2022年河南省许昌市中考数学一模试卷（含解析）

2022年河南省许昌市中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 北京冬奥会于年月日开幕，超亿电视观众观看了开幕式，人数创历史之最亿用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 几何体的三视图如图所示，这个几何体是

A.  B.
C.  D.

4. 如图，，则的度数为

A.
B.
C.
D.

5. 下列各式的运算结果等于是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，是的直径，弦于点，则下列结论不一定成立的是

A.
B.
C.
D.

7. 下表记录了某学校甲、乙、丙、丁四个科技小组最近几次选拔赛成绩的平均数与方差．

根据表中信息，要从中选出一个成绩好且发挥稳定的小组参加市青少年科技创新大赛，那么应该选的组是

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

8. 现有、、三种不同的矩形纸片若干张边长如图，小智要用这三种纸片无重合无缝隙拼接成一个大正方形，先取纸片张，再取纸片张，还需取纸片的张数是

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在中，，按以下步骤作图：以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；作射线，交于点若，则点到的距离为

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在平面直角坐标系中，▱的顶点，，，且轴．将▱沿轴向上平移，使点的对应点落在对角线上，则平移后点的对应点的坐标为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
12. 写一个当时，随的增大而增大的函数解析式______．
13. 双减政策实施后，某学校为丰富学生的业余生活，发展学生的兴趣特长，增强学生的体质，开展了四个体育兴趣社团：跳绳社团，篮球社团，足球社团，健美操社团，小明和小亮对四个社团都很喜欢．他们随机选择参加其中一个社团，则两人恰好选择同一个社团的概率是______．
14. 如图，在正方形中，点是边的中点，点是对角线上一动点，设，，图是关于的函数图象，则图象上最低点的坐标是______．

15. 如图，是边长为的等边三角形，是边上的高，是边上的高．将绕点顺时针旋转得到，其中点的对应点为点，点的对应点为点在旋转过程中，当点落在直线上时，的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）

16. 计算：；
    阅读下列计算过程，并完成相应的任务：
    解方程组：．
    解：，得，第一步，
    ，得，第二步，
    第三步，
    将代入，得第四步，
    所以，原方程组的解为第五步．
    填空：
    任务一：这种求解二元一次方程组的方法叫做______．
    A.代入消元法加减消元法
    任务二：第______步开始出现错误，错误的原因是______；
    任务三：直接写出该方程组的正确解：______．
    
    
    
    
    
    
     
17. 空气质量指数，简称是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染状况越严重，对人体健康的危害也就越大．许昌市为改善生态环境质量，打赢蓝天保卫战，以建设“生态强市”为目标，着力改善我市的空气质量．为了解年环境改善情况，环保部门收集了该年每天的空气质量指数空气质量指数范围及相应类别为：，空气质量为优，空气质量为良；，空气质量为轻度污染；，空气质量为中度污染；，空气质量为重度污染；，空气质量为严重污染，其中部分数据按从小到大的顺序排列和统计图不完整如下：

请补全条形统计图；
这组数据的中位数是______已知这组数据的平均数是，你对它与中位数的差异有什么看法？






 

18. 已知正比例函数与反比例函数的图象都经过点．
    求，的值；
    在图中画出正比例函数的图象，并结合图象，写出不等式的解集．

19. 随着冬奥会的闭幕，坐落于冬奥核心区的国家跳台滑雪中心“雪如意”，成为本次冬奥会比赛场馆中最具标志性和辨识度的建筑物之一．该跳台滑雪中心设计灵感来源于中国的传统吉祥饰物“如意”，从跳台环形顶端，再到剖面线形和底部看台，与“如意”的型曲线完美契合，因此被称为“雪如意”，既体现了体育建筑的动感，又凸显了中国文化元素．如图，是“雪如意”的侧面示意图，“雪如意”由顶峰俱乐部、滑道包括助滑区和着陆坡及看台区三部分构成、均与水平面平行，其中于点，，，，从点处测得点处的仰角为，点处的俯角为，求“雪如意”的高的长结果精确到，，，，，，．

20. 张老师在复习圆的内容时，用投影屏幕展示出如下内容：
    已知，为半圆的直径，点为半圆上任一点．
    张老师让同学们根据题意画出图形，添加条件后，编制一道题目，并给出解答．
    以下是小亮和小颖的对话：
    小亮：我画的图形如图，过点作半圆的切线，交的延长线于点连接，，，若，则图形中存在全等的三角形；
    小颖：我在半圆上找一点，且满足以点，，，为顶点的四边形为菱形，若，可求出的长为；
    小亮：小颖的答案是有问题的．
    参考上面对话，完成以下任务：
    请写出图中所有的全等三角形，并对其中一对给出证明；
    填空：小颖编制的题目中的长应为______．

21. 某日，甲乙两人同去加油站加同种汽油，甲用元加的油量比乙用元加的油量少升．
    求当天加油站的油价和甲乙两人的加油量．若设当天加油站的油价为元升，则可列方程______；若设甲当天的加油量为升，则可列方程______；请选择一种你喜欢的设法，完整解答本小题．
    当天加油站在其汽油进价的基础上提高进行定价，若加油站的经营成本为元包含运输成本、水电费用、人员费用等，不包含汽油的进价，销售量为升，与之间的函数关系式为：，要使加油站当天的利润不低于元，则加油站当天至少售出多少升汽油？总成本进价经营成本
    汽油价格受多种因素影响浮动较大，甲乙两人再次同去加同种汽油时，油价每升比上次上涨了元，甲加油的总价与上次相同，乙加油的油量与上次相同，请通过计算两人两次所加汽油的平均单价，说明甲乙两人采用的加油方式哪种更合算？
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知抛物线．
    若，求抛物线的对称轴；
    若，且抛物线的对称轴在轴右侧．
    当抛物线顶点的纵坐标为时，求的值；
    点，，在抛物线上，若，请直接写出的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     

问题背景
折纸是一种将纸张折成各种不同形状的艺术活动，折纸大约起源于公元世纪或者世纪时的中国，世纪时传入日本，再经由日本传到全世界，折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支．今天折纸被应用于世界各地，其中比较著名的是日本筑波大学的芳贺和夫发现的折纸几何三定理，它已成为折纸几何学的基本定理．
芳贺折纸第一定理的操作过程及内容如下：
第一步：如图，将正方形纸片对折，使点与点重合，点与点重合．再将正方形展开，得到折痕；
第二步：将正方形纸片的右下角向上翻折，使点与点重合，边翻折至的位置，得到折痕，与交于点．
则点为的三等分点，即：：．
问题解决
如图，若正方形的边长是．

的长为______；
请通过计算的长度，说明点是的三等分点．
类比探究
将长方形纸片按问题背景中的操作过程进行折叠，如图，若折出的点也为的三等分点，请直接写出的值．







答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了相反数的定义，就属于基础题．
由，可得答案．
【解答】
解：由，
可得的相反数是．
故选：．  

2.【答案】
 

【解析】解：亿．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：根据该组合体的三视图发现该几何体为
．
故选：．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
考查了由三视图判断几何体的知识，解题时要认真审题，仔细观察，注意合理地判断空间几何体的形状．
 

4.【答案】
 

【解析】解：如图，

，，
，
，
．
故选：．
先根据三角形外角的性质求出的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
本题考查了平行线的性质和三角形的外角性质的应用，注意：两直线平行，同位角相等．
 

5.【答案】
 

【解析】解：、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据合并同类项，乘方，乘法，除法运算的法则进行计算，逐一判断即可．
本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：，过圆心，
，，，
不能推出，
所以选项A、选项C、选项D都不符合题意，只有选项B符合题意；
故选：．
根据垂径定理得出，，，再得出选项即可．
本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能熟记垂径定理的内容是解此题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】首先比较平均数，平均数相同时解：，
从乙和丙中选择一人参加比赛，
，
选择丙参赛，
故选：．
首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．
此题考查了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：把张，张，若干张，拼成大正方形，如图所示：

所以有张．
故选：．
张，张，还有，拼成正方形，如图：

可知需要张．
本题考查完全平方公式的应用．关键是对完全平方公式的三项有深刻理解．
 

9.【答案】
 

【解析】解：由作法得平分，
过点作于，如图，则，
设，
，，
，，
在中，，
，
解得，
即点到的距离为．
故选：．
利用基本作图得到平分，过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，设，则，在中，利用得到，然后解方程即可．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质和等腰直角三角形的性质．
 

10.【答案】
 

【解析】解：▱的顶点，，，且轴，

，，，，
，
▱沿轴向上平移，
轴，
是的中位线，
，
．
故选：．
由平行四边形的性质可求解，，，，即可得，结合三角形中位线的性质可求得：，再利用坐标与图形变化平移的性质可求解点坐标．
本题主要考查坐标与图形的变化平移，平行四边形的性质，求解点坐标是解题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：若在实数范围内有意义，
则，
解得：．
故答案为：．
直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
 

12.【答案】或或等
 

【解析】解：若为一次函数，当时，随的增大而增大，，如；
若为反比例函数，当时，随的增大而增大，，如；
若为二次函数，当时，随的增大而增大，，对称轴，如；
当时，随的增大而增大的函数解析式为或或等此题答案不唯一．
根据二次函数、一次函数、反比例函数、正比例函数的性质作答．
本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数、正比例函数的增减性单调性，是一道难度中等的题目．
 

13.【答案】
 

【解析】解：把跳绳社团，篮球社团，足球社团，健美操社团分别记为：、、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小明和小亮选到同一个社团的结果有种，
小明和小亮选到同一个社团的概率为，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中小明和小亮选到同一个社团的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】
 

【解析】解：由图知，当点和点重合时，，
，
即正方形的边长为，
如图，点是点关于直线的对称点，连接交于点，则此时取得最小值，

根据点的对称性，，
则为最小，
，，
，
过点作，垂足为，
四边形是正方形，
，
，
又，，
，
∽，
，
，
，
，
，
图象上最低点的坐标是，
故答案为：
先根据图得出正方形边长，再根据点是点关于直线的对称点，连接交于点，则此时取得最小值，根据勾股定理求出，再根据∽，得出，从而求出，再根据勾股定理求出即可．
本题考查动点问题的函数图象，涉及正方形的性质，相似三角形的性质以及勾股定理等知识，关键是从图中读取信息，求出正方形的边长．
 

15.【答案】或
 

【解析】解：如图，过点作，交的延长线于，

是边长为的等边三角形，是边上的高，是边上的高，
，，，
将绕点顺时针旋转得到，
，
，，
，，
，
，
或，
故答案为：或．
由等边三角形的性质和直角三角形的性质可得，，由勾股定理可求解．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

16.【答案】  二  合并同类项时计算错误 
 

【解析】解：原式；
任务一：这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法．
故答案为：；
任务二：第二步开始出现错误，错误的原因是合并同类项时计算错误，
任务三：，
，得，第一步，
，得，第二步，
第三步，
将代入，得第四步，
所以，原方程组的解为第五步．
故答案为：；二，合并同类项时计算错误；．
根据绝对值、负整数指数幂、算术平方根化简合并即可求解；
根据解二元一次方程组的方法即可求解．
此题主要实数的混合运算以及解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．
 

17.【答案】
 

【解析】解：轻度污染的天数为：天，
补全条形统计图如下：

这组数据从小到大排在最中间的数是，故中位数是；
平均数易受极端值的影响，中位数不受极端值的影响．这组数据中，最大的数据是，最小的数据是，因此平均数受极端值的影响，与中位数差异较大．答案合理即可．
故答案为：．
用分别减去其它等级的天数即可得出轻度污染的天数，进而补全条形统计图；
根据中位数和平均数的定义解答即可．
本题考查频数分布直方图、加权平均数，中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

18.【答案】解：反比例函数的图象都经过点，
，
点的坐标为．
正比例函数的图象经过点，
，
解得．
如图所示，直线即为所求；

当或时，直线在曲线上方，
不等式的解集是或．
 

【解析】将点坐标代入反比例函数解析式可得的值，再将点坐标代入正比例函数解析式可得的值．
作出图象，根据直线与曲线交点横坐标求解．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系．
 

19.【答案】解：过点分别作于点，于点，

则，且四边形是矩形，
，
在中，，米，
米，
在中，米，
米，
米，
米，
“雪如意”的高度约为．
 

【解析】过点分别作于点，于点，根据题意可得，四边形是矩形，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

20.【答案】或
 

【解析】解：图形中存在全等的三角形有：≌，≌；

证明≌，过程如下：
是的切线，
．
是是直径，
．
．
，
．
又，
为等边三角形．
，，
在和中，
，
≌．
连接，如图，

以点，，，为顶点的四边形为菱形，
．
，
，为等边三角形，
．
．
，
，
的长为：；
连接，如图，

以点，，，为顶点的四边形为菱形，
．
，
，为等边三角形，
．
．
．
，
，
的长为：．
综上，的长为：或．
故答案为：或．
结合图形找出全等三角形即可；利用全等三角形的判定定理解答即可；
利用分类讨论的方法分两种情况解答，画出图形，分别计算所对的圆心角的度数，再利用弧长公式计算即可．
本题主要考查了圆的且的性质，圆周角定理，菱形的性质，圆的弧长，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，分类讨论的思想方法，利用分类讨论的思想方法解答问题是解题的关键．
 

21.【答案】 
 

【解析】解：若当天加油站的油价为元升，根据题意，得；
若甲当天的加油量为升，根据题意，得．
设甲当天的加油量为升，根据题意，得，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意，
当天加油站的油价为元升，乙的加油量为升，
答：当天加油站的油价为元升，甲的加油量为升，乙的加油量为升．
故答案为：；．
解：根据题意得：，
解得：．
答：加油站当天至少售出升汽油．
甲所加汽油的平均单价：元，
乙所加汽油的平均单价：元，
．
甲采用的加油方式更划算．
根据题意，列分式方程，求解即可；
根据“加油站当天的利润不低于元”列一元一次不等式，求解即可；
分别计算甲所加汽油的平均单价和乙所加汽油的平均单价，然后比较即可．
本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立方程是解题的关键．
 

22.【答案】解：抛物线的对称轴为直线，
，
，
抛物线的对称轴为直线．
当时，抛物线，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线的对称轴在轴右侧，
，
，
该抛物线顶点的纵坐标为，
，解得：，，
又，
．
当时，抛物线，
抛物线的对称轴为直线，
点，，在抛物线上，且，
，
．
 

【解析】根据对称轴公式即可求得；
根据对称轴在轴右侧即可判断，根据顶点公式即可求得；
根据题意得出，即可得到．
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握对称轴方程以及顶点公式是解题的关键．
 

23.【答案】
 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
由折叠的性质得：，，
设，则，，
在中，由勾股定理可得：，
即，
解得：，
，
故答案为：；
证明：四边形是正方形，
，，
，
由折叠的性质可知：，，
，
，
又，
∽，
，
由可知：，
，
，
，
：：．
即点为的三等分点．
解：如图，设，，，
则，，，
在中，由勾股定理可得：，
即，
同得：∽，
，
即，
，
把代入得：，
解得：，
把代入，
整理得：，
或舍去，
，
，
，
．
由折叠的性质得：，，设，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
证明∽，得，求出，再求出的长，即可得出结论；
设，，，则，，，在中，由勾股定理得，即，同得∽，得，进而得，则，然后由勾股定理得，即可求解．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、矩形的性质、勾股定理、折叠的性质、相似三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和折叠的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．