人教版 (2019)必修 第一册第二章 匀变速直线运动的研究综合与测试学案设计

  习题课二匀变速直线运动的三类问题

[要点归纳]

1．x­t图像与v­t图像的比较

　　2．x­t图像与v­t图像的实例对比

[例题1]　[多选]甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动。甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示。下列说法正确的是(　　)

A．在t1时刻两车速度相等

B．从0到t1时间内，两车走过的路程相等

C．从t1到t2时间内，两车走过的路程相等

D．在t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等

[解析]　x­t图像斜率表示两车速度，则可知t1时刻乙车速度大于甲车速度，故A错误。由两图线的纵截距知，出发时甲车在乙车前面，t1时刻图线相交表示两车相遇，可得0到t1时间内乙车比甲车多走了一段距离，故B错误。t1和t2时刻两图线相交，表明两车均在同一位置，从t1到t2时间内，两车走过的路程相等；在t1到t2时间内，两图线有斜率相等的一个时刻，即该时刻两车速度相等，故C、D正确。

[答案]　CD

[例题2]　[多选]甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图像分别如图中甲、乙两条曲线所示。已知两车在t2时刻并排行驶。下列说法正确的是(　　)

A．两车在t1时刻也并排行驶

B．在t1时刻甲车在后，乙车在前

C．甲车的加速度大小先增大后减小

D．乙车的加速度大小先减小后增大

[解析]　t1～t2时间内，v甲＞v乙，t2时刻相遇，则t1时刻甲车在乙车的后面，故A错误，B正确。由图像的斜率知，甲、乙两车的加速度大小均先减小后增大，故C错误，D正确。

[答案]　BD

[针对训练]

1．一质点的位置x随时间t的变化如图所示，能正确表示该质点的速度v与时间t的关系图像是选项图中的(　　)

解析：选A　位置—时间图像的斜率表示速度，可得四个阶段的速度分别是：负值，0，正值，0，对比选项图可知A正确。

2．[多选]小球从空中自由下落，与水平地面相碰后弹到空中某一高度，其速度随时间变化的关系如图所示，取g＝10 m/s2，则下列判断正确的是(　　)

A．小球下落的最大速度为5 m/s      B．小球第一次反弹初速度的大小为3 m/s

C．小球能弹起的最大高度为0．45 m    D．小球能弹起的最大高度为1．25 m

解析：选ABC　由题图可知，小球在下落0．5 s时速度最大为5 m/s，小球的反弹初速度为3 m/s，故A、B正确；小球弹起后的负向位移为h＝＝0．45 m，故C正确，D错误。

[要点归纳]

1．应用纸带判断物体的运动性质：在纸带上测出各个连续相等的时间T内的位移分别是x1，x2，…，xn。

(1)如果x1＝x2＝…＝xn，则物体做匀速直线运动。

(2)如果x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1≠0，即在连续相等时间内的位移差相等，则物体做匀变速直线运动；如果不相等，则物体做变加速直线运动。

2．应用纸带求解物体的速度：如果物体做匀变速直线运动，x1，x2，…，xn为其在连续相等时间内的位移，T为相等时间间隔值，则纸带上某点对应的瞬时速度等于以这个点为中间时刻的位移内的平均速度，即vn＝。

3．应用纸带求解物体的加速度

(1) v­t图像法：利用求得的多个速度值及对应时刻描绘出v­t图像，则v­t图像的斜率即为物体的加速度。

(2)逐差法：如图所示的纸带，按时间顺序取0,1,2,3,4,5,6七个计数点，测量相邻两点之间的距离分别是x1，x2，x3，x4，x5，x6，T为计数点间的时间间隔，

由Δx＝aT2，可得x4－x1＝3a1T2，x5－x2＝3a2T2，x6－x3＝3a3T2，

则为了减小实验误差，以三个加速度a1、a2、a3的平均值作为物体的加速度，即

a＝(a1＋a2＋a3)＝　 (注意表达式的特点)

同理可得：①若有4段位移，则

a＝；

②若有5段位移，舍弃中间的一段x3，则

a＝。

[例题3]　在某次实验中，一次记录小车运动情况的纸带如图甲所示，其中A、B、C、D、E为相邻的计数点，相邻计数点间的时间间隔T＝0．1 s。

(1)根据纸带信息可判定小车做________运动。

(2)计算各点瞬时速度：vB＝________ m/s，vC＝____ m/s，vD＝________ m/s。

(3)以打A点为计时起点，在如图乙所示的坐标中作出小车的v­t图像，并根据图像求出a＝________。

(4)图像与纵轴交点的物理意义是_____________________________________________。

[解析]　(1)由题图甲纸带可知，xBC－xAB＝xCD－xBC＝xDE－xCD＝12．6 mm，由此可知，小车在相等时间间隔内的位移之差是一个定值，且小车在运动过程中，在相等时间内的位移变大，故小车做匀加速直线运动。

(2)计数点间的时间间隔T＝0．1 s，小车的瞬时速度

vB＝＝ m/s＝0．138 m/s，

vC＝＝ m/s

＝0．264 m/s，

vD＝＝ m/s

＝0．390 m/s。

(3)应用描点法作图，如图所示，a＝＝1．26 m/s2。

(4)v­t图像的延长线与纵轴相交，交点表示计数点A对应的速度大小。

[答案]　(1)匀加速直线  (2)0．138　0．264　0．390  (3)见解析图　1．26 m/s2

(4)计数点A对应的速度

[例题4]　某同学测量匀变速直线运动的加速度时，从若干纸带中选中的一条纸带的一部分如图所示，他每隔4个点取一个计数点，图上注明了他对各个计数点间距离的测量结果。(单位：cm)

(1)为了证明小车的运动是匀变速直线运动，请进行下列计算，填入表内(单位：cm)。

各位移差与平均值最多相差________cm，由此可得出结论：在________范围内，小车在________的位移之差相等，所以小车的运动是________________________。

(2)小车的加速度为________m/s2。

[解析]　(1)由题中数据可求各位移差依次为1．60 cm、1．55 cm、1．62 cm、1．53 cm、1．61 cm，其平均值Δx≈1．58 cm，各位移差与平均值最多相差0．05 cm，所以在误差允许范围内，小车在相邻相等时间内位移之差相等，因此小车做匀加速直线运动。

(2)由“逐差法”求加速度，

a＝

＝×10－2 m/s2

≈1．58 m/s2。

[答案]　(1)1．60　1．55　1．62　1．53　1．61　1．58　0．05　误差允许　相邻相等的时间内　匀加速直线运动                            (2)1．58

[针对训练]

　某小组利用打点计时器对物块沿倾斜的长木板加速下滑时的运动进行探究。物块拖动纸带下滑，打出的纸带一部分如图所示。已知打点计时器所用交流电的频率为50 Hz，纸带上标出的每两个相邻点之间还有4个打出的点未画出。在A、B、C、D、E五个点中，打点计时器最先打出的是________点。在打出C点时物块的速度大小为________m/s(保留3位有效数字)；物块下滑的加速度大小为________m/s2(保留2位有效数字)。

解析：物块加速下滑，因此打点间距逐渐增大，故先打A点。C点的速度vC＝＝ m/s≈0．233 m/s。由题图知xAB＝1．20 cm，xBC＝xAC－xAB＝1．95 cm，xCD＝xAD－xAC＝2．70 cm，xDE＝xAE－xAD＝3．45 cm得Δx＝xBC－xAB＝xCD－xBC＝xDE－xCD＝aT2，解得物块下滑的加速度a＝0．75 m/s2。

答案：A　0．233　0．75

[要点归纳]

1．追及、相遇问题的界定

2．追及相遇问题中的“一个临界条件”和“两个关系”

[例题5]　一辆汽车以3 m/s2的加速度开始启动的瞬间，一辆以6 m/s的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车的旁边通过。

(1)汽车在追上自行车前运动多长时间与自行车相距最远？此时的距离是多少？

(2)汽车经多长时间追上自行车？追上自行车时汽车的瞬时速度是多大？

[解析]　(1)方法一：物理分析法

汽车与自行车的速度相等时两车相距最远，设此时经过的时间为t1，汽车的速度为v1，两车间的距离为Δx，则有

v1＝at1＝v自

所以t1＝＝2 s

Δx＝v自t1－at12＝6 m。

方法二：图像法

自行车和汽车运动的v­t图像如图所示，由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，

t1＝＝ s＝2 s

Δx＝＝ m＝6 m。

方法三：数学分析法

设汽车在追上自行车之前经过时间t1两车相距最远，则Δx＝x1－x2＝v自t1－at12

代入已知数据得Δx＝6t1－t12

由二次函数求极值的条件知t1＝2 s时，Δx最大

所以Δx＝6 m。

(2)方法一：当两车位移相等时，汽车追上自行车，设此时经过的时间为t2，汽车的瞬时速度为v2，则有

v自t2＝at22

解得t2＝＝ s＝4 s

v2＝at2＝3×4 m/s＝12 m/s。

方法二：由图可以看出，在t1时刻之后，由图线v自、v汽和t＝t2构成的三角形的面积与标有阴影的三角形面积相等，此时汽车与自行车的位移相等，即汽车与自行车相遇。由几何关系知t2＝2t1＝4 s，v2＝at2＝3×4 m/s＝12 m/s。

[答案]　(1)2 s　6 m　(2)4 s　12 m/s

解答追及相遇问题的常用方法

[例题6]　汽车正以14 m/s的速度在平直的公路上前进，突然发现正前方有一辆自行车以4 m/s的速度做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭发动机做加速度大小为5 m/s2的匀减速直线运动，且汽车恰好没碰上自行车，求关闭发动机时汽车离自行车多远。

[解析]　汽车在关闭发动机减速后的一段时间内，其速度大于自行车的速度，因此汽车和自行车之间的距离在不断减小，当这个距离减小到零时，若汽车的速度减至与自行车的速度相同，则能满足题设的汽车恰好没碰上自行车的条件。

运动情境图如图所示。

方法一　用基本公式法求解

汽车减速到4 m/s时发生的位移和运动的时间分别为

x汽＝＝ m＝18 m

t＝＝ s＝2 s

这段时间内自行车发生的位移

x自＝v自t＝4×2 m＝8 m

汽车关闭发动机时离自行车的距离

x＝x汽－x自＝18 m－8 m＝10 m。

方法二　利用v­t图像进行求解

如图所示，图线Ⅰ、Ⅱ分别是汽车与自行车的v­t图像，其中阴影部分的面积表示当两车车速相等时汽车比自行车多运动的位移，即汽车关闭发动机时离自行车的距离x。

图线Ⅰ的斜率的绝对值表示汽车减速运动的加速度大小，所以应有

x＝＝×＝ m＝10 m。

[答案]　10 m

解答“匀减速直线运动”追及“匀速运动”问题的判断技巧

(1)当v追＝v被追时，x追－x被追－x0＜0，则一定追不上；

(2)当v追＝v被追时，x追－x被追－x0＝0，则恰好追上或追不上；

(3)当v追＝v被追时，x追－x被追－x0＞0，则一定追上，且在二者速度相等之前某个时刻就追上了。

注意：其中x0是二者的初始距离。

[针对训练]

1．甲、乙两辆汽车沿同一平直路面行驶，其v­t图像如图所示，下列对汽车运动状况的描述正确的是(　　)

A．在第10 s末，乙车改变运动方向

B．在第10 s末，甲、乙两车相距150 m

C．若开始时乙车在前，则两车可能相遇两次

D．在第20 s末，甲、乙两车相遇

解析：选C　由题图知，乙车的速度一直为正，说明乙一直沿正方向运动，运动方向没有改变，故选项A错误；第10 s末，甲、乙两车的位移之差为Δx＝150 m，由于出发点的位置关系未知，所以不能确定它们的距离，故选项B错误；若t＝0时刻乙车在前，则两车在第20 s末前，可能相遇一次，第20 s末后，由于乙做匀加速运动，甲做匀速运动，乙可能追上甲，再相遇一次，故选项C正确；在第20 s末，甲通过的位移比乙的位移大，由于它们初始位置关系未知，所以不能判断是否相遇，故选项D错误。

2．高速公路上，一辆大货车以20 m/s的速度违规行驶在快速道上，另有一辆SUV小客车以32 m/s的速度随其后并逐渐接近。大货车的制动性能较差，刹车时的加速度保持在4 m/s2，而SUV小客车配备有ABS防抱死刹车系统，刹车时能使汽车的加速度保持在8 m/s2。若前方大货车突然紧急刹车，SUV小客车司机的反应时间是0．50 s，为了避免发生追尾事故，轿车和卡车之间至少应保留多大的距离？

解析：反应时间里SUV的行驶距离x0＝v1t0。若恰好发生追尾，则两车速度相等，有(设大货车刹车后t s两车相遇)

v＝v1＋a1(t－0．5 s)，v＝v2＋a2t

代入数据，得两车发生追尾所用时间t＝4 s

此段时间内，两车行驶距离

x1＝x0＋v1(t－0．5)＋a1(t－0．5)2，

x2＝v2t＋a2t2

则有两车之间不发生追尾的最小距离Δx＝x1－x2。两车刹车时的加速度分别是a1＝－8 m/s2，a2＝－4 m/s2，代入数据得Δx＝31 m。

答案：31 m

1．[多选]有四个运动的物体A、B、C、D，物体A、B运动的x­t图像如图甲所示；物体C、D从同一地点沿同一方向运动的v­t图像如图乙所示。根据图像做出的以下判断，其中正确的是(　　)

A．物体A和B均做匀速直线运动且A的速度比B的大

B．在0～3 s的时间内，物体B运动的位移为15 m

C．t＝3 s时，物体C追上物体D

D．t＝3 s时，物体C与物体D之间有最大间距

解析：选AD　由题图甲看出，物体A和B的位移—时间图像都是倾斜的直线，斜率都不变，速度都不变，说明两物体都做匀速直线运动，A图线的斜率大于B图线的斜率，A的速度比B更大，故A正确；由题图甲看出，在0～3 s的时间内，物体B运动的位移为Δx＝10 m，故B错误；由题图乙看出，t＝3 s时，D图线所围“面积”大于C图线所围“面积”，说明D的位移大于C的位移，而两物体从同一地点开始运动的，所以物体C还没有追上物体D，故C错误；由题图乙看出，前3 s内，D的速度较大，D、C间距离增大，3 s后C的速度较大，两者距离减小，t＝3 s时，物体C与物体D之间有最大间距，故D正确。

2．[多选]质点做直线运动的位移x和时间平方t2的关系图像如图所示，则该质点(　　)

A．加速度大小为1 m/s2

B．任意相邻1 s内的位移差都为2 m

C．2 s末的速度是4 m/s

D．物体第3 s内的平均速度大小为3 m/s

解析：选BC　根据x和时间平方t2的关系图像得出关系式为x＝t2，对照匀变速直线运动的位移与时间公式x＝v0t＋at2，知物体的初速度为0，加速度为 a＝2 m/s2，且加速度恒定不变，故A错误；根据Δx＝aT2＝2×1 m＝2 m可知，任意相邻1 s内的位移差都为2 m，故B正确；2 s末的速度是v2＝at2＝4 m/s，故C正确；物体第3 s内的位移为x3＝32 m－22 m＝5 m，平均速度为＝＝ m/s＝5 m/s，故D错误。

3．(1)在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，下列说法正确的是(　　)

A．电磁打点计时器使用的可以是直流电源，也可以是交流电源

B．实验时应使纸带从复写纸的上方穿过

C．实验时要先接通电源后放开小车

D．开始打点前，小车应离打点计时器远一些

(2)在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，某次实验得到的打点纸带如图所示，纸带上O、A、B、C、D、E、F、G为计数点，每相邻两个计数点间还有4个点没有画出，O到各点距离由图可知。则纸带的加速度等于________m/s2，在打D点时纸带的速度为________m/s(保留两位有效数字)。

解析：(1)根据电磁打点计时器的原理可知，它所使用的电源是交流电源，故A错误；纸带穿过限位孔后应置于复写纸下面，故B错误；实验中为了在纸带上打出更多的点且打点稳定，具体操作中要求先启动打点计时器再释放小车，故C正确；在释放小车前，小车应靠近打点计时器，故D错误。

(2)由于每相邻两个计数点间还有4个点没有画出，所以相邻的计数点间的时间间隔T＝0．1 s，由公式Δx＝aT2得a＝＝0．75 m/s2，在打D点时纸带的速度vD＝＝ m/s＝0．40 m/s。

答案：(1)C　(2)0．75　0．40

4．A、B两列火车，在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度vA＝10 m/s，B车在后，其速度vB＝30 m/s，因大雾能见度低，B车在距A车x0＝85 m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但B车要经过180 m才能停止，问：B车刹车时A车仍按原速率行驶，两车是否会相撞？若会相撞，将在B车刹车后何时相撞？若不会相撞，则两车最近距离是多少？

解析：设B车刹车过程的加速度大小为aB，

由v2－v02＝2ax

可得aB＝2．5 m/s2

设经过时间t两车相撞，则有vBt－aBt2＝x0＋vAt，

整理得t2－16t＋68＝0

由Δ＝162－4×68＜0可知t无实数解，即两车不会相撞，速度相等时两车相距最近，此时

vA＝vB－aBt1，代入数据得t1＝8 s

此过程中xB＝vBt1－aBt12＝160 m

xA＝vAt1＝80 m，

两车的最近距离Δx＝x0＋xA－xB＝5 m。

答案：不会相撞　5 m