高中数学人教B版 (2019)必修 第三册第七章 三角函数7.2 任意角的三角函数7.2.3 同角三角函数的基本关系式学案

同角三角函数的基本关系

【学习目标】

1．会运用同角三角函数的基本关系求一些三角函数（式）的值；

2．并从中了解一些三角运算的基本技巧。

【学习重难点】

重点：同角三角函数的基本关系的应用；

难点：三角函数运算技巧。

【学习过程】

一、问题导学

(一)    求值问题

1．求同一个角的三角函数值

活动与探究1

（1）已知sin α＝，且α是第二象限的角，求cosα，tanα。

（2）在△ABC中，tan A＝，求sin A和cos A的值。

迁移与应用

已知tan α＝－，且α是第二象限角，求sin α，cos α。

利用同角三角函数关系求值的步骤、方法：

（1）一看：由题设的条件能否确定角的范围，角的范围直接决定三角函数值解的个数。

（2）二变：在求值时，往往要在原有关系的基础上先变形，再列方程(组)，具体如下：

①若已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下变形：

②若已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下变形：

（3）三算：利用步骤（2）建立方程(组)，并结合步骤（1）确定角的范围，写出该角的三角函数值。

2．关于sin α，cos α齐次式的求值

活动与探究2

（1）若tan α＝2，则的值为(　　)。

A．0      B．      C．1      D．

（2）已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ等于(　　)。

A．－      B．      C．－      D．

（3）已知＝2，求sin θcos θ的值。

迁移与应用

已知＝5，则sin2α－sin α·cos α的值是(　　)。

A．      B．－      C．－2      D．2

关于sin α，cos α的齐次式的求值问题

关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子，且它们的次数之和相同，其求解策略为：可用cosnα(n∈N＋)去除原式分子、分母的各项，这样可以将原式化为关于tan α的表达式，再整体代入tan α＝m的值，从而完成求值任务。具体如下：

（1）形如，的分式，分子、分母分别同时除以cos α，cos2α，将正、余弦转化为正切或常数，从而求值。

（2）形如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin2α＋cos2α，转化为形如的式子。

3．含sin α±cos α，sin αcos α的式子的求值

活动与探究3

已知0＜α＜π，sin α＋cos α＝，求sin α－cos α的值。

迁移与应用

已知0＜α＜π，sin αcos α＝－，求sin α－cos α的值。

1．sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α 三个式子中，已知其中一个，可以求出其他两个，即“知一求二”。它们的关系是：(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，(sin α－cos α)2＝1－2sin αcosα。

2．求sin α＋cos α或sin α－cos α的值时，要注意判断它们的符号。

(二)    化简三角函数式

活动与探究4

化简·。

迁移与应用

化简：－。

利用同角三角函数基本关系式化简的常用的方法有：

（1）化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的。

（2）对于含有根号的，常把根号下的式子化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的。

（3）对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的。

(三)    证明三角恒等式

活动与探究5

求证：(sin α＋cos α)2＝1＋。

迁移与应用

求证：（1）sin4α－cos4α＝2sin2α－1；

（2）tan2α－sin2α＝tan2αsin2α。

证明三角恒等式的策略

证明三角恒等式，实际上就是将等式左右两端表面看似存在较大差异的式子，通过巧妙变形后消除差异，使其左右两端相等。为了达到这个目的，我们经常采用以下的策略和方法：

（1）从一边开始，证明它等于另一边。

（2）证明左右两边都等于同一个式子。

（3）变更论证，采用左右相减、化除为乘等方法，转化成与原结论等价的命题形式。

【达标检测】

1．化简的结果是(　　)。

A．cos      B．－cos      C．sin      D．－sin

2．已知cos θ＝，且＜θ＜2π，那么tan θ的值为(　　)。

A．      B．－      C．      D．－

3．已知α是第四象限的角，tan α＝－，则sin α等于(　　)。

A．      B．－      C．      D．－

4．化简＝______。

5．已知tan α＝3，求下列各式的值：

（1）；（2）2sin2α－3sin α·cos α。

【学习小结】

【参考答案】

课前预习导学

预习导引

（1）sin2α＋cos2α＝1　（2）

预习交流1　提示：平方关系对任意角都成立；商数关系只有当α≠kπ＋(k∈Z)时才成立。

预习交流2　提示：应用同角三角函数基本关系式，根据问题的需要，应注意它们的如下变形形式：

如sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α；sin α＝tan α·cos α，cos α＝。

预习交流3　（1）B　（2）－　－　（3）sin θ　cos2θ

课堂合作探究

一、问题导学

活动与探究1　

解：（1）由sin2α＋cos2α＝1，得cos α＝±，

因为α是第二象限角，cos α＜0，

所以cos α＝－＝－，tan α＝＝－。

（2）由题意知A∈(0，π)且tan A＝，

∴A∈，从而sin A＞0，cos A＞0.

由

解得sin A＝，cos A＝。

迁移与应用　

解：由题意得

由②得sin α＝－cos α，代入①得cos2α＝。

∵α是第二象限的角，

∴cos α＝－，sin α＝－cos α＝－·＝。

活动与探究2　

（1）    B　（2）D　

解析：（1）分子、分母同时除以cos α(cos α≠0)得，

＝

＝＝。

（2）将分母看作1＝sin2θ＋cos2θ，

原式＝

＝＝

＝。

（3）解：∵

＝＝2，

∴tan θ＝3．

∴sin θcos θ＝＝＝。

迁移与应用　A　

解析：原式化为＝5，解得tan α＝2．

∴sin2α－sin αcos α

＝

＝＝。

活动与探究3　解：将已知等式两边平方，得1＋2sin αcos α＝，∴2sin αcos α＝－。

又∵0＜α＜π，

∴sin α＞0，cos α＜0，

∴sin α－cos α＞0，

∴sin α－cos α＝＝＝。

迁移与应用　

解：∵0＜α＜π，sin αcos α＝－＜0，

∴sin α＞0，cos α＜0，

∴sin α－cos α＞0.

由(sinα－cos α)2

＝1－2sin αcos α

＝1－2×＝，

∴sin α－cos α＝。

活动与探究4　解：原式＝·

＝·

＝·

＝·

＝·＝±1．

迁移与应用　解：原式

＝－

＝－

＝－＋＝＝－2tan α。

活动与探究5　证明：左边＝1＋2sin α·cos α，

右边＝1＋＝1＋2sin α·cos α＝左边。

∴等式成立。

迁移与应用　证明：（1）左边＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)

＝sin2α－cos2α＝sin2α－(1－sin2α)

＝2sin2α－1＝右边。

∴等式成立。

（2）右边＝tan2α(1－cos2α)

＝tan2α－tan2αcos2α

＝tan2α－cos2α

＝tan2α－sin2α＝左边。

∴等式成立。

【达标检测】

1．A　2．B　3．D

4．－(sin 4＋cos 4)

5．解：（1）原式＝＝＝。

（2）原式

＝

＝

＝＝。