt△VFD和Rt△VED中，，∴O为四面体VDEF的外接球的球心，且，设四面体VDEF的外接球的半径为R，则，∴四面体VDEF的外接球的体积为．20．已知椭圆C：的长轴长为4，点在椭圆C上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知O为坐标原点，P为椭圆C上的一个动点，过点E（，0）作OP的平行线交椭圆C于M，N两点，问：是否存在实数t（t＞0），使得构成等比数列？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）由题意可得，再将点代入椭圆方程中可求出，从而可求得椭圆的方程，（2）①当OP的斜率存在时，设直线OP的方程为，将直线方程代入椭圆方程中可求出，则可得，设直线MN的方程为，将直线方程代入椭圆方程消去，利用根与系数的关系，再利用两点间的距离公式表示出，再计算与比较可求出t的值，②当OP的斜率不存在时，可得，直线MN的方程为，可直接求出的值，进而可求出【详解】(1)由题意可得，所以．因为点（1，）在椭圆C上，所以，解得．所以椭圆C的标准方程为．(2)①当OP的斜率存在时，设直线OP的方程为．联立方程，得解得，．解得，设直线MN的方程为．联立方程，得化简，得．因为点E（，0）在椭圆内部，所，，所以．同理可得．所以，假设存在实数），使得构成等比数列，则．所以．解得．四为，所以，②当OP的斜率不存在时，，直线MN的方程为，联立与，得．所以，当构成等比数列时，，即．因为，所以．综上所述，存在实数，使得构成等比数列．21．已知时，函数的图象恒在直线的上方．(1)求证：当时．；(2)求函数在上的零点个数．【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）由题意得当时，恒成立，所以当时，欲证，只需证，构造函数，利用导数求出其最小值大于零即可，（2）对函数求导得，然后分，和，判断导数的正负，可得函数的单调性，再结合零点存在性定理可判断出函数的零点个数，【详解】(1)因为时，函数的图象恒在直线的上方，所以，所以当时，恒成立，当时，欲证，只需证，只需证，设，则，所以F（x）在（0，1）上单调速减，所以．所以当时，．(2)由已知得，则，①当时，因为，所以g（x）在上单调递减．所以．所以g（x）在上无零点，②当时，因为单调递增，且，所以存在，使．当时，；当时，，所以g（x）在上单调递减，在上单调递增，且，所以．设，则．令，得．所以在上单调递减，在上单调递增，所以．所以，所以，所以．所以g（x）在上存在一个零点．所以g（x）在[0，]上有2个零点，③当时，， 所以g（x）在（，＋∞）上单调递增．因为，所以g（x）在（，＋∞）上无零点，结上所述，g（x）在（－，＋∞）上的零点个数为2【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数证明不等式，考查利用导数决函数零点问题，第（1）问解题的关键是构造函数，利用导数求函数的最值，第（2）解题的关是对函数求导后，分情况通过判断导数的正负，可得函数的单调性，再结零点存在性定理可判断函数的零点个数，考查数学转化思想，属于较难题22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.直线l的极坐标方程为，直线l与曲线C交于A，B两点.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若，求.【答案】(1)，；(2)4.【分析】（1）消参法求曲线C的普通方程，公式法求直线l的直角坐标方程.（2）由（1）所得普通方程，结合圆中弦长、半径、弦心距的几何关系求圆心到直线l的距离，再利用点线距离公式列方程求参数m，即可得直线的倾斜角大小，由、的关系求即可.【详解】(1)由题意，消去参数，得曲线C的普通方程为.将，代入，得直线l的直角坐标方程为.(2)设圆心到直线l：的距离为d，则，解得.所以，解得.所以直线l的方程为，则直线l的倾斜角为.所以.23．已知函数.(1)若对任意的，恒成立，求正实数t的最小值M；(2)若，，求证：.【答案】(1)2(2)证明见解析【分析】（1）把恒成立问题转化成求最小值问题，分类讨论求出的最小值；（2）通过基本不等式进行求解即可.【详解】(1)根据题意，恒成立恒成立.因为，所以当时，的最小值为.所以，即.所以t的最小值为.(2)因为，当且仅当时，取等号，所以.