2022届湖南省长沙市雅礼中学高三下学期月考（六）数学试题含解析

2022届湖南省长沙市雅礼中学高三下学期月考（六）

数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据二次根式的性质、解一元二次不等式方法，结合集合交集运算的定义进行求解即可.

【详解】解：∵集合，

∴．

故选：A．

2．已知复数，则下列结论正确的是（       ）

A．的虚部为i B．

C．的共轭复数 D．为纯虚数

【答案】D

【分析】根据复数的除法运算法则，结合复数模的定义、共轭复数的定义，结合复数虚部的定义、纯虚数的定义逐一判断即可.

【详解】解：∵，∴z的虚部为1，为纯虚数，，∴正确的结论是D．

故选：D．

3．在中，“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合余弦函数的单调性即可判断.

【详解】因为是三角形的内角，且，

所以，

因为在上单调递减，所以，故充分性成立；

反之，在上单调递减，，

若，则，故必要性成立，

所以在中，“”是“”的充要条件，

故选：C.

4．国际冬奥会和残奥会两个奥运会将于2022年在北京召开，这是我国在2008年成功举办夏季奥运会之后的又一奥运盛事.某电视台计划在奥运会期间某段时间连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能相邻播放，则不同的播放方式有（       ）

A．120种 B．48种 C．36种 D．18种

【答案】C

【分析】先考虑最后位置必为奥运宣传广告，再将另一奥运广告插入3个商业广告之间，最后对三个商业广告全排列，即可求解.

【详解】先考虑最后位置必为奥运宣传广告，有种，

另一奥运广告插入3个商业广告之间，有种；

再考虑3个商业广告的顺序，有种，故共有种.

故选：C.

5．4cos10°=

A．1 B． C． D．2

【答案】C

【解析】将原式通分，利用辅助角公式以及正弦的和角公式进行整理化简，即可求得.

【详解】原式.

故选：C.

【点睛】本题考查三角恒等变换，涉及辅助角公式和正弦的和角公式，属基础题.

6．数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了 (n＝0,1,2，…)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出，不是质数．现设，表示数列的前项和，若，则（       ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】B

【分析】利用数列的递推关系求得通项公式，再结合等比数列求和公式即可求出结果．

【详解】因为 (n＝0,1,2，…)，所以，

所以{an}是等比数列，首项为1，公比为2，所以Sn＝＝2n－1

所以32(2n－1)＝63×2n－1，解得n＝6，

故选：B

7．已知直线l：与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆的两条切线，切点分别为C，D两点，记M是CD的中点，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出以为直径的圆的方程，根据两圆相交的性质求出直线CD的方程，进而确定该直线所经过的定点，再结合圆的性质进行求解即可.

【详解】解：如图：

设，则以为直径的圆的方程为，

化简得，与联立，

可得所在直线方程：，

直线过定点，

由题意得，，Q为直线上的一个定点，则点M在以为直径的圆上，

可得，M点的轨迹为：，圆心，半径．

由题可知，∴．

∴线段长的最小值为．

故选：D．

【点睛】关键点睛：运用两圆相交弦的性质求出相交弦所在直线的方程是解题的关键.

8．已知抛物线（）与双曲线（，）有相同的焦点，点是两条曲线的一个交点，且轴，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的倾斜角所在的区间是

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】分析：因为抛物线与双曲线有相同的焦点，所以可得p与c之间的关系，

因为轴，则点A的坐标可以由抛物线求出，将其代入双曲线方程，

再由a、b、c之间的关系，可求出离心率，由离心率公式可得，即斜率的值，由斜率求出倾斜角的范围.

详解：因为抛物线与双曲线焦点相同，所以，因为与x轴垂直，所以可求得点A的坐标为，将其代入双曲线方程可得：，

因为，代入上式可得：，

化简得：，两边同时除以得：，

解得或（舍），设渐近线斜率为k，

由，解得，所以倾斜角应大于，

所以区间可能是，

故选B.

点睛：本题主要考查抛物线与双曲线的几何性质，由焦点与公共点建立系数之间的联系，渐近线斜率与离心率有关，所以由系数求出离心率并求得斜率，与特殊倾斜角的斜率作对比，求出倾斜角取值范围.

二、多选题

9．已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图，则下列说法正确的是（       ）

A．若甲、乙两组数据的平均数分别为，，则

B．若甲、乙两组数据的方差分别为，，则

C．甲成绩的极差小于乙成绩的极差

D．甲成绩比乙成绩稳定

【答案】ACD

【分析】根据折线图中的数据，结合平均数的求法、方差的求法及其意义、极差的概念，应用数形结合的方法即可判断各项的正误.

【详解】由图知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学，其他次考试都高于乙同学，知，A正确；甲同学的成绩比乙同学稳定，故，所以B错误，D正确；极差为数据样本的最大值与最小值的差，甲成绩的极差小于乙成绩的极差，所以C正确.

故选：ACD．

10．已知向量（1，1），（0，），则（       ）

A．

B．

C．与可以作为一组基底

D．在方向上的投影为

【答案】BC

【分析】根据平面向量投影的定义、平面向量数量积的坐标运算公式、平面向量模的定义，结合平面向量共线的性质逐一判断即可.

【详解】解：∵，∴，选项A错误；

，∴，∴，选项B正确；

∵，∴与都是非零向量，且与不共线，

∴与可以作为一组基底，选项C正确；

在方向上的投影为，选项D错误；

故选：BC．

11．已知正数a，b满足，下列说法正确的有（       ）

A．ab的最大值为1

B．的最小值为

C．的最大值为

D．的最小值为2

【答案】AC

【分析】根据基本不等式结合选项一一判断即可．

【详解】解：对于A：由正数a，b满足，得，当且仅当时取等号，故A正确；

对于B：，所以的最大值为，

当且仅当时取等号，故B错误；

对于C：，当且仅当时取等号，故C正确；

对于D：，当且仅当取等号，当时第二个等号成立，故两个等号不能同时成立，故，故D错误．

故选：AC．

12．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P为BC的中点，G为线段CD上的动点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是（       ）

A．对任意的点G，存在点Q，使得A1G⊥PQ

B．对任意的点G，存在点Q，使得A1G⊥平面PGQ

C．当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=

D．当CQ=时，△APQ的外接圆的面积最小

【答案】ACD

【分析】取Q为的中点，可证得平面，即可判断A选项；当G与C重合时，即可判断B选项；当时，延长至N，使，可证，由由三角形相似，进一步计算可判断C选项；设，设外接圆的半径为r，设，由正弦定理可知，利用余弦定理计算求得取最小值，即可判断选项D.

【详解】取Q为的中点，可得，即，

而，且，∴平面，对于上的任意一点G，

都有，故A正确；

当G与C重合时，与平面不垂直，故B错误；

当时，延长至N，使，连接交于S，连接交于R，连接，可证，由，可得，

可得，故C正确；

设，则，

设，则，

令，得，

∴，

则当，即，也就是时，取最小值，则取最大值．

设外接圆的半径为r，则最小，此时，的外接圆的面积最小，故D正确．

故选：ACD．

三、填空题

13．已知为奇函数，当时，，则___________.

【答案】

【分析】求出，在根据为奇函数即可得出答案.

【详解】解：由题意可知，.

故答案为：.

14．的内角、、的对边分别为、、，其中，，若将六个和全等的三角形围成如图的正六边形，设其面积为，设阴影部分面积为，则________．

【答案】

【分析】计算出的值，可知，利用正弦定理代值计算即可得解.

【详解】因为，，则，

所以，，

面积比为相似比的平方，

.

故答案为：.

15．在(x+y+z)6的展开式中,所有形如x3yazb(a∈N,b∈N)的项的系数之和为_____.

【答案】160

【解析】根据目标式x3yazb的来源，只需求解yazb项的所有系数之和与的乘积即可.

【详解】(x+y+z)6表示6个因式(x+y+z)的乘积，

其中有3个因式都取x，得，

另外的三个因式取y或z，

即可得到形如x3yazb(a∈N，b∈N)的项.

而(y+z)3的各项系数和为23，

故所有形如x3yazb(，b∈N)的项的系数之和为23=160，

故答案为：160.

【点睛】本题考查二项展开式中某一类项的系数之和，属中档题.

四、双空题

16．已知函数，，若直线与函数，的图象均相切，则的值为________；若总存在直线与函数，图象均相切，则的取值范围是________

【答案】         

【分析】利用直线与函数相切，求出，设直线与函数的切点为，利用导数的几何意义，列方程组即可；设切线方程为，利用导数的几何意义可得，化为，构造函数，利用导数求出函数的最值即可求解.

【详解】设直线与函数的切点为，

由，所以，解得，所以切点为，

所以，解得，即切线方程为，

设直线与函数的切点为，

则，解得 ，即，

设切线方程为，

且与的切点为，

与的切点为

则，，

整理可得，，

所以，

整理可得，

设，

则，

设，

则，

所以在为增函数，

又因为，

所以在上，即，所以单调递减；

在上，即，所以单调递增，

所以，

即，解得.

故答案为： ；

【点睛】本题考查了导数的几何意义、利用导数求函数的最值，此题难度较大，综合性比较强，属于难题.

五、解答题

17．已知向量，，函数.

（1）求函数单调递增区间；

（2）已知的内角的对边分别为，，，且，求角.

【答案】（1）；（2）或

【分析】（1）运用向量坐标运算和数量积公式求出，并根据三角恒等变换进行化简，进而求出单调递增区间.（2）先求出角，再利用正弦定理求解.

【详解】（1）

由，

所以单调递增区间是

（2）由（1）知，，

，，

，，

于是，由正弦定理，，

两个解均成立或

【点睛】本题主要考查了向量的数量积及坐标运算、三角恒等变换、正弦定理等知识.

(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成或的形式；(2)根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数或的单调区间

18．已知是公差不为0的等差数列，其前项和为，，且，，成等比数列.

（1）求和；

（2）若，数列的前项和为，且对任意的恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）求出，即得数列的和；

（2）由题得，再利用分组求和求出，得到，令，判断函数的单调性得解.

【详解】（1）设数列的公差为，由已知得，，

即，整理得，

又，，

；

（2）由题意：，

，，

令，

则，

即对任意的恒成立，

是单调递增数列，

，

只需，

所以.

【点睛】方法点睛：求数列的最值，常用数列的单调性求解，求数列的单调性，一般利用定义法作差或作商判断.

19．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=2，AD=CD，∠ABC=120°．

(1)求证：平面PAC⊥平面PBD；

(2)若点M为PB的中点，点N为线段PC上一动点，求直线MN与平面PAC所成角的正弦值的取值范围．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1) 设的中点为O,先证明，由条件可得，从而可证明结论.

(2)由（1）可得，以所在的直线分别建立x轴和y轴，过O点作平行于的直线为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【详解】(1)设的中点为O，因为，所以，

因为，所以，所以B，O，D三点共线，

所以，因为平面平面，

所以，因为平面平面，

所以平面，因为平面，所以平面平面．

(2)由（1）可得，以所在的直线分别建立x轴和y轴，过O点作平行于的直线为z轴建立空间直角坐标系，

则，

因为M为的中点，所以，                    

设，所以，

所以，                    

由（1）知平面，所以平面的一个法向量为，                    

设直线与平面所成角为，

则，   

由的对称轴为，当时，

当时，

即当时，，所以

所以，

即直线与平面所成角的正弦值的取值范围为

20．为响应“建设文化强国”号召，并增加学生们对古典文学的学习兴趣，某中学计划建设一个古典文学熏陶室．为了解学生阅读需求，随机抽取200名学生做统计调查．统计显示，男生喜欢阅读古典文学的有64人，不喜欢的有56人；女生喜欢阅读古典文学的有36人，不喜欢的有44人．

(1)根据所给条件，填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系？

(2)为引导学生积极参与阅读古典文学书籍，语文教研组计划牵头举办某集团古典文学阅读交流会．经过综合考虑与对比，语文教研组已经从这200人中筛选出了5名男生代表和4名女生代表，其中有3名男生代表和2名女生代表喜欢古典文学，现从这9名代表中任选3名男生代表和2名女生代表参加交流会，记为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数，求的分布列及数学期望．

附：，其中．

参考数据：

【答案】(1)表格见解析，能；

(2)分布列见解析，.

【分析】（1）根据题意直接填表，结合题中所给的公式和参考数据进行求解即可；

（2）根据古典概型计算公式，结合数学期望公式进行求解即可.

【详解】(1)根据所给条件，制作列联表如下：

所以的观测值，

因为的观测值，                    

由所给临界值表可知，在犯错误的概率不超过0.25的前提下可以认为喜欢阅读古典文学与性别有关．

(2)根据已知条件可得，                    

则，

，

，

，

，                    

所以的分布列是：

所以．

21．如图，设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，的面积为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设圆心在轴上的圆与椭圆在轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）设，根据题意，得到，，从而可得，进而得到椭圆的方程；

（2）设圆心在轴上的圆与椭圆相交，是两个交点，根据题意，利用圆和椭圆的对称性，得到，再由，得到或，分类讨论，即可求得圆的半径.

【详解】（1）设，其中，

由，可得，

从而，故，

从而，由，得，

因此，所以，故，

因此，所求椭圆的标准方程为.

（2）如图所示，设圆心在轴上的圆与椭圆相交，

由是两个交点，是圆的切线，且，

由圆和椭圆的对称性，易知，，

由（1）知，所以，

再由，得，

由椭圆方程得，即，解得或，

当时，重合，此时题设要求的圆不存在，

当时，过分别与垂直的直线的交点即为圆心，

由是圆的切线，且，知，

又，故圆的半径.

【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．

22．已知函数满足满足；

（1）求的解析式及单调区间；

（2）若，求的最大值.

【答案】（1）的解析式为 且单调递增区间为，单调递减区间为

（2）时，的最大值为

【详解】（1）

令得：

得：

在 上单调递增

得： 的解析式为且单调递增区间为 ，单调递减区间为

（2）得

①当时， 在上单调递增

时， 与矛盾

②当时，

得：当时，

令；则

当 时，

当时， 的最大值为