高中物理人教版 (2019)必修 第一册3 位置变化快慢的描述——速度学案设计

位置变化快慢的描述——速度

知识点一　速度

[情境导学]

(1)如图甲所示，在平直的公路上，30 min内自行车向前行驶了8 km，汽车向前行驶了50 km，那么自行车和汽车谁运动得快？

(2)如图乙所示，在百米比赛时，第一名运动员的成绩是10 s，而最后一名的成绩是

13．5 s，那么这两位运动员相比，谁跑得快些？

提示：(1)相等时间内，汽车行驶的位移大，所以汽车运动得快。

(2)相等距离内，第一名运动员用的时间少，所以第一名运动员跑得快。

[知识梳理]

1．物理意义：表示物体运动快慢的物理量。

2．定义：位移与发生这段位移所用时间之比。

3．定义式：v＝。

4．单位：在国际单位制中，速度的单位是米每秒，符号是m/s或m·s－1；常用单位还有千米每时(km/h或km·h－1)、厘米每秒(cm/s或cm·s－1)等。

注意：①1 m/s＝3．6 km/h，②1 m/s＝100 cm/s。

5．矢量性：速度是矢量，方向与时间Δt内的位移Δx的方向相同。

[初试小题]

1．判断正误。

(1)通过的位移越大，则物体的速度越大。(×)

(2)物体运动得越快，则速度越大。(√)

(3)由v＝可知，物体的速度v与Δx成正比。(×)

(4)速度的方向与物体运动的方向一致。(√)

2．[多选]下列关于速度的说法正确的是(　　)

A．速度是矢量，既有大小也有方向

B．速度描述物体运动的快慢，只有大小

C．速度越大，物体的位移越大

D．速度越大，物体在单位时间内的位移越大

解析：选AD　速度是描述物体运动快慢的物理量，既有大小，又有方向；位移的大小，既与速度大小有关，又与时间长短有关。故A、D正确，B、C错误。

知识点二　平均速度和瞬时速度

[情境导学]

出现上述问题的主要原因是什么？

提示：混淆了瞬时速度和平均速度的概念。

[知识梳理]

1．平均速度

(1)物理意义：描述物体在某一段时间内运动的平均快慢程度及方向。

(2)定义式：v＝。

(3)矢量性：平均速度是矢量，其方向与位移方向相同。

2．瞬时速度

(1)物理意义：描述物体在某时刻运动的快慢及方向。

(2)速率：瞬时速度的大小。

(3)矢量性：瞬时速度是矢量，其方向与物体的运动方向相同。

注意：瞬时速度是Δt→0时平均速度的极限值。

3．匀速直线运动：是指瞬时速度保持不变的运动。

注意：在匀速直线运动中，平均速度与瞬时速度相等。

[初试小题]

1．判断正误。

(1)物体的瞬时速度总为零，则平均速度一定为零。(√)

(2)物体的平均速度为零，则物体一定处于静止状态。(×)

(3)两物体的速度分别为v1＝2 m/s，v2＝－3 m/s，则它们的大小关系为v1>v2。(×)

(4)物体的运动速率越大，一定时间内的位移也一定越大。(×)

2．某汽车内的仪表如图所示，则仪表此时显示了汽车的(　　)

A．速率约为50 m/s

B．瞬时速度约为50 m/s

C．速率约为50 km/h

D．平均速度约为50 km/h

解析：选C　汽车内的仪表显示的是汽车的瞬时速度大小，即速率，单位为km/h，由题图可知，汽车速率约为50 km/h，选项C正确。

知识点三　速度—时间(v­t)图像

[知识梳理]

1．图像的建立：以时间t为横轴，速度v为纵轴，根据测量的数据在坐标系中描点，然后用平滑的曲线把这些点连接起来，即得到如图所示的速度—时间(v­t)图像。

2．物理意义：速度—时间(v­t)图像可直观地表示物体速度随时间的变化规律。

如上图所示，从图中可看出物体的速度大小随时间不断变化；速度方向不变，与规定的正方向相同，做直线运动。

[初试小题]

1．判断正误。

(1)v­t图像表示物体的运动轨迹。(×)

(2)v­t图像形状是曲线的表示物体做曲线运动。(×)

(3)v­t图像能反映不同时刻物体的瞬时速度的大小和方向。(√)

2．甲、乙两物体沿某一直线运动的v­t图像如图所示，下列说法正确的是(　　)

A．甲、乙两物体均从静止开始运动

B．甲物体一直做减速运动，乙物体一直做加速运动

C．甲、乙两物体运动的方向相反

D．甲、乙两物体运动的方向相同

解析：选D　由题图知，甲物体开始运动时的速度不为零，故A错误；甲、乙两物体均有一段时间速度保持不变，故B错误；由题图知，甲、乙两物体运动方向均与规定的正方向相同，故C错误，D正确。

[要点归纳]

1．对定义式v＝的理解

(1)公式v＝中的Δx是物体运动的位移，不是路程。

(2)v＝是定义式，不是决定式，不能认为v与位移Δx成正比、与时间Δt成反比。

(3)v＝也叫物体位移对时间的变化率。

2．速度矢量性的理解

(1)速度既有大小，又有方向，是矢量。瞬时速度的方向就是物体此时刻的运动方向。

(2)比较两个速度是否相同时，既要比较其大小是否相等，又要比较其方向是否相同。

[例题1]　[多选]对速度的定义式v＝， 以下叙述正确的是(　　)

A．此速度定义式适用于任何运动

B．速度v的大小与运动的位移Δx和时间Δt都无关

C．物体做匀速直线运动时，速度v与运动的位移Δx成正比，与运动时间Δt成反比

D．速度是表示物体运动快慢及方向的物理量

[解析]　速度的定义式适用于任何运动，所以A正确；速度的大小与位移Δx和时间Δt无关，B正确，C错误；速度是表示物体运动快慢及方向的物理量，D正确。

[答案]　ABD

(1)分析物体的运动速度时，既要分析速度的大小，又要分析速度的方向，不可只关注速度的大小而忽视其方向。

(2)初中的“速度”概念实际是物体运动路程与相应时间的比值，即平均速率，与高中“速度”的概念是不同的。

[针对训练]

1．某驾驶员使用定速巡航，在高速公路上以时速110公里行驶了200公里。其中“时速110公里”“行驶200公里”分别是指(　　)

A．速度、位移　　　　　 B．速度、路程

C．速率、位移  D．速率、路程

解析：选D　时速不考虑方向，即为速率，200公里为路程，D正确。

2．[多选]甲、乙两质点在同一直线上匀速运动，设向右为正，甲质点的速度为2 m/s，乙质点的速度为－4 m/s，则可知(　　)

A．乙质点的速率大于甲质点的速率

B．因为2>－4，所以甲质点的速度大于乙质点的速度

C．这里的正、负号的物理意义是表示质点运动的方向

D．若甲、乙两质点同时由同一点出发，则10 s后甲、乙两质点相距20 m

解析：选AC　因为速度是矢量，其正、负号表示物体的运动方向，速率是标量，在匀速直线运动中，速度的大小等于速率，故选项A、C正确，选项B错误；甲、乙两质点在同一直线上沿相反方向运动，从同一点分别前进了20 m和40 m，故此时两者相距60 m，选项D错误。

[问题探究]

如图甲所示，让小球沿斜槽滚下，依次通过O、A、B、C四点。

(1)请结合图甲中数据计算小球在OA、OB、OC各段的平均速度，并且比较计算结果，说明计算平均速度要注意什么问题？

(2)请思考小球在OA、OB、OC各段的平均速度中，哪一段的平均速度更接近经过O点的瞬时速度？

(3)如图乙所示，请思考OA、OA1、OA2、OA3各段的平均速度中，哪一段的平均速度更接近小球经过O点的瞬时速度？

提示：(1)0．70 m/s,0．80 m/s,0．90 m/s；小球在OC段运动得最快，由计算结果说明计算平均速度要注意明确是求哪一段位移(或时间)内的平均速度。

(2)OA段的平均速度更接近经过O点的瞬时速度。

(3)OA3段的平均速度更接近小球经过O点的瞬时速度。

[要点归纳]

平均速度和瞬时速度的区别与联系

[例题2]　某质点由A出发做直线运动，前5 s向东行驶了30 m经过B点，又向前行驶了5 s前进了60 m到达C点，在C点停了4 s后又向西行驶，经历了6 s运动了120 m到达A点西侧的D点，如图所示，求：

(1)最后6 s时间内质点的平均速度的大小和方向；

(2)全过程的平均速度。

[解析]　(1)最后6 s时间内质点从C到D的位移大小为Δx3＝120 m，则平均速度为v1＝＝＝20 m/s，方向向西。

(2)全程中质点初位置为A点，末位置为D点，其位移是AD，方向向西，大小Δx＝Δx3－Δx1－Δx2＝120 m－30 m－60 m＝30 m，所用时间t总＝5 s＋5 s＋4 s＋6 s＝20 s。

则平均速度大小为

v2＝＝＝1．5 m/s，方向向西。

[答案]　(1)20 m/s，方向向西

(2)1．5 m/s，方向向西

物体做变速运动时，在不同阶段的平均速度一般不同，因此在求解平均速度时一定要明确所求的是哪一个时间段的平均速度，要紧扣平均速度的定义。

[针对训练]

1．曾先生从杭州去镇海的高速公路上，进入区间测速路段的导航显示界面如图所示。下列说法正确的是(　　)

A．曾先生驾车时，一定不能当成质点处理

B．研究曾先生的运动，只能以地面作为参考系

C．区间车速“106 km/h”指的是平均速度

D．当前车速“102 km/h”指的是瞬时速率

解析：选D　如果研究曾先生的位移，由于曾先生的大小和形状可以忽略，所以能当成质点处理，故A错误。参考系的选取是任意的，故B错误。平均速度是位移与时间的比值，而区间车速“106 km/h”指的是路程与时间的比值，故C错误。当前车速“102 km/h”是指某一时刻的速度大小，是瞬时速率，故D正确。

2．一辆汽车沿直线运动，先以10 m/s的速度行驶完全程的四分之三，余下的路程以15 m/s的速度行驶，则汽车从开始到行驶完全程的平均速度大小为(　　)

A．10 m/s　　　　　 B．10．9 m/s

C．12．5 m/s  D．11．25 m/s

解析：选B　设全程的位移大小为4x，由题得到全程的平均速度＝≈10．9 m/s，故B正确。

[问题探究]

某学校在如图所示的操场上举行运动会。

(1)运动员在某段时间内一直运动，他们的平均速度可能等于零吗？平均速率呢？请举例说明。

(2)运动员平均速度的大小等于平均速率吗？

提示：(1)如果运动员绕操场跑一圈，位移等于零，则平均速度等于零；但是路程不等于零，则平均速率就不等于零。

(2)不一定等于。因为位移小于等于路程，所以平均速度的大小小于等于平均速率。只有在单向直线运动中，平均速度的大小才等于平均速率。

[要点归纳]

平均速度和平均速率的区别与联系

[例题3]　如图所示，一质点沿半径r＝20 cm的圆周自A点出发沿逆时针方向匀速率运动，在2 s内运动圆周到达B点，π取3．14。求：

(1)质点的位移x和路程s；

(2)质点平均速度的大小v和平均速率v率；

(3)质点运动到B点时瞬时速度的大小vB。

[解析]　(1)质点的位移是由A点指向B点的有向线段，则位移大小为线段AB的长度

由题图中几何关系可知位移大小

x＝ ＝r≈28．3 cm

位移的方向由A点指向B点

质点的路程为轨迹的长度

s＝×2πr＝×2π×20 cm＝94．2 cm。

(2)根据平均速度的定义，得

v＝＝＝0．141 5 m/s

根据平均速率的定义，得

v率＝＝＝0．471 m/s。

(3)质点运动的速率不变，所以质点运动到B点时，瞬时速度大小等于平均速率，即vB＝v率＝0．471 m/s。

[答案]　(1)28．3 cm，方向由A点指向B点　94．2 cm

(2)0．141 5 m/s　0．471 m/s　(3)0．471 m/s

求平均速度时常见的两种错误

(1)认为平均速度就等于速度的平均值，即＝(v1、v2分别是物体的初、末速度)。实际上这个式子对于特殊的运动适用，但对于一般的直线运动和曲线运动是不适用的。

(2)认为平均速度大小等于平均速率。在计算平均速度时，用路程与时间的比值去求解。而实际上平均速度必须依据其定义用位移与时间的比值去求解，并且必须强调针对的是哪段位移(或哪段时间)。

[针对训练]

1．某位同学用手机计步器记录了自己从家走到学校的情况，如图所示，则下列说法正确的是(　　)

A．图中的用时01：20是时刻

B．图中的行程6．65千米为位移

C．图中的速度5．0 km/h为平均速率

D．研究该同学运动的快慢不能将他看成质点

解析：选C　题图中用时对应一个过程，对应的是时间间隔，故A错误；由于人行走的路线并不一定是直线，所以行程不一定等于位移大小，只能是路程，故B错误；速度5．0 km/h为路程与时间的比值，为平均速率，故C正确；研究该同学运动的快慢时，该同学的大小可以忽略不计，能将他看成质点，故D错误。

2．某同学下课后到食堂吃饭的路线图如图所示，他从教室先到水房打了一壶水，然后再到食堂吃饭。他从教室到水房的时间为100 s，打水的时间为60 s，从水房到食堂的时间为40 s。若教室到水房的距离为100 m，水房到食堂的距离为40 m，求：

(1)整个过程该同学从教室到食堂的平均速度；

(2)整个过程该同学从教室到食堂的平均速率。

解析：(1)从教室到食堂的位移大小为x＝x1－x2＝100 m－40 m＝60 m，时间为t＝100 s＋60 s＋40 s＝200 s，所以平均速度大小是v＝＝0．3 m/s，方向由教室指向食堂。

(2)整个过程该同学从教室到食堂的路程为s＝x1＋x2＝100 m＋40 m＝140 m，时间为t＝100 s＋60 s＋40 s＝200 s，平均速率v′＝＝0．7 m/s。

答案：(1)0．3 m/s　方向由教室指向食堂

(2)0．7 m/s

[问题探究]

如图所示，当两条图线相交时，其交点的含义表示什么？

提示：在速度—时间图像中，图线的交点表示此时两物体的速度相同。

[要点归纳]

1．由图像能判断不同时刻对应的瞬时速度

(1)瞬时速度为正，说明物体沿选定的正方向运动，如图中的图线1、4、5；

(2)瞬时速度为负，说明物体沿与选定的正方向相反的方向运动，如图中的图线2、3；

(3)若图线经过t轴，说明物体的运动方向发生变化，如图中的图线6。

2．根据图像判断物体的运动性质

(1)若图线平行于t轴，则表示物体做匀速直线运动，如上图中的图线1、2；

(2)若图线不平行于t轴，则表示物体做变速运动，如上图中的图线3、4、5、6。

3．截距的意义

(1)纵轴上的截距：表示初始时刻物体的瞬时速度；

(2)横轴上的截距：表示该时刻物体的速度为零，该时刻前后物体的速度方向相反。

4．图线交点的意义：两条图线相交，表示该时刻两物体的瞬时速度相同。

[例题4]　物体做直线运动的v­t图像如图所示。由图像可知，该物体(　　)

A．第1 s内和第3 s内的运动方向相反

B．第2 s内静止不动

C．第3 s内和第4 s内的运动方向相反

D．第2 s末和第4 s末的速度相同

[解析]　物体在第1 s内和第3 s内的速度都为正值，因此这两秒内物体的运动方向相同，A项错误； 第2 s内物体的速度保持不变，物体做匀速直线运动，B项错误；物体在第3 s内的速度为正值，在第4 s内的速度为负值，因此这两秒内物体的运动方向相反，C项正确；第2 s末的速度和第4 s末的速度大小相同，但方向相反，D项错误。

[答案]　C

[针对训练]

1．某物体运动的v­t图像如图所示，由图像可知物体的运动情况是(　　)

A．往复运动

B．折线运动

C．方向不变的直线运动

D．不能确定

解析：选C　由于题图的纵坐标代表速度，速度均为正值，说明速度方向不变，物体做方向不变的直线运动，故选项C正确，A、B、D错误。

2．[多选]某矿井中的升降机由井底上升到井口过程中的v­t图像如图所示，根据图像下列判断正确的是(　　)

A．2 s末升降机的速度达到最大

B．2～4 s升降机静止

C．1～2 s升降机的速度变化比4～5 s的速度变化大

D．3 s末升降机的速度大小为12 m/s

解析：选AD　由v­t图像可知，2 s末升降机的速度达到最大，A正确；2～4 s升降机做匀速运动，B错误；1～2 s升降机的速度变化没有4～5 s的速度变化大，C错误；3 s末升降机的速度大小为12 m/s，D正确。

平均速度公式在“交通测速”中的应用

1．固定测速

固定测速是日常驾驶中经常遇到的测速抓拍系统，具体方法是，通过多路采集卡将测速及车牌摄像机的图像信号实时传送到计算机中，由计算机分析得出汽车经过两个精确位置间的位移差Δx和时间差Δt，由v＝得出汽车经过该位置的速度，以此判断汽车是否超速。

2．区间测速

区间测速是指在同一路段设置两个监控点，从汽车经过区间测速起点开始计时，到经过区间测速终点计时结束，由此得到汽车经过两个监控点所用的时间t，两监控点间的路径长度s是固定的，故可由v＝得出汽车经过这一路段的平均速率，再判断汽车是否超速。

3．移动测速

移动测速是执法交警在超速易发路段利用雷达测速方式“蹲点”执法。

具体方法是：发射一束激光脉冲信号，测出从发射到折返的时间Δt1，则发射点到目标的距离x1＝c·Δt1，经过Δt时间再发射一束激光脉冲信号，测出从发射到折返的时间Δt2，则发射点到目标的距离x2＝c·Δt2，则汽车的速度v＝＝，以此判断汽车是否超速。

[拓展训练]

1．雷达是一种利用电磁波来测定物体位置和速度的设备，某防空雷达发现一架飞机正在以水平速度朝雷达正上方匀速飞来。某时刻在雷达监视屏上显示的波形如图甲所示，经过t＝173 s后雷达向正上方发射和接收到的波形如图乙所示，已知雷达监视屏上相邻刻度线间表示的时间间隔为1×10－4 s，电磁波的速度为3×108 m/s，则该飞机的飞行速度大小约为(　　)

A．1 200 m/s　　　　　 B．900 m/s

C．500 m/s  D．300 m/s

解析：选D　由题图甲得雷达第一次发射电磁波时，飞机距离雷达的距离为x1＝ct1＝×3×108×4×10－4 m＝6×104 m，由题图乙得雷达第二次发射电磁波时，飞机和雷达的竖直距离为h＝ct2＝×3×108×2×10－4 m＝3×104 m。设该段时间内飞机水平飞行的距离为x2，则x1、x2、h在空间构成一个直角三角形，利用数学关系得x2＝＝3×104 m，飞机的飞行速度v＝≈300 m/s。

2．在高速公路上用超声波测速仪测量车速的示意图如图所示，测速仪B发出并接收超声波脉冲信号，根据发出和接收到的信号的时间差，测出被测物体的速度。设小车向右运动先后经过P、Q两点，小车经P点时，B发出的第一个超声波脉冲被小车反射，其后被B接收，B从发射到接收历时t1＝0．30 s，小车经Q点时，B发出的第二个超声波脉冲被小车反射，B发射并接收第二个超声波脉冲历时t2＝0．40 s，相邻两次发射超声波脉冲的时间间隔Δt＝1．0 s。超声波在空气中传播的速度v＝340 m/s，若汽车是匀速行驶的，求小车先后两次反射超声波脉冲时间内前进的距离和小车的速度。

解析：根据题意可知，零时刻发出第一次超声波信号，经过0．30 s接收到反射信号，则小车距离超声波测速仪的距离为x1＝v＝340× m＝51 m

t＝1．0 s时刻发出第二次超声波信号，经过0．40 s接收到反射信号，则小车距离超声波测速仪的距离为x2＝v＝340× m＝68 m

因此小车在先后两次反射超声波脉冲信号之间的时间内前进的距离为d＝x2－x1＝68 m－51 m＝17 m

小车从第一次接收到信号到第二次接收到信号的时间间隔为Δt1＝Δt＋－＝1．05 s

则小车的速度v＝＝ m/s≈16．2 m/s

答案：17 m　16．2 m/s