2022年山东省济宁市兖州区中考数学一模试卷（含解析）

2022年山东省济宁市兖州区中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 在，，，这四个数中，比小的数是

A.  B.  C.  D.

2. 如图摆放一副三角尺，，点在上，点在的延长线上，，，，则

A.
B.
C.
D.

3. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是

A.  B.
C.  D.

4. 商店准备确定一种包装袋来包装大米，经市场调查后，做出如下统计图，请问选择什么样的包装最合适

A. 包 B. 包 C. 包 D. 包

5. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

6. 小明用元买售价相同的软面笔记本，小丽用元买售价相同的硬面笔记本两人的钱恰好用完，已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为元，根据题意可列出的方程为

A.  B.  C.  D.

7. 三本相同的书本叠成如图所示的几何体，它的左视图是

A.
B.
C.
D.
 

8. 把抛物线的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，所得的抛物线的函数关系式是

A.  B.
C.  D.

9. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算时，如图．在中，，，延长使，连接，得，所以类比这种方法，计算的值为

A.  B.  C.  D.

10. 在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为和谐点．例如点，，，，都是和谐点．若二次函数的图象上有且只有一个和谐点，当时，函数的最小值为，最大值为，的取值范围是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 因式分解：______．
12. 如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为：，则圆的面积约为正方形面积的______倍．精确到个位
    
    
     

13. 已知某品牌鞋子的长度与鞋子的码数之间满足一次函数关系．若码鞋子的长度为，码鞋子的长度为，则码鞋子的长度为______．
14. 如图，为的直径，延长到点，过点作的切线，切点为，连接，，为圆上一点，则的度数为______．
    
     

15. 如图，正方形的对角线上的两个动点、，满足，点是的中点，连接、，若，则当的值最小时，线段的长度为______．
    
     

三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）

16. 计算：
    
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共6小题，共50.0分）

17. 受疫情影响，很多学校都纷纷响应了“停课不停学”的号召，开展线上教学活动．为了解学生上网课使用的设备类型．某校从“电脑、手机、电视、其它”四种类型的设备对学生进行了一次抽样调查，调查结果显示，每个学生只选择了以上四种设备类型中的一种，现将调查的结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息．解答下列问题：
    
    抽取的总人数是______，在扇形统计图中，“手机”所对应的扇形的圆心角的度数为______；
    补全条形统计图；
    若该校共有名学生，估计全校用手机上网课的学生共有______名；
    在上网课时，老师在、、、四位同学中随机抽取一名学生回答问题．请用列表法或画树状图的方法求两次都抽取到同一名学生回答问题的概率．
    
    
    
    
    
    
     
18. 某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是元，批发一箱该农产品的利润是元．
    已知该公司某月卖出箱这种农产品共获利润元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？
    经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的现该公司要经营箱这种农产品，问：应如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少？
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，点、在的图象上已知、的横坐标分别为、，直线与轴交于点，连接、．
    求直线的函数表达式；
    求的面积；
    若函数的图象上存在点，使的面积等于的面积的一半，则这样的点共有______ 个

20. 如图，水平放置一个直角三角板和一个量角器，三角板的边和量角器的直径在一条直线上，，，开始的时候，现在三角板以的速度向右移动．
    当与重合的时候，求三角板运动的时间；
    如图，当与半圆相切时，求；
    如图，当和重合时，求证：．

21. 【阅读】
    通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．
    【理解】
    如图，，，垂足分别为、，是的中点，连接已知，．
    分别求线段、的长用含、的代数式表示；
    比较大小： ______ 填“”、“”或“”，并用含、的代数式表示该大小关系．
    【应用】
    如图，在平面直角坐标系中，点、在反比例函数的图象上，横坐标分别为、设，，记．
    当，时， ______ ；当，时， ______ ；
    通过归纳猜想，可得的最小值是______ 请利用图构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．

如图，已知▱中，，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，连接并延长交的延长线于点，过作，垂足是，设运动时间为，解答下列问题：

求线段的长用的代数式表示；
是否存在时刻，使平分？若存在求出相应的值，若不存在，说明理由；
设四边形的面积为，求与之间的函数关系式：是否存在某一时刻，使的面积等于▱面积的一半，若存在求出相应的值，若不存在，说明理由；
是否存在某一时刻，使点在线段的垂直平分线上，若存在求出相应的值，若不存在，说明理由．







答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：，，，，而，
，
比小的数是．
故选：．
根据正数负数，两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小，可得答案．
本题考查了有理数大小比较，掌握有理数大小比较方法是解答本题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：如图，
，，
，
，，
，
，
，
．
故选：．
由三角形内角和定理可知，，，再由平行线的性质可得，，最后可得结论．
本题主要考查平行线的性质，三角形内角和定理，根据题目中的条件找到角之间的关系是解题关键，是一道比较简单的题目．
 

3.【答案】
 

【解析】解：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

4.【答案】
 

【解析】解：由图知这组数据的众数为，取其组中值，
故选：．
最合适的包装即顾客购买最多的包装，而顾客购买最多的包装质量即这组数据的众数，取所得范围的组中值即可．
本题主要考查频数率分布直方图，解题的关键是根据最合适的包装即顾客购买最多的包装，并根据频数分布直方图得出具体的数据．
 

5.【答案】
 

【解析】解：，，不符合题意；
，根据“积的乘方，需要把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可知，不符合题意；
，与是同类项，，符合题意；
，根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可知，不符合题意；
故选：．
依据完全平方公式，积的乘方，合并同类项，同底数幂的运算法则可进行判断．
本题考查了完全平方公式，积的乘方，合并同类项，同底数幂的运算法则，关键在于熟知其进行计算，注意计算要仔细．
 

6.【答案】
 

【解析】解：设软面笔记本每本售价为元，
根据题意可列出的方程为：．
故选：．
直接利用小明用元买售价相同的软面笔记本，小丽用元买售价相同的硬面笔记本，数量相同得出等式求出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：从左面看，是一列三个矩形．
故选：．
找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
 

8.【答案】
 

【解析】解：抛物线的顶点为：，
将抛物线的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，所得的抛物线顶点为，
平移后的抛物线是，
故选：．
求出顶点平移后的对应点，即可根据二次函数顶点式得到答案．
本题考查抛物线的平移，解题的关键是掌握二次函数的顶点式，本题也可根据平移规律：“左加右减，上加下减”解答．
 

9.【答案】
 

【解析】解：在中，，，延长使，连接，得，

设，则，
，
故选：．
在中，，，延长使，连接，得，设，则，根据计算即可．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会把问题转化为特殊角，属于中考常考题型．
 

10.【答案】
 

【解析】解：令，即，
由题意，，即，
又方程的根为，
解得，．
故函数，
如图，该函数图象顶点为，与轴交点为，由对称性，该函数图象也经过点．

由于函数图象在对称轴左侧随的增大而增大，在对称轴右侧随的增大而减小，且当时，函数的最小值为，最大值为，
，
故选：．
根据和谐点的概念令，即，由题意，，即，方程的根为，从而求得，，所以函数，根据函数解析式求得顶点坐标与纵坐标的交点坐标，根据的取值，即可确定的取值范围．
本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：

．
故答案为：．
直接提取公因式，进而利用平方差公式分解因式．
此题主要考查了提取公因式法、公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：设，
：：，
，，
正方形的面积为，
圆的面积为，
所以圆的面积是正方形面积的倍，
故答案为：．
根据圆的直径与正方形的对角线之比为：，设圆的直径，表示出正方形的对角线的长，再分别表示圆、正方形的面积即可．
本题考查圆的有关计算，正方形的性质，掌握圆的面积和正方形面积的计算方法是解决问题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：由某品牌鞋子的长度与鞋子的码数之间满足一次函数关系，设，
码鞋子的长度为，码鞋子的长度为，
，解得，
，
当时，，
故答案为：．
由题意设，用待定系数法求出与的函数关系式，再将代入即可得答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是用待定系数法求出与的函数关系式．
 

14.【答案】
 

【解析】证明：连接，
为的切线，
，即，
，
，
，
，
，
故答案为：．
连接，根据切线的性质得到，证明，再根据圆周角定理得出答案．
本题考查了切线的性质、圆周角定理，掌握切线的性质定理是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：过作交于，连接交于，过作交于，当、分别与、重合时，此时的值最小，

是的中点，
为的中点，
，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，满足题中条件，
，
，
∽，
，
，即．
过作交于，连接交于，过作交于，当、分别与、重合时，此时的值最小，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了正方形的性质，轴对称最短距离问题，平行三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，相似三角形的，正确的作出，的位置是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式，
．
 

【解析】本题涉及零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式化简个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

17.【答案】人   
 

【解析】解：抽取的总人数是：人，
手机的人数是：人，
在扇形统计图中，“手机”所对应的扇形的圆心角的度数为，
故答案为：人，；
补全统计图如下：

全校用手机上网课的学生共有：名；
故答案为：；
根据题意画树状图如下：

共有种等情况数，其中两次都抽取到同一名学生回答问题的有种，
则两次都抽取到同一名学生回答问题的概率为．
根据电脑的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数减去其它选项的人数求出手机的人数，用乘以“手机”人数所占比例即可；
根据中所求结果即可补全统计图；
用该校的总人数乘以用手机上网课的学生所占的百分比即可；
根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
本题考查了列表法与树状图法、概率公式、扇形统计图、条形统计图，解答本题的关键是明确题意，画出树状图．
 

18.【答案】解：设该公司当月零售这种农产品箱，则批发这种农产品箱，依题意得
，
解得：，
箱，
答：该公司当月零售这种农产品箱，批发这种农产品箱；
设该公司当月零售这种农产品箱，则批发这种农产品箱，依题意得
，
解得，
设该公司获得利润为元，依题意得
，
即，
，随着的增大而增大，
当时，取最大值，此时元，
批发这种农产品的数量为箱，
答：该公司零售、批发这种农产品的箱数分别是箱，箱时，获得最大利润为元．
 

【解析】本题考查了一元一次方程和一次函数的应用，根据题意列出函数表达式，熟练掌握函数性质根据自变量取值范围确定函数值是解决问题的关键．
设该公司当月零售这种农产品箱，则批发这种农产品箱，依据该公司某月卖出箱这种农产品共获利润元，列方程求解即可．
设该公司当月零售这种农产品箱，则批发这种农产品箱，该公司获得利润为元，进而得到关于的函数关系式，利用一次函数的性质，即可求解．
 

19.【答案】解：点、在的图象上，、的横坐标分别为、，
，，
设直线的解析式为，
，解得，
直线为；
在中，令，则，
的坐标为，
，
．

 

【解析】解：过的中点，作的平行线交抛物线两个交点、，此时的面积和的面积等于的面积的一半，作直线关于直线的对称直线，交抛物线两个交点、，此时的面积和的面积等于的面积的一半，所以这样的点共有个，故答案为．




由抛物线的解析式求得、的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式；
由直线的解析式求得的坐标，然后根据，利用三角形面积公式即可求得；
过的中点，作的平行线交抛物线两个交点、，作直线关于直线的对称直线，交抛物线两个交点、，此时的面积、的面积、的面积和的面积都等于的面积的一半．
本题考查了二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，二次函数图象上的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
 

20.【答案】解：由题意可得：，；

解：如图，连接与切点，则，

又，
，
；

证明：如图，连接，

，
，
为直径，
，
，
，
又，
∽，
，
．
 

【解析】根据题意得出的长，再利用路程除以速度得出时间；
根据切线的性质和判定结合等腰直角三角形的性质得出的长，进而求出答案；
利用圆周角定理以及切线的性质定理得出，进而求出∽，即可得出答案．
此题主要考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，根据题意得出∽是解题关键．
 

21.【答案】如图中，

，，
，
，，
，
∽，
，
，
，，，
，
，，
；
；
；；
．
猜想：的最小值为．
理由：如图中，过点作轴于，轴于，过点作轴于，轴于，连接，取的中点，过点作轴于，轴于，则，

当时，点在反比例函数图象的上方，
矩形的面积，
当时，点落在反比例函数的图象上，矩形的面积，
矩形的面积，
，
即，
的最小值为．
故答案为：．
 

【解析】解：，
根据垂线段最短可知，，即，
，
故答案为：．
当，时，；当，时，，
故答案为：，．
见答案．
本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是理解反比例函数的几何意义，属于中考压轴题．
利用相似三角形的性质求出，利用直角三角形斜边中线的性质求出．
根据垂线段最短，可得结论．
根据，的值代入计算即可．
如图中，过点作轴于，轴于，过点作轴于，轴于，连接，取的中点，过点作轴于，轴于，则，根据反比例函数的几何意义，求解即可．
 

22.【答案】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
；

存在．
理由：当平分时，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
：：，
：：，
解得，，
满足条件的的值为．

存在．
理由：过点作于点．

，，
，
，
，
，，
，，，．
，
，
．
，
，
，
，
四边形的面积等于▱面积的一半，
，
解得，或负根舍去，
满足条件的的值为；

不存在．
理由：点在线段的垂直平分线上时，，
，
解得，，
，
不符合题意，
不存在满足条件的的值，使得点在线段的垂直平分线上．
 

【解析】利用平行线分线段成比例定理，构建关系式求解；
存在．证明，由此构建方程求解；
存在．根据，求解，在构建方程求出的值即可；
不存在，构建方程求出的值判断即可．
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．