2022年山东省青岛市即墨区中考数学一模试卷（含解析）

2022年山东省青岛市即墨区中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1. 的倒数是

A.  B.  C.  D.

2. 下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是

A.  B.  C.  D.

3. 年月，北京冬奥会的成功举办，我国已实现了“带动三亿人参与冰雪运动”的目标．数据显示，全国居民参与过冰雪运动的人数为亿人，冰雪运动参与率数据“亿”用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

4. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 如图，的顶点坐标分别为、、，如果将绕点按顺时针方向旋转，得到，将向下平移个单位，得，那么点的对应点的坐标是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆与边相切于点，与，分别交于点和点，点是优弧上一点，，则的度数是

A.
B.
C.
D.

7. 如图，在菱形中，，，过菱形的对称中心分别作边，，，的垂线，交各边于点，，，，则四边形的周长为

A.  B.  C.  D.

8. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9. 计算：______．
10. 三棱柱的三视图如图所示，在俯视图中，，，，则左视图中的长为______．

11. 一个口袋中有红球、白球共个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到红球．请你估计这个口袋中有______个白球．
12. 如图，点，，是上的点，连接，，，且，过点作交于点，连接，，已知半径为，则图中阴影面积为______．
    
     

13. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的边与轴的正半轴重合，，轴，对角线、交于点，已知：：，的面积为反比例函数上的图象恰好经过点，则的值为______．
     

14. 如图，已知正方形，点是边上一点，将沿直线折叠，点落在处，连接并延长，与的平分线相交于点，与，分别相交于点，，连接，，，若，，则______．

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分）

15. 如图，已知线段，，垂足为求作四边形，使得点，分别在射线，上，且，要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．

16. 化简：；
    解不等式组：．
    
    
    
    
    
    
     
17. 某校计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模、“围棋”四个课外兴趣小组，要求每人必须参加，并且只能选择其中一个小组，为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图部分信息未给出，请你根据给出的信息解答下列问题：
    求参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图画图后请标注相应的数据；
    ______，______；
    若该校共有名学生，试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有多少人？

18. 某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型，泡沫型三种型号分别用，，依次表示这三种型号小辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液，上述三种型号中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同．
    小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是______．
    请你用列表法或画树状图法，求小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率．
    
    
    
    
    
    
     
19. 王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，如图，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜坡的坡比为：点，，在同一水平线上求大树的高度，结果保留整数．

20. 某电商积极响应市政府号召，在线销售甲、乙、丙三种农产品，已知乙产品的售价比甲产品的售价多元，丙产品的售价是甲产品售价的倍，用元购买丙产品的数量是用元购买乙产品数量的倍．
    求甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是多少元？
    电商推出如下销售方案：甲、乙、丙三种农产品搭配销售共，其中乙产品的数量是丙产品数量的倍，且甲、丙两种产品数量之和不超过乙产品数量的倍．请你帮忙计算，按此方案购买农产品最少要花费多少元？
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知：如图，在直角梯形中，，，于点，交于点，交的延长线于点，且．
    求证：；
    若，连接，判断四边形是什么特殊的四边形？并证明你的结论．
    
     

22. 北京年冬奥会跳台滑雪比赛在张家口赛区进行，如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点正上方米处的点滑出，滑出后沿段抛物线运动．
    当运动员运动到离处的水平距离为米时，离水平线的高度为米，求抛物线的函数关系式；
    在的条件下，求运动员在落在小山坡上之前滑行的水平距离，并求出在滑行期间距离小山坡的最大高度是多少米？
    当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过米时，求的取值范围．

23. 课本再现
    在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图即可证明，其中与相等的角是______ ；
    
    类比迁移
    如图，在四边形中，与互余，小明发现四边形中这对互余的角可类比中思路进行拼合：先作，再过点作于点，连接，发现，，之间的数量关系是______ ；
    方法运用
    如图，在四边形中，连接，，点是两边垂直平分线的交点，连接，．
    求证：；
    连接，如图，已知，，，求的长用含，的式子表示．

24. 如图，在中，，，，点是中点，连接，动点从点出发沿折线方向以每秒个单位长度的速度向终点运动，过点作，垂足为点，以，为邻边作平行四边形设点的运动时间为秒．
    ______；
    当点在上时，求的长度；用含的代数式表示
    当平行四边形与重合部分图形的面积为时，求与之间的函数关系式；
    当点落在的某个内角平分线上时请直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：的倒数是，
故选：．
先求出，再根据倒数定义可知，的倒数是．
本题主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是
倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，没有倒数．
倒数的定义：若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数．
 

2.【答案】
 

【解析】解：是轴对称图形，共有条对称轴；
B.不是轴对称图形，没有对称轴；
C.不是轴对称图形，没有对称轴；
D.是轴对称图形，共有条对称轴．
故选：．
根据轴对称图形的概念求解即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

3.【答案】
 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】
 

【解析】解：，故错误；
B.，故错误；
C.，故错误；
D.，正确．
故选：．
根据平方差公式、幂的乘方、合并同类项法则以及单项式乘以单项式的计算方法进行判断．
本题综合考查了平方差公式，幂的乘方与合并同类项，单项式乘单项式．此题属于基础题，难度较低．
 

5.【答案】
 

【解析】解：如图，

由题意，，
点绕点顺时针旋转得到，再向下平移个单位得到，
故选：．
分别利用旋转变换，平移变换的性质画出图形可得结论．
本题考查坐标与图形变化旋转，平移等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．
 

6.【答案】
 

【解析】解：连接，
与相切于点，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
连接，根据切线的性质得到，根据垂直的定义得到，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的内角和定理得到，根据等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理即可得到结论。
本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键。
 

7.【答案】
 

【解析】解：如图，连接，．

四边形是菱形，，
，，，
，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
是等边三角形，
，
同法可证，，，都是等边三角形，
，，
四边形的周长，
故选：．
证明是等边三角形，求出，同法可证，，都是等边三角形，求出，，，即可．
本题考查中心对称，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数和一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是明确一次函数和二次函数的性质．
先由二次函数的图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致．
【解答】
解：、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项错误；
B、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项正确；
C、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项错误；
D、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项错误．
故选：．  

9.【答案】
 

【解析】解：



，
故答案为：．
先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，零指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：过点作于点，
由题意可得出：，
，，
．
故答案为：．
根据三视图的对应情况可得出，中上的高即为的长，进而求出即可．
此题主要考查了由三视图判断几何体，根据已知得出是解题关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：估计这个口袋中白球个数约为个，
故答案为：．
用球的总个数乘以摸到白球的频率即可．
本题主要考查用样本估计总体，从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
 

12.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
，
．
故答案为：．
由圆周角定理可得的度数，由可得，进而可得，然后根据扇形面积公式计算即可．
本题考查了圆周角定理、扇形面积公式和同底等高的三角形的面积相等等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：过点作于．

，
∽，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
过点作于首先利用相似三角形的性质求出的面积，再证明，求出的面积即可．
本题考查反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是求出的面积．
 

14.【答案】
 

【解析】解：将沿直线折叠，点落在处，
，，关于对称，
，
，
平分，
，
，
四边形是正方形，
，
，
；
设交于点，如图：

，，
，，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
又，
∽，
，，
，，
，，
．
故答案为：．
根据将沿直线折叠，点落在处，平分，可得，有；设交于点，可得是的垂直平分线，有，证明∽，得，，可得，，即得．
本题考查正方形中的翻折问题，涉及三角形相似的判定与性质，等腰直角三角形性质及应用，解题的关键是掌握正方形的性质及全等三角形的判定与性质．
 

15.【答案】解：如图，四边形即为所求．

 

【解析】在射线上截取，使得，作等边三角形，过点作于点，四边形即为所求．
本题考查作图复杂作图，平行线的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
 

16.【答案】解：



；
，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：．
 

【解析】先算括号里，再算括号外，即可解答；
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了分式的混合运算，解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

17.【答案】参加这次问卷调查的学生人数为人，
航模的人数为人，
补全图形如下：

，；
估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有人．
 

【解析】

【分析】
本题考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
由书法小组人数及其对应百分比可得总人数，再根据各小组人数之和等于总人数求得航模人数，从而补全图形；
根据百分比的概念可得、的值；
总人数乘以样本中围棋的人数所占百分比即可．
【解答】
解：见答案；
，，
即，，
故答案为：，；
见答案．  

18.【答案】解：；
列表如下：

由表可知，共有种等可能结果，其中小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液有种结果，
所以小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率为．
 

【解析】小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是，
故答案为：；
见答案
直接根据概率公式求解即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

19.【答案】解：过点作于点，过点作于点，设米，

由题意知米，
斜坡的坡比为：，
，
设米，米，
，
，
，
米，米，
，
四边形为矩形，
米，米，
，
米，
米，
，
，
，
，
米．
答：大树的高度是米．
 

【解析】作于，解，即可求出，过点作于点，设米，用表示出、，根据列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．
 

20.【答案】解：设甲产品的售价为元，则乙产品的售价为元，丙产品的售价为元，根据题意，得：
，
解得：，
经检验，既符合方程，也符合题意，
，．
答：甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是元、元、元；

设的甲、乙、丙三种农产品搭配中丙种产品有，则乙种产品有，甲种产品有，
，
，
设按此方案购买农产品所需费用为元，根据题意，得：
，
，
随的增大而增大，
时，取最小值，且，
答：按此方案购买农产品最少要花费元．
 

【解析】设甲产品的售价为元，则乙产品的售价为元，丙产品的售价为元，根据“用元购买丙产品的数量是用元购买乙产品数量的倍”列方程解答即可；
设的甲、乙、丙三种农产品搭配中丙种产品有，则乙种产品有，甲种产品有，根据题意列不等式求出的取值范围；设按此方案购买农产品所需费用为元，根据题意求出与之间的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用．本题属于中档题，难度不大，解决该体系题目时，找准数量关系是解题的突破点．
 

21.【答案】证明：，，
，
在和中
，
≌，
．

四边形是菱形．
证明：，，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形．
 

【解析】根据证出≌，根据全等三角形的性质推出即可；
求出，证≌，推出，即可得出答案．
本题考查了直角梯形，全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定等知识点的综合运用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
 

22.【答案】解：由题意可知抛物线：过点和，将其代入得：
，解得：，
抛物线的函数解析式为：；
设在滑行期间距离小山坡的高度是米，依题意得：
，
整理得：，
，
故在滑行期间距离小山坡的最大高度是米；
：，
当时，运动员到达坡顶，
即，
解得：．
 

【解析】根据题意将点和代入：求出、的值即可写出的函数解析式；
设在滑行期间距离小山坡的高度是米，依题意得到，根据二次函数的性质健康得到结论；
求出山坡的顶点坐标为，根据题意列不等式，解出的取值范围即可．
本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．
 

23.【答案】
证明：如图中，连接，作的外接圆．

点是两边垂直平分线的交点
点是的外心，
，
，
，
，，
，
．

解：如图中，在射线的下方作，过点作于．

，，
∽，
，，
，
∽，
，
，
，
，
，，，
，
．
 

【解析】解：如图中，由图形的拼剪可知，，
故答案为：．
解：如图中，


，，
，
．
故答案为：．

见答案．

见答案．
 

根据图形的拼剪可得结论．
利用勾股定理解决问题即可．
如图中，连接，作的外接圆利用圆周角定理以及三角形内角和定理，即可解决问题．
如图中，在射线的下方作，过点作于利用相似三角形的性质证明，求出，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了三角形的外心，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．

24.【答案】
 

【解析】解：如图中，，，，
，
，
，
，
故答案为：．

当点在上时，，
，
，
，
，


如图中，当时，重叠部分是四边形，延长交于点．

，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，

当时，重叠部分是四边形，

，
综上所述，．

如图中，当平分时，过点作于点，则≌，

，，
设，
在中，则有，
，
，
．

如图中，当平分时，

，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或．
证明，利用直角三角形斜边中线的性质求解即可．
由，可得，由此构建关系式，可得结论．
分两种情形：如图中，当时，重叠部分是四边形，当时，重叠部分是四边形，分别求解，可得结论．
分两种情形：如图中，当平分时，过点作于点，则≌，设，利用勾股定理求出，再构建方程，求出如图中，当平分时，证明，构建方程求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．