人教B版 (2019)必修 第三册7.2.3 同角三角函数的基本关系式学案

同角三角函数的基本关系

【学习目标】

1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.

2．会利用这两个公式求三角函数式的值，化简三角函数式或证明三角恒等式．

【学习重难点】

同角三角函数的基本关系式及其应用.

【学习过程】

一、初试身手

1．已知sin α＝－，α是第三象限角，则tan α等于(    )

A．        B．－        C．        D．－

2．已知3sin α＋cos α＝0，则tan α＝________.

3．已知sin θ＝，cos θ＝，则m＝________.

4．cos2x＝(    )

A．tan x   B．sin x

C．cos x D．

二、合作探究

1．利用同角基本关系式求值

【例1】  已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．

2．利用sin α±cos α，sin  α，cos α之间的关系求值

【例2】  已知0<α<π，sin α＋cos α＝，求tan α的值．

3．综合应用

[探究问题]

（1）平方关系对任意α∈R均成立，对吗？商数关系呢？

（2）证明三角恒等式常用哪些技巧？

（3）证明三角恒等式应遵循什么样的原则？

【例3】  （1）化简tan α·，其中α是第二象限角；

（2）求证：＝.

【学习小结】

同角三角函数基本关系式

（1）关系式

①平方关系：sin2α＋cos2α＝__1__；

②商数关系：＝tan__α.

（2）文字叙述

同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．

（3）变形形式

①1＝sin2α＋cos2α；

②sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；

③sin α＝± ；cos α＝± ；

④sin α＝cos αtan α；

⑤(sin α±cos α)2＝1±2sinα·cosα.

【精炼反馈】

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

（1）sin2α＋cos2β＝1．(    )

（2）对任意角α，＝tan .(    )

（3）利用平方关系求sin α或cos α时，会得到正负两个值．(    )

（4）若sin α＝，则cos α＝.(    )

2．若sin α＝，且α是第二象限角，则tan α的值等于(    )

A．－ B．

C．± D．±

3．已知角A是三角形的一个内角，sin A＋cos A＝，则这个三角形是(    )

A．锐角三角形   B．钝角三角形

C．直角三角形 D．等腰直角三角形

4．已知＝，求下列各式的值．

（1）；

（2）1－4sin θcos θ＋2cos2θ.