高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直课堂教学ppt课件

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比如：旗杆、灯柱与地面的位置关系
大桥的桥柱与水面的位置关系等，
都给我们以直线与平面垂直的印象.
在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子.随着时间的变化，尽管影子的位置在移动，但是旗杆所在直线始终与影子所在直线垂直.
也就是说，旗杆所在直线与地面内任意一条直线都是垂直的.
过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条，该点与垂足间的线段叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
例1(多选)下列命题中，不正确的是 A.若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α B.若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线 C.若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直 D.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α
解 当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以A不正确；
当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以B不正确，C正确；
若l在α内，l也可以和α内的无数条直线垂直，故D错误.
【注意】线面垂直定义中“直线垂直于平面内的所有直线”与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事.
【练1】如果一条直线垂直于一个平面内的 ：①三角形的两边；②梯形的两边； ③圆的两条直径；④正五边形的两边. 能保证该直线与平面垂直的是________.(填序号)
解：根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交， 能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件.
【问题】：如何判断一条直线与一个平面垂直？
可以用定义，只要证明一条直线垂直于平面内的任意一条直线就可以了。
不好操作：降低的条件，一条直线与一个平面内无穷多条直线垂直，这条直线能垂直于平面吗？
看来一条直线与一个平面内的无穷条直线都垂直，也不能保证这条直线与平面垂直。
不是倒吗？不让它倒！怎么办？
文字语言:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线与这个平面垂直.
例2 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面.
例3 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC与BD交于点O， 求证：A1O⊥平面MBD.
证明　∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，
又AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BD且AA1∩AC＝A，
∴BD⊥平面AA1O，∴BD⊥A1O，
令正方体的棱长为2，连接OM，A1M(如图)，
∴A1O2＋OM2＝A1M2，
∴A1O⊥平面MBD.
(1)由线线垂直证明线面垂直：
(2)平行转化法(利用推论)：
②判定定理(最常用)，着力寻找平面内的两条相交线(有时需作辅助线)， 使它们与所给直线垂直.
①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；
②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.
【练2】如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周 上任意一点，AN⊥PM，N为垂足. (1)求证：AN⊥平面PBM； (2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
证明：（1）∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，BM⊂平面ABM，∴PA⊥BM.
又∵PA∩AM＝A，PA，AM⊂平面PAM，
又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.
又∵PM∩BM＝M，PM，BM⊂平面PBM，
证明:(2) 由(1)知AN⊥平面PBM，
PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.
又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ⊂平面ANQ，∴PB⊥平面ANQ.
又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中∠PAO叫做这条直线与这个平面所成的角。
（2）一条直线平行于平面，它们所成的角是00；
例4　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中. (1)求A1B与平面AA1D1D所成的角； (2)求A1B与平面BB1D1D所成的角.
∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°.
解　(1) ∵AB⊥平面AA1D1D，∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，
在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，、∴∠AA1B＝45°，
解　(2) 连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.
BB1∩B1D1＝B1
BB1，B1D1⊂平面BB1D1D
A1O⊥平面BB1D1D
∠A1BO就是A1B与面BB1D1D所成的角.
又∵∠A1OB＝90°，
∴∠A1BO＝30°，
∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°.
求直线与平面所成角的关键：
(2)通过作辅助线找垂线，确定线面角
(1)寻找过直线上一点与平面垂直的垂线、垂足与斜足的连线即为直线在平面内的射影， 直线与直线在平面内射影所成的角即为线面角.
【练3】如图所示，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，DE＝DA＝2. (1)求证：AC⊥平面BDE； (2)求AE与平面BDE所成角的大小.
证明　(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.
DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DE，
∵BD，DE⊂平面BED，BD∩DE＝D，
解（2）设AC∩BD＝O，连接EO，如图所示.
∴∠AEO＝30°，即AE与平面BDE所成的角为30°.
∵AC⊥平面BDE，∴EO是直线AE在平面BDE上的射影，
∴∠AEO即为AE与平面BDE所成的角.
(1)直线与平面垂直的定义.
(2)直线与平面垂直的判定定理.
(3)直线与平面所成的角及求法。
3.易错点：判定定理理解“平面内找两条相交直线”与该直线垂直.
课本P152 练习 1,2,3,4