浙教版数学九上复习阶梯训练：二次函数含解析（优生集训）3

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 二次函数 （优生集训）3
一、综合题
1．已知：如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”.

（1）①如图2，求出抛物线y＝x2的“完美三角形”斜边AB的长；
②抛物线y＝x2+1与y＝x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是 ▲ ；
（2）若抛物线y＝ax2+4的“完美三角形”的斜边长为4，求a的值；
（3）若抛物线y＝mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜边长为n，且y＝mx2+2x+n﹣5的最大值为﹣1，求m，n的值.
2．已知抛物线y＝mx2+（2﹣2m）x+m﹣2（m是常数）.
（1）求证：无论m取何值，该抛物线都与x轴有两个不同的交点.
（2）当m取不同的值时，该抛物线的顶点均在某个函数的图象上，求出这个函数的表达式.
（3）若抛物线顶点在第四象限，当x⩽0时，至少存在一个x的值，使y＜0，求m的取值范围.
3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（6，8），O为坐标原点，连结OA，二次函数y＝x2图象从点O沿OA方向平移，顶点始终在线段OA上（包括端点O和A），平移后的抛物线y＝ax2+bx+c与直线x＝6交于点P，顶点为M.

（1）若OM＝5，求此时二次函数的解析式，并求不等式ax2+bx+c≥ x的解集.
（2）二次函数图象平移过程中，设点M的横坐标为m，直线AP交x轴于点B，线段PB是否存在最小值？若存在，求出此时m的值；若不存在，说明理由.
4．若y是x的函数，h为常数（ ），若对于该函数图象上的任意两点（ ， ）、（ ， ），当 ， （其中a、b为常数， ）时，总有 ，就称此函数在 时为有界函数，其中满足条件的所有常数h的最小值，称为该函数在 时的界高．
（1）函数：① ，② ，③ 在 时为有界函数的是：　 　（填序号）；
（2）若一次函数 （ ），当 时为有界函数，且在此范围内的界高为 ，请求出此一次函数解析式；
（3）已知函数 （ ），当 时为有界函数，且此范围内的界高不大于4，求实数a的取值范围．
5．合肥市某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价 （元/千克）与时间第 （天）之间的函数关系为：
，日销售量 （千克）与时间第 （天）之间的函数关系如图所示：

（1）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？
（2）该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？
（3）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠 元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 的增大而增大，求 的取值范围．
6．如图，对称轴x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），

（1）求抛物线和直线BC的函数表达式；
（2）若点Q是直线BC上方的抛物线上的动点，求△BQC的面积的最大值；
（3）点P为抛物线上的一个动点，过点P作过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．若点P在第四象限内，当OD＝4PE时，△PBE的面积；
（4）在（3）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 ，与 轴交于点 与 轴交于点 、 ．且点 ， ，点 为抛物线上的一动点．

（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，过点 作 平行于 轴，交抛物线于点 ，若点 在 的上方，作 平行于 轴交 于点 ，连接 ， ，当 时，求点 坐标；
（3）设抛物线的对称轴与 交于点 ，点 在直线 上，当以点 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点 的坐标．
8．二次函数y＝a(x－p)(x－q)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A(1，0)， C(0，m)(m≥0)．
（1）用只含a，m的代数式表示点B的坐标．
（2）当AB＝ 时，写出二次函数的对称轴．
（3）若点P(n，y1)，Q(4，y2)均在二次函数y＝a(x－p)(x－q)图象上，且当－2＜n＜4时，有y1＜y2，求实数 的取值范围．
9．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，连接PB，PC．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．若PE＝2ED，求△PBC的面积；
（3）抛物线上存在一点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．
10．如图，直线 与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B、C和点A（-1，0）．

（1）求B、C两点坐标；
（2）求该二次函数的关系式；
（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为D，点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
（4）若抛物线的对称轴与x轴的交点为D，则在抛物线在对称轴上是否存在在P，使三角形PCD是以CD为腰在等腰三角形？如果存在，直接写出点P在坐标；如果不存在，请说明理由．
11．若抛物线 与直线 交 轴于同一点，且抛物线的顶点在直线 上，称该抛物线与直线互为“伙伴函数”，直线的伙伴函数表达式不唯一.
（1）求抛物线 的“伙伴函数”表达式；
（2）若直线 与抛物线 互为“伙伴函数”，求m与c的值；
（3）设互为“伙伴函数”的抛物线顶点坐标为 且 ，它的一个“伙伴函数”表达式为 ，求该抛物线表达式，并确定在 范围内该函数的最大值.
12．定义；若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若函数G1的图象与函数G2的图象相交于A、B两点，其中一个点的横坐标等于另一点的横坐标的2倍，则称函数G1与函数G2互为“倍根函数”，A、B两点间的水平距离为“倍宽”.
（1）若 是“倍根方程”，求k的值；
（2）函数 与 互为“倍根函数”且“倍宽”为2，求 的值；
（3）直线l：y＝tx+d与抛物线L：y＝2x2+px+q（q≠d）互为“倍根函数”，若直线l与抛物线L相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且2+2t2≤AB2≤3+3t2，令6x0＝|p﹣t|，若二次函数y0＝﹣（x0﹣m）2+m2+1有最大值4，求实数m的值.
13．如图，已知抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N.其顶点为D.

（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求 APC的面积的最大值.
（3）在抛物线对称轴上是否存在一点M，使以A，N，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标.若不存在，请说明理由.
14．如图1，已知抛物线y＝ax2经过点（﹣2，1）.

（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线y＝ x+2交抛物线于点C、D，点P是直线CD下方的抛物线上一动点，若S△PCD最大，求此时点P的坐标，并求出S△PCD的最大值；
（3）如图2，直线y＝kx+2与抛物线交于点E，F，点P是抛物线上的动点，延长PE，PF分别交直线y＝﹣2于M，N两点，MN交y轴于Q点，求QM•QN的值.
15．如图1，已知抛物线y＝ x2与直线y＝ x+1交于A、B两点（A在B的左侧）

（1）求A、B两点的坐标.
（2）在直线AB的上方的抛物线上有一点D， ，求点D的坐标.
（3）如图2，直线y＝kx+2与抛物线交于点E、F，点P是抛物线上的动点，延长PE、PF分别交直线y＝﹣2于M、N两点，MN交y轴于Q点，求QM•QN的值.
16．如图，点 在函数 的图像上．已知 的横坐标分别为－2、4，直线 与 轴交于点 ，连接 ．

（1）求直线 的函数表达式；
（2）求 的面积；
（3）若函数 的图像上存在点 ，使得 的面积等于 的面积的一半，则这样的点 共有　 　个．
17．如图，在平面角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于点A和点B，点A在点B的左侧，与y轴交于点C.

（1）求A点、C点的坐标；
（2）点P是第四象限内的抛物线上一点，连接 ， ， .若四边形 的面积为 ，请求出此时点P的坐标；
（3）将抛物线沿射线 方向平移 个单位长度得到新抛物线 ，新抛物线 与原抛物线对称轴交于点D.点E为新抛物线 上的一个动点，点 为直线 上一点，直接写出所有使得以点D，E，F，B为顶点构成的四边形是平行四边形的点E的横坐标，并把求其中一个点E的横坐标的过程写出来.
18．已知函数y＝﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数），其顶点为M.
（1）请判断该函数的图象与x轴公共点的个数，并说明理由；
（2）当﹣2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点M纵坐标的取值范围；
（3）在同一坐标系内两点A（﹣1，﹣1）、B（1，0），△ABM的面积为S，当m为何值时，S的面积最小？并求出这个最小值.
19．已知：二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．

（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值；
（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点E，使B、D、E、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的E点坐标；如果不存在，请说明理由．
20．在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．

（1）填空：BQ＝　 　，PB＝　 　（用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
（4）是否存在t的值，使△BPQ的面积最大，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由．
21．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于C点，且OC＝3OB，顶点为D点，连接OD.

（1）求抛物线解析式；
（2）P点为抛物线上AD部分上一动点，过P点作PF∥DE交AC于F点，求四边形DPAF面积的最大值及此时P点坐标.
22．已知二次函数y＝x2﹣2（m+1）x+3﹣m，其中m是常数.
（1）若函数的图象经过点（﹣1，8），求此函数的解析式.
（2）当x≤2时，y随x的增大而减小，求m的最小值.
（3）当﹣1≤x≤2时，若二次函数图象始终在直线y＝3的上方，请直接写出m的取值范围.
23．如图，已知抛物线 与x轴交于 、B两点，与y轴交于C点，其对称轴为直线 .

（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）把线段 沿x轴向右平移，设平移后A、C的对应点分别为 、 ，当 落在抛物线上时，求 、 的坐标；
（3）除（2）中的平行四边形 外，在x轴和抛物线上是否还分别存在点E、F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出E、F的坐标；若不存在，请说明理由.
24．若函数图象关于y轴对称，则我们称这样的函数为“YY函数”，例如： 是“YY函数”.
（1）在下面的函数中，是“YY函数”的是　 　.
① ； ② ； ③ .
（2）关于x的“YY函数”，当x>0的时，图象是经过A（1，2），B（3，5）的直线，当 x＜0 时，求“YY函数”的解析式.
（3）直线 与关于x的“YY函数” 的图象有3个交点，求a的值.
25．如图，抛物线y＝－x2＋（m－1）x＋m与y轴交于点（0，3）

（1）当x满足　 　时，y的值随x值的增大而减小；
（2）当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是　 　；
（3）点P为抛物线上一点，且S△APC＝ ，求点P的坐标.

答案解析部分
【解析】【解答】解：（1）②∵抛物线y＝x2+1与y＝x2的形状相同，
∴抛物线y＝x2+1与y＝x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是相等；
故答案为：相等；
【分析】（1）①过点B作BN⊥x轴，垂足为N，根据△AMB为等腰直角三角形和平行线的性质得∠BMN＝∠ABM＝45°，所以∠BMN＝∠MBN，得到MN＝BN，设B点坐标为（n，n），代入抛物线y＝x2，得n＝n2，解方程求得n的值，则可得B的坐标，用勾股定理求出BM的长度； 在Rt△AMB中，用勾股定理计算可求解；
②因为抛物线y＝x2＋1与y＝x2的形状相同，所以抛物线y＝x2＋1与y＝x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系也相等；
（2）根据抛物线y＝ax2与抛物线y＝ax2＋4的形状相同，所以抛物线y＝ax2与抛物线y＝ax2＋4的“完美三角形”全等，所以抛物线y＝ax2＋4的“完美三角形”斜边的长为4，所以抛物线y＝ax2的“完美三角形”斜边的长为4，故B点坐标为（2，2）或（2，−2），把点B的坐标代入y＝ax2中计算即可求解；
（3））根据y＝mx2＋2x＋n−5的最大值为−1可求得＝−1，化简得mn−4m−1＝0，根据抛物线y＝mx2＋2x＋n−5的“完美三角形”斜边长为n，所以抛物线y＝mx2的“完美三角形”斜边长为n，所以把B点坐标(n2，−n2)代入抛物线y＝mx2，得关于mn的方程，解之可求解．
【解析】【分析】（1）令y=0可得0＝mx2+(2-2m)x+m-2，判断出Δ的正负，据此证明；
（2）根据二次函数的解析式可得顶点坐标为（1-，-），令1- ＝x，-＝y，据此不难得到y与x的表达式；
（3）把x＝0代入y＝mx2+(2-2m)x+m-2得y＝m-2，当m＞0时，抛物线开口向上，m-2＜0时，抛物线与y轴交点在x轴下方，解得m＜2，由顶点在第四象限可得m的范围；当m＜0时，抛物线开口向下，若顶点在第四象限则抛物线与x轴无交点，不符合题意，据此解答.
【解析】【分析】（1）设直线OA解析式为y＝kx，将（6，8）代入求出k，据此可得直线OA的解析式，设M（m，m），由勾股定理表示出OM，结合OM=5可得m的值，进而得到点M的坐标，求出抛物线的解析式，联立直线OA的解析式求出x，据此可得x的范围；
（2）根据点M的坐标表示出二次函数的解析式，将x=6代入求出y，表示出PB，然后利用二次函数的性质可得PB的最小值.
【解析】【解答】解： (1)① 是正比例函数，
∴当 时，-2≤y≤2，为有界函数；
② 是反比例函数，∵x趋近于0时，y趋近于无穷大，为无界函数；
③ 是二次函数，最小值为0，当x=1或-1时，y最大=1，∴当 时，0≤y≤1，为有界函数.
故答案为：①③ .
【分析】(1)根据有界函数的定义，结合绝对值、一次函数、反比例函数、二次函数图象的性质分别分析，即可解答；
(2)分k > 0和k < 0两种情况，根据一次函数递增性， 通过列一元一次方程并求解，即可得到答案;
(3)结合有界函数的定义，结合二次函数图象的性质，分两种情况讨论，即(a+1)-a≥a-1, (a+1)-a< a- 1，分别求解再整合即可得出得出结果.
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出， 设日销售利润为 元， 分 和两种情况，根据总利润=每千克的利润×销售量列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可；
（2）求出当W=2400时x值，结合函数图形即可求解；
（3）设日销售利润为元，根据总利润=每千克的利润×销售量列出函数解析式，确定其对称轴，根据二次函数的性质解答即可.
【解析】【分析】 (1)首先根据二次函数的对称性求出B的坐标，然后利用待定系数法即可求出答案；
(2)过Q点作QH垂直x轴交BC于点H，交x轴于点M，连接CQ，BQ， 由二次函数表达式设出点 Q的坐标，表示出△BQC的面积，然后利用二次函数的性质可得出结论；
(3)设出点P,E，D的坐标，表示出OD，PE长度，根据OD＝4PE， 列方程求解，进而可求得PE,BD的长，然后根据三角形的面积公式即可求解；
(4) 分BD是菱形的边和对角线两种情况进行分析，设出点A,N的坐标根据菱形的性质列方程求解即可得出结论。
【解析】【分析】 (1) 利用待定系数法即可求解；
(2) 先求出直线AB的解析式，设出点P的坐标，建立函数关系式，然后利用
列出方程，即可求解。
(3) 首先根据二次函数解析式求出M点坐标，由点P在抛物线上，设出点P坐标，由点Q在直线AB上设出点Q坐标，然后分情况分析： ①当EM为平行四边形的对角线②当EP为对角线时③当EQ为对角线时， 利用平行四边形的对角线互相平分列方程即可求解。
【解析】【分析】(1)由函数解析式得到函数图象与x轴的交点为(p，0)，(1，0)， 用含p的代数式表示对称轴方程，然后设A（1，0），B（p，0），再把C点坐标代入函数式得到p=，即可解答；
(2)设对称轴与x轴的交点为M，根据对称性由AB的线段长度求出MA的长度，然后根据MA的长度列绝对值方程，即可解答；
(3)先求出对称轴，然后利用对称性求出点Q'的对称点坐标，然后分两种两种情况讨论，即当a > 0和a < 0，再利用已知条件和二次函数的增减性与对称性，分别求出a值即可.
【解析】【分析】（1）将点A，B的坐标代入二次函数解析式，建立关于b，c的方程组，解方程组求出b，c的值，可得到二次函数解析式.
（2）利用二次函数解析式，由x=0可求出y的值，由此可得到点C的坐标，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式；利用已知可得到PD=3DE，设P（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），可表示出PE和DE的长，建立关于m的方程，解方程求出m的值，可得到点P的坐标；然后利用三角形的面积公式，可求出△PBC的面积.
（3）利用已知条件：抛物线上存在一点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，分情况讨论：①点C为直角顶点； ②点B为直角顶点；过点C作直线P1C⊥BC，交抛物线于点P1，连接P1B，交x轴于点D； 过点B作直线BP2⊥BC，交抛物线于点P2，交y轴于点E，连接P2C，如图所示，利用点B，C的坐标可知∠BCO＝∠OBC＝45°，由此可求出∠DCO=∠CDO=45°，可证得OD=OC，即可得到点D的坐标；再利用待定系数法求出直线P1C的解析式 ，将两函数解析式建立方程组，求出方程组的解，可得到符合题意的点P的坐标；再求出直线BP2的解析式 ，将两函数解析式联立方程组，求出方程组的解，可得到符合题意的点P的坐标，综上所述可得到符合题意的点P的坐标.
【解析】【解答】解：（4）如图，

∵点C（0，2），点D（，0）
∴
当CD=DP1=2.5时，
∴点P1（1.5，2.5）；
当DC=CP2=2.5时
DP2=2+2=4
∴点P2（1.5，4）；
当CD=DP3=2.5时
点P3（1.5，-2.5）
∴ P的坐标为(1.5,4) 或(1.5,2.5) 或(1.5,-2.5) .
【分析】（1）由x=0求出对应的y的值，可得到点C的坐标，由y=0可求出对应的x的值，可得到点B的坐标.
（2） 设二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) ，将点A，B，C的坐标代入函数解析式，建立关于a，b，c的值，即可得到二次函数解析式.
（3）先求出抛物线的对称轴，可得到点D的坐标，利用函数解析式设E ，可表示出点，从而可表示出EF的长，再用含t的代数式表示出四边形CDBF的面积与t之间的函数解析式，利用二次函数的性质，可求出结果.
（4）利用点C，D的坐标，根据勾股定理可求出CD的长，再分情况讨论：当CD=DP1=2.5时；当DC=CP2=2.5时；当CD=DP3=2.5时；分别求出符合题意的点P的坐标.
【解析】【分析】（1）先求出抛物线的顶点坐标和与y轴的交点坐标，再代入“伙伴函数”y=mx+n，求出m，n的值，即可得出答案；
（2）先求出直线y=mx-3与y轴的交点坐标，代入抛物线的解析式求出c的值，从而而得出抛物线的解析式，再求出抛物线的顶点坐标，然后代入直线的解析式，即可求出m的值；
（3）根据题意联立方程组，解方程组求出k，t的值，设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+3， 利用待定系数法求出抛物线的解析式，得出当x=-1时，函数有最小值3，再求出当x=4时y的值，即可得出答案.
【解析】【分析】（1）易得 x1＝4，x2＝，接下来分x1＝2x2、x2＝2x1就可求出k的值；
（2）易得m