2022年浙江省宁波市中考数学原创模拟试卷（二）（甬真卷B）（含解析）

2022年浙江省宁波市中考数学原创模拟试卷（二）（甬真卷B）

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1. 下列各数中，比小的数

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算正确的是

A.  B.  C.  D.

3. 随着我国金融科技不断发展，网络消费、网上购物已成为人们生活不可或缺的一部分，去年“双十一”天猫成交额高达亿元．将数据“亿”用科学记数法表示

A.  B.  C.  D.

4. 一组数据，，，，的平均数是，则这组数据的中位数是

A.  B.  C.  D.

5. 小明已有两根长度分别是和的细竹签，盒子里面有四根长度分别是，，，的细竹签，小明随意从盒子里面抽取一个细竹签，恰能与已有两根细竹签首尾顺次连接成三角形的概率是

A.  B.  C.  D.

6. 如图所示的几何体，它的俯视图是

A.
B.
C.
D.

7. 我国明代数学读本算法统宗一书有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托如果托为尺，那么索长和竿子长分别为多少尺？设索长为尺，竿子长为尺，可列方程组为

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在中，，为中线，为的中点，为的中点，连结若，，则的长为

A.
B.
C.
D.

9. 如图，的顶点，在函数的图象上，点，在轴正半轴上，，，，设，的面积分别为，，若，则的值为

A.  B.  C.  D.

10. 将四张边长各不相同的正方形纸片、、、按如图方式放入矩形内相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，未被四张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若要求出两个阴影部分周长的差，只要知道下列哪个图形的边长

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11. 的立方根是______．
12. 不等式组的解集为______ ．
13. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转至点与点对应，连结，若，则的度数为______．
     

14. 如图，以为直径的半圆与，相切于，两点，，，三点共线，若弧的长为，，则阴影部分的面积为______．

15. 在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为其中为常数且，则称点为点的“关联点”已知点在反比例函数的图象上运动，且点是点的“关联点”，当线段最短时，点的坐标为______．
16. 如图，在矩形中，点在边上，把沿直线翻折，得到，的延长线交于点为的中点，连结，若点，，在同一条直线上，，则的长为______，的值为______．
     

三、解答题（本大题共8小题，共80.0分）

17. 化简：；
    计算：．
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，，，是方格纸中的格点，请按要求作图．
    在图中画出一个以，，，为顶点的格点平行四边形．
    在图中画出一个格点，使得．

19. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点．
    求点的坐标及抛物线的对称轴．
    当时，的最大值是求当时，的最小值．
    
    
    
    
    
    
     
20. 知往鉴今，以启未来．在中国共产党成立周年之际，重温党的历史，无论是对过去、现在还是将来，都具有重大而深远的意义．某校响应党总支号召，耕读党史故事，体味红色历程，开展了“学党史、感党恩、跟党走”的主题知识竞赛，全校同学均参与了此次竞赛．为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：：；：；：；：，并绘制出如下不完整的统计图如图．
    求被抽取的学生成绩在：组的有多少人；
    所抽取学生成绩的中位数落在哪个组内；
    若该学校有名学生，估计这次竞赛成绩在：组的学生有多少人．

21. 宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图是其示意图，其中、都与地面平行，车轮半径为，，，坐垫与点的距离为．
    求坐垫到地面的距离；
    根据经验，当坐垫到的距离调整为人体腿长的时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫调整至坐骑舒适高度位置，求的长．
    结果精确到，参考数据：，，

22. 已知，两地之间有一条长千米的公路．甲车从地出发匀速开往地，甲车出发半小时后，乙车从地出发沿同一路线匀速追赶甲车，两车相遇后，乙车原路原速返回地．两车之间的距离千米与甲车行驶时间小时之间的函数关系如图所示，请解答下列问题：
    甲车的速度是______千米时，乙车的速度是______千米时，______．
    求乙车返回过程中，与之间的函数关系式．
    当甲、乙两车相距千米时，直接写出甲车的行驶时间．

23. 【证明体验】
    如图，中，，是延长线上一点，连结，为的中点，为的中点，连结求证：．
    【思考探究】
    如图，在的条件下，设交干点若为的中点，，，求的长．
    【拓展延伸】
    如图，在菱形中，对角线，相交于点，是边的中点，在上，，连结交于点是的中点，连结并延长交边于点，若，求菱形的周长．

如图，已知是的直径，弦于点，点是线段延长线上的一点，连结交于点，连结交于点，连结．

求证：．
如图，若，求证：．
如图，连结，．
着，求的长；
求的最大值．







答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：，，
选项A、不符合题意，
，，，
，
，
比小的数是．
故选：．
先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再得出答案即可．
本题考查了实数的大小比较法则，能熟记实数的大小比较法则的内容是解此题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意．
故选：．
利用合并同类项，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的法则的掌握与应用．
 

3.【答案】
 

【解析】解：亿．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：数据，，，，的平均数是，
，
，
把这组数据从小到大排列为：，，，，，
则这组数据的中位数为；
故选：．
先根据平均数的定义求出的值，再根据中位数的定义进行解答即可．
本题考查了平均数和中位数，掌握平均数的计算公式和中位数的定义是解题的关键；中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数．
 

5.【答案】
 

【解析】解：设第根竹签长为，
已有两根长度分别是和的细竹签，
第三根可以构成三角形的范围是：，
其中，，符合题意，
则小明从盒子里随意抽取一根细竹签，恰能与已有的两根细竹签首尾顺次联结组成三角形的概率是：．
故选：．
根据三角形的三边关系确定第三根竹签长度的取值范围，再结合概率公式即可得出答案．
此题主要考查了概率公式以及三角形三边关系，正确得出符合题意的竹签长是解题关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：从上面看这个组合体，所看到的图形如下：

故选：．
根据简单组合体的三视图的画法得出从上面看所得到的图形即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义和三视图的画法是正确判断的前提．
 

7.【答案】
 

【解析】解：设索长为尺，竿子长为尺，
根据题意，可列方程组为，
故选：．
设索长为尺，竿子长为尺，根据“索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：连接，

是边上的中线，点为的中点，
为的中位线，
，，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
为的中点，，
，
，
，
，
解得，
．
故选：．
连接，利用中位线的性质可得，，由平行线的性质及等腰三角形的判定与性质可证明≌，进而可证得，结合中点的定义及直角三角形的性质可得，，利用勾股定理可求解的长，进而可求得的长．
本题主要考查勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的中位线等知识的综合运用，解题的关键在于求出．
 

9.【答案】
 

【解析】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
，，，
，，
设，，则点，点，
点、在反比例函数的图象上，
，即，
，，
，
，
，
故选：．
过点作轴于点，过点作轴于点，由，，，得，，设，，则点，点，再由反比例系数的几何意义得到，的表达式，最后由求得的取值．
本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，等腰三角形的性质，解题的关键是熟知反比例函数图象上点的坐标特征．
 

10.【答案】
 

【解析】解：设正方形纸片、、、边长分比为，，，，
则右上角阴影部分的周长为，
左下角阴影部分的周长为，
右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长之差为：

，
要求出两个阴影部分周长的差，只要知道图形的周长即可，
故选：．
先设出正方形纸片、、、边长分比为，，，，然后即可表示出两个阴影部分的周长，然后作差，观察结果，即可解答本题．
本题考查整式的加减，解答本题的关键是表示出阴影部分的周长．
 

11.【答案】
 

【解析】解：，
的立方根为．
故答案为．
由于，然后根据立方根的定义求解．
本题考查了立方根：若一个数的立方等于，那么这个数叫的立方根，记作．
 

12.【答案】
 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：，，
，
将绕点顺时针旋转至，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质和平行线的性质可得，即可求解．
本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：连接，
设的度数为，
由题意得：，
解得：，即，
，
以为直径的半圆与，相切于，两点，
，，
，
，，
，
则，
阴影部分的面积，
故答案为：．
连接，根据弧长公式求出，解直角三角形求出、，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案．
本题考查的是切线的性质、扇形面积计算、解直角三角形的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、扇形面积公式是解题的关键．
 

15.【答案】或
 

【解析】解：设，
点是点的“关联点”，

点在函数的图象上，
，
即：或，
当点在直线上时，
设直线与轴、轴相交于点、，则、，
当时，线段最短，此时，
由，可得点；
设直线时，同理可得点；
故答案为：或
由点是点的“关联点”，可设点坐标，表示出点坐标，由点在函数的图象上，就得到点在一个一次函数的图象上，可求出这条直线与坐标轴的交点、，过作这条直线的垂线，这点到垂足之间的线段，此时最小，由可得出点的坐标．
考查反比例函数的图象上点的坐标特征、一次函数的图象和性质等知识，合理地把“坐标与线段的长”互相转化，是解决问题的关键，由于新定义一种概念，切实理解“关联点”的意义是解决问题的前提．
 

16.【答案】 
 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，，
由折叠的性质得：，，，
，
，
，
点，，在同一条直线上，
，，
为的中点，
，
设，则，
，
∽，
，
，
即，
解得：或舍去，
，
，，
，
，
故答案为：，．
先证，，设，则，再证∽，得，求出，则，然后证，即可求解．
本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数定义等知识，熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
；
原式

．
 

【解析】用完全平方公式和单项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可；
先通分算括号内的，把除化为乘，再分子、分母分解因式约分即可．
本题考查整式、分式的混合运算，解题的关键是掌握整式、分式运算的顺序及相关运算的法则．
 

18.【答案】解：如图中，平行四边形，平行四边形即为所求．


如图中，点即为所求．

 

【解析】根据平行四边形的定义，画出图形即可答案不唯一．
利用辅助圆结合圆周角定理画出图形即可答案不唯一．
本题考查作图应用与设计，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：将代入得，
点坐标为，
，
抛物线对称轴为直线．
，
抛物线开口向下，
抛物线对称轴为直线，
当时，时取最大值，
将代入得，
解得，
，
将代入得，
的最小值为．
 

【解析】将代入解析式求点坐标，由抛物线对称轴为直线可得抛物线的对称轴．
由可得时取最大值，从而可得的值，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
 

20.【答案】解：由图可知，组人数为，所占的百分比为，
本次抽取的总人数为：人，
答：抽取的学生成绩在：组的人数为：人；

总人数为人，故中位数为按大小顺序排列后第与个人成绩的平均数，
，且，
中位数落在组；

本次调查中竞赛成绩在：组的学生的频率为，
于是可估计该学校名学生中竞赛成绩在：组的学生人数大约有人．
答：这次竞赛成绩在：组的学生有人．
 

【解析】根据组人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，再根据条形统计图中的数据，即可得到组的人数；
根据条形统计图中的数据，可以得到所抽取学生成绩的中位数落在哪个组内；
根据条形统计图中的数据，可以计算出这次竞赛成绩在：组的学生有多少人．
本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是根据组人数和所占的百分比求得本次调查的总人数．
 

21.【答案】解：如图，过点作于点，

由题意知、，
，
则单车坐垫到地面的高度为；

如图所示，过点作于点，

由题意知，
则，
．
 

【解析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数进行解答．
作于点，由可得答案；
作于点，先根据求得的长度，再根据可得答案
 

22.【答案】   
 

【解析】解：由图象可得，
甲车的速度为：千米时，
乙车的速度为：千米时，
，
故答案为：，，；
当时，，
设乙车返回过程中，与之间的函数关系式是，
点，在该函数图象上，
，
解得，
即乙车返回过程中，与之间的函数关系式是；
当时，，
解得，
答：当甲、乙两车相距千米时，甲车的行驶时间是小时．
根据题意和函数图象中的数据，可以先计算出甲车的速度，再根据小时时两车相遇可以计算出乙车的速度，然后根据乙车原路原速返回地，可以写出的值；
根据中的结果，可以写出当时对应的的值，从而可以求出乙车返回过程中，与之间的函数关系式；
将代入中的函数解析式，求出相应的的值，也就是当甲、乙两车相距千米时，甲车的行驶时间．
本题考查一次函数的应用，从函数图象中获取解答本题的信息是解答本题的关键，用到的数学思想是数形结合的思想．
 

23.【答案】证明：如图中，连接．

，，
，
，
，
；

解：如图中，连接．

是的中点，是的中点，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，，
设，则，
，
，
解得或舍去，
；

解：如图中，

四边形是菱形，
，，，
是的中点，
，
，
∽，
，
设菱形的边长为，
，，
，
解得，
菱形的周长．
 

【解析】利用等腰三角形的三线合一，直角三角形斜边中线的性质解决问题即可；
证明∽，可得，求出，，设，则，利用勾股定理构建方程，可得结论；
证明∽，推出，设菱形的边长为，构建方程求解．
本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，相似三角形端点判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
 

24.【答案】证明：连接，如图，

是的直径，
．
．
弦于点，
．
．
，
．
证明：连接，如图，

是的直径，弦，
．
，
．
．
．
即．
．
解：过点作于点，连接，，如图，

，，
，．
．
弦于点，
．
，．
由得：．
．
，
．
设，则．
，，
．
，
．
．
．
连接，如图，

四边形是圆的内接四边形，
．
．
，
当取最大值时，最大．
点为上任意一点，
当点为的中点时，的面积最大．
若为的中点，连接，交于点，如图，

则，且，
，
．
．
．


的最大值为：．
 

【解析】连接，利用垂径定理和圆周角定理解答即可；
连接，利用垂径定理和在同圆或等圆中等弦对等弧，等弧对等弦解答即可；
过点作于点，连接，，利用勾股定理和直角三角形的边角关系求得；设，则，利用垂径定理求得的长度，再利用平行线的性质得出比例式即可求得结论；
利用与的面积的关系，当的面积取最大值时，最大；利用的面积的值解答即可求得结论．
本题主要考查了垂径定理，圆周角定理及其推论，圆心角，弧，弦，弦心距之间的关系定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，连接直径所对的圆周角和作出圆的弦心距是解决此类问题常添加的辅助线．