人教版高中数学必修第二册第八章《立体几何初步》章节练习（2份，解析版+原卷版）

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第八章   章末测试题一、选择题1．如图所示，，则平面与平面的交线是（    ）A．直线 B．直线 C．直线 D．直线【答案】C【解析】由题意知，，，∴，又∵，∴平面，即在平面与平面的交线上，又平面，，∴点在平面与平面的交线上，∴平面平面，故选．2．正方体内切球与外接球体积之比为　(　　)A．1∶ B．1∶3 C．1∶3 D．1∶9【答案】C【解析】设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为a，它的外接球的半径为a，故所求体积之比为1︰3.故答案为C．3．已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1=，∴，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=，∴．4．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）A．若，，则B．若，，则C．若，，，则 D．若，，，则【答案】C【解析】对于，当为内与垂直的直线时，不满足，错误；对于，设，则当为内与平行的直线时，，但，错误；对于，由，知：，又，，正确；对于，设，则当为内与平行的直线时，，错误.故选：.5．已知直线a，b分别在两个不同的平面，内则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的　　A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当“直线a和直线b相交”时，平面α和平面β必有公共点，即平面α和平面β相交，充分性成立；当“平面α和平面β相交”，则 “直线a和直线b可以没有公共点”，即必要性不成立.故选A.6．如图所示，在长方体中，，则与平面所成角的正弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图所示，在平面内过点作的垂线，垂足为，连接.平面，的正弦值即为所求.，，.7．已知正四棱柱中，，E为中点，则异面直线BE与所成角的余弦值为( )A． B． C． D．【答案】C【解析】平移成三角形用余弦定理解，或建立坐标系解，注意线线角不大于,故选C.取DD1中点F，则为所求角, ，选C. 8．如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，使得∠B′AC=60°．那么这个二面角大小是（　　　　）A．30° B．60° C．90° D．120°【答案】C【解析】因为AD是等腰直角△ABC斜边BC上的高，所以，因此是二面角的平面角，∠B′AC=60°．所以是等边三角形，因此，在中.故选：C二、多选题9．下列命题为真命题的是（    ）A．若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合B．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直C．垂直于同一条直线的两条直线相互平行D．若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面不垂直【答案】BD【解析】A错，两个平面相交时，也有无数个公共点；B选项就是面面垂直的判定定理，正确；C错，比如，，，显然有，，但b与c也可能相交；D利用反证法证明，假设这条直线与另一个平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任何一条直线，当然就垂直于这条交线，与已知条件矛盾，所以原说法正确.故选：BD.   10．如图,在棱长均相等的四棱锥中, 为底面正方形的中心, ,分别为侧棱,的中点,有下列结论正确的有：(  )A．∥平面        B．平面∥平面C．直线与直线所成角的大小为    D．【答案】ABD【解析】选项A,连接BD，显然O为BD的中点，又N为PB的中点，所以∥ON,由线面平行的判定定理可得，∥平面；选项B, 由,分别为侧棱,的中点,得MN∥AB,又底面为正方形，所以MN∥CD，由线面平行的判定定理可得，CD∥平面OMN,又选项A得∥平面，由面面平行的判定定理可得，平面∥平面；选项C,因为MN∥CD，所以∠ PDC为直线与直线所成的角，又因为所有棱长都相等，所以∠ PDC=，故直线与直线所成角的大小为；选项D，因底面为正方形，所以,又所有棱长都相等，所以,故,又∥ON，所以，故ABD均正确.11、正方体的棱长为2,分别为的中点,则（    ）A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行C．平面截正方体所得的截面面积为 D．点与点到平面的距离相等【答案】BC【解析】A．若，又因为且，所以平面，所以，所以，显然不成立，故结论错误；B．如图所示，取的中点，连接，由条件可知：，，且，所以平面平面，又因为平面，所以平面，故结论正确；C．如图所示，连接，延长交于点，因为为的中点，所以，所以四点共面，所以截面即为梯形，又因为，，所以，所以，故结论正确；D．记点与点到平面的距离分别为，因为，又因为，所以，故结论错误.故选：BC.12．正方体的棱长为2，已知平面，则关于截此正方体所得截面的判断正确的是（    ）A．截面形状可能为正三角形 B．截面形状可能为正方形C．截面形状可能为正六访形 D．截面面积最大值为【答案】ACD【解析】如图，显然A,C成立，下面说明D成立，如图设截面为多边形，设，则，则所以多边形的面积为两个等腰梯形的面积和，所以因为，，所以当时，，故D成立。故选：ACD．三、填空题13．一个圆柱的侧面展开图是一个边长为1的正方形，则该圆柱的体积是____．【答案】【解析】依题意可得，圆柱的高为1，底面周长为1，则底面半径为，所以圆柱体积为.故答案为：. 14．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．【答案】【解析】如图:因为平面,平面,且平面平面,所以,又因为为的中点,所以为的中点,所以,因为正方体的棱长为2.所以,所以.故答案为:.15．如图所示，在正方体中，分别是棱和上的点，若是直角，则________.【答案】90°【解析】因为正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，
所以MN⊥MB1，因为B1C1是棱，所以MN⊥B1C1，所以MN⊥平面MB1C1，所以∠C1MN=90°
故答案为90° 16．在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，EF是棱AB上的一条线段，且EF=b(b<a)．若Q是CD上的动点，则三棱锥Q ­D1EF的体积为________．【答案】【解析】VQ­D1EF=VD1­QEF=S△QEF·DD1=b×a×a=a2b.四、解答题17．在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，以AB所在直线为轴，三角形面旋转一周形成一旋转体，求此旋转体的表面积和体积．【答案】表面积为π，体积为π.【解析】过C点作CD⊥AB，垂足为D．△ABC以AB所在直线为轴旋转一周，所得到的旋转体是两个底面重合的圆锥，如图所示，这两个圆锥高的和为AB=5，底面半径DC==，故S表=π·DC·(BC＋AC)=π.V=π·DC2·AD＋π·DC2·BD=π·DC2(AD＋BD)=π.即所得旋转体的表面积为π，体积为π.    18．如图是一个以为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为△ABC，已知，，，，，求：（1）该几何体的体积；（2）截面△ABC的面积.【答案】（Ⅰ）6；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）过C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交AA1，BB1分别于点A2，B2.由直三棱柱性质及∠A1B1C1=90°可知B2C⊥平面ABB2A2，则该几何体的体积V==×2×2×2＋××(1＋2)×2×2=6 ，（Ⅱ）在△ABC中，AB==，BC==，AC==2.则S△ABC=×2×= 19．如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面）中，AC=9，BC=12，AB=15，AA1=12，点D是AB的中点 （1）求证：；  （2）求证：平面【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）直三棱柱面  又 AC=9，BC=12，AB=15     面（2）取的中点，连结和//，且=四边形为平行四边形 ∥面∥，且=四边形为平行四边形 ∥面    面∥面    平面20．在三棱锥中，平面平面，，，过作，垂足为，点，分别是棱，的中点．（）求证：平面平面．（）求证：．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】[证明] （1）∵，，垂足为，∴是的中点，又因为是的中点，∴∥，∵平面，平面，∴∥平面；同理∥平面. 又，∴平面∥平面.（2）∵平面平面，且交线为，又平面，，∴平面，∵平面，∴，又因为，，、平面，∴平面，∵平面，∴.  21．如图所示，在矩形ABCD中，AB=3，BC=3，沿对角线BD将△BCD折起，使点C移到C′点，且C′点在平面ABD上的射影O恰在AB上．(1)求证：BC′⊥平面AC′D；(2)求点A到平面BC′D的距离．【答案】(1)详见解析(2)【解析】(1)证明　∵点在平面上的射影在上，∴平面，平面， ∴．又∵，，∴平面，又平面， ∴．又∵，∴．∵，∴平面．(2) 如图所示，过作，垂足为，连接．∵平面，平面， ∴，又，∴平面．故的长就是点到平面的距离．∵，，，∴平面，又平面， ∴．在中，．在中，．在中，由面积关系，得．∴点到平面的距离是．22．如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．(1)求证：PA∥面BDE；平面PAC⊥平面BDE；(2)若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．【答案】(1)详见解析(2)【解析】(1)证明:连接，如图所示．∵分别为中点，∴．∵面，面，∴面．∵面，面， ∴．在正方形中，，又∵，∴面．又∵面，∴面面．(2)取中点，连接．∵为中点，∴为的中位线，∴．又∵面，∴面，由（1）可知面，而面，所以，∵，∴为二面角的平面角∴．在中，，∴，∴．∴．