人教版中考数学二轮复习难点题型突破-- 一次函数的综合应用（原卷版+解析版）

这是一份人教版中考数学二轮复习难点题型突破-- 一次函数的综合应用（原卷版+解析版），共28页。试卷主要包含了，点B在直线l，x+1均为一次函数，m为常数，已知等内容，欢迎下载使用。
专题11 一次函数的综合应用
1．（2021•金华中考）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣，0），点B在直线l：y＝x上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．
（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．
①若BA＝BO，求证：CD＝CO．
②若∠CBO＝45°，求四边形ABOC的面积．
（2）是否存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．

2．（2021•宁夏中考）如图，已知直线y＝kx+3与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B，sin∠OAB＝．
（1）求k的值；
（2）D、E两点同时从坐标原点O出发，其中点D以每秒1个单位长度的速度，沿O→A→B的路线运动，点E以每秒2个单位长度的速度，沿O→B→A的路线运动．当D，E两点相遇时，它们都停止运动，设运动时间为t秒．
①在D、E两点运动过程中，是否存在DE∥OB？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
②若设△OED的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求出t为多少时，S的值最大？

3．（2021•衡阳中考）如图，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（6，0），动点P、Q同时从点O出发，分别沿x轴正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P到达点B时点P、Q同时停止运动．过点Q作MN∥OB分别交AO、AB于点M、N，连接PM、PN．设运动时间为t（秒）．
（1）求点M的坐标（用含t的式子表示）；
（2）求四边形MNBP面积的最大值或最小值；
（3）是否存在这样的直线l，总能平分四边形MNBP的面积？如果存在，请求出直线l的解析式；如果不存在，请说明理由；
（4）连接AP，当∠OAP＝∠BPN时，求点N到OA的距离．

4．（2021•沈阳中考）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线y＝kx+15（k≠0）经过点C（3，6），与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段CD平行于x轴，交直线y＝x于点D，连接OC，AD．
（1）填空：k＝　 　，点A的坐标是（ 　 　，　 　）；
（2）求证：四边形OADC是平行四边形；
（3）动点P从点O出发，沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线DO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒．
①当t＝1时，△CPQ的面积是 　 　．
②当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时，请直接写出此时t的值．

5．（2021•温州模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于点B，C，正方形AOCD的顶点D在第二象限内，E是BC中点，OF⊥DE于点F，连接OE．动点P在AO上从点A向终点O匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某一点Q1向终点Q2匀速运动，它们同时到达终点．

（1）求点B的坐标和OE的长．
（2）设点Q2为（m，n），当＝tan∠EOF时，求点Q2的坐标．
（3）根据（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合．
①延长AD交直线BC于点Q3，当点Q在线段Q2Q3上时，设Q3Q＝s，AP＝t，求s关于t的函数表达式．
②当PQ与△OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长．
6．（2020•宜昌中考）已知函数y1＝x+2m﹣1，y2＝（2m+1）x+1均为一次函数，m为常数．

（1）如图1，将直线AO绕点A（﹣1，0）逆时针旋转45°得到直线l，直线l交y轴于点B．若直线l恰好是y1＝x+2m﹣1，y2＝（2m+1）x+1中某个函数的图象，请直接写出点B坐标以及m可能的值；
（2）若存在实数b，使得|m|﹣（b﹣1）＝0成立，求函数y1＝x+2m﹣1，y2＝（2m+1）x+1图象间的距离；
（3）当m＞1时，函数y1＝x+2m﹣1图象分别交x轴，y轴于C，E两点，y2＝（2m+1）x+1图象交x轴于D点，将函数y＝y1•y2的图象最低点F向上平移个单位后刚好落在一次函数y1＝x+2m﹣1图象上．设y＝y1•y2的图象，线段OD，线段OE围成的图形面积为S，试利用初中知识，探究S的一个近似取值范围．（要求：说出一种得到S的更精确的近似值的探究办法，写出探究过程，得出探究结果，结果的取值范围两端的数值差不超过0.01．）
7．（2020•哈尔滨中考）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，OA＝OB，过点A作x轴的垂线与过点O的直线相交于点C，直线OC的解析式为y＝x，过点C作CM⊥y轴，垂足为M，OM＝9．
（1）如图1，求直线AB的解析式；
（2）如图2，点N在线段MC上，连接ON，点P在线段ON上，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交OC于点E，若NC＝OM，求的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F为线段AB上一点，连接OF，过点F作OF的垂线交线段AC于点Q，连接BQ，过点F作x轴的平行线交BQ于点G，连接PF交x轴于点H，连接EH，若∠DHE＝∠DPH，GQ﹣FG＝AF，求点P的坐标．

8．（2021•衢州模拟）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝，y＝那么称点T是点A，B的融合点．
例如：A（﹣1，8），B（4，﹣2），当点T（x，y）满足x＝＝1，y＝＝2时，则点T（1，2）是点A，B的融合点．
（1）已知点A（﹣1，5），B（7，7），C（2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点．
（2）如图，点D（3，0），点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点．
①试确定y与x的关系式．
②若直线ET交x轴于点H．当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．


专题11 一次函数的综合应用
1．（2021•金华中考）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣，0），点B在直线l：y＝x上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．
（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．
①若BA＝BO，求证：CD＝CO．
②若∠CBO＝45°，求四边形ABOC的面积．
（2）是否存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．

（1）①证明：∵BC⊥AB，CO⊥BO，
∴∠ABC＝∠BOC＝90°，
∴∠BAD+∠ADB＝∠COD+∠DOB＝90°，
∵BA＝BO，
∴∠BAD＝∠DOB，
∴∠ADB＝∠COD，
∵∠ADB＝∠CDO，
∴∠COD＝∠CDO，
∴CD＝CO；
②解：过A作AM⊥OB于M，过M作MN⊥y轴于N，如图：

∵M在直线l：y＝x上，设M（m，m），
∴MN＝|m|＝﹣m，ON＝|m|＝﹣m，
Rt△MON中，tan∠OMN＝＝，
而OA∥MN，
∴∠AOM＝∠OMN，
∴tan∠AOM＝，即＝，
设AM＝3n，则OM＝8n，
Rt△AOM中，AM2+OM2＝OA2，
又A的坐标为（﹣，0），
∴OA＝，
∴（3n）2+（8n）2＝（）2，
解得n＝1（n＝﹣1舍去），
∴AM＝3，OM＝8，
∵∠CBO＝45°，CO⊥BO，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∵BC⊥AB，∠CBO＝45°，
∴∠ABM＝45°，
∵AM⊥OB，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴AM＝BM＝3，BO＝CO＝OM﹣BM＝5，
∴等腰直角三角形△ABM中，AB＝AM＝3，
等腰直角三角形△BOC中，BC＝BO＝5，
∴S△ABC＝AB•BC＝15，S△BOC＝BO•CO＝，
∴S四边形ABOC＝S△ABC+S△BOC＝；
（2）解：存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，理由如下：
（一）过A作AM⊥OB于M，当B在线段OM或OM延长线上时，如图：


由（1）②可知：AM＝3，OM＝8，
设OB＝x，则BM＝|8﹣x|，AB＝，
∵CO⊥BO，AM⊥BO，AB⊥BC，
∴∠AMB＝∠BOC＝90°，∠ABM＝90°﹣∠OBC＝∠BCO，
∴△AMB∽△BOC，
∴＝，即＝，
∴OC＝，
Rt△BOC中，BC＝＝，
∵∠ABC＝∠BOC＝90°，
∴以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，分两种情况：
①若＝，则＝，
解得x＝4，
∴此时OB＝4；
②若＝，则＝，
解得x1＝4+，x2＝4﹣，x3＝9，x4＝﹣1（舍去），
∴OB＝4+或OB＝4﹣或OB＝9；
（二）当B在线段MO延长线上时，如图：

由（1）②可知：AM＝3，OM＝8，
设OB＝x，则BM＝8+x，AB＝，
∵CO⊥BO，AM⊥BO，AB⊥BC，
∴∠AMB＝∠BOC＝90°，∠ABM＝90°﹣∠OBC＝∠BCO，
∴△AMB∽△BOC，
∴＝，即＝，
∴OC＝•（8+x），
Rt△BOC中，BC＝＝•，
∵∠ABC＝∠BOC＝90°，
∴以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，需满足＝，即＝，
解得x1＝﹣9（舍去），x2＝1，
∴OB＝1，
综上所述，以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，则OB 的长度为：4或4+或4﹣或9或1；
2．（2021•宁夏中考）如图，已知直线y＝kx+3与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B，sin∠OAB＝．
（1）求k的值；
（2）D、E两点同时从坐标原点O出发，其中点D以每秒1个单位长度的速度，沿O→A→B的路线运动，点E以每秒2个单位长度的速度，沿O→B→A的路线运动．当D，E两点相遇时，它们都停止运动，设运动时间为t秒．
①在D、E两点运动过程中，是否存在DE∥OB？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
②若设△OED的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求出t为多少时，S的值最大？

解：（1）直线y＝kx+3，当x＝0时，y＝3，
∴B（0，3），
∴OB＝3，
∵∠AOB＝90°，且sin∠OAB＝，
∴＝，
∵AB＝OB＝×3＝5，
∴OA＝＝4，
∴A（4，0），
把A（4，0）代入y＝kx+3得0＝4k+3，
解得k＝．
（2）①不存在，理由如下：
在OA上取一点F（，0），连接BF，
当0＜t＜时，如图1，OD＝t，OE＝2t，

∵＝＝，＝＝，
∴＝，
∵∠DOE＝∠FOB，
∴△ODE∽△OFB，
∴∠ODE＝∠OFB，
∴DE∥BF，
当t＝时，DE与BF重合，
∴当0＜t≤时，不存在DE∥OB；
当＜t＜4时，如图2，AF＝4＝，AD＝4﹣t，AE＝8﹣2t，
∵＝＝，＝，
∴＝，
同理可证DE∥BF，
∴此时不存在DE∥OB，
综上所述，不存在DE∥OB．
②当0＜t≤时，如图1，S△OED＝OD•OE＝t×2t＝t2，

∴S＝t2，
∵a＝1＞0，
∴S随t的增大而增大，
∴当t＝时，S最大＝（）2＝；
当＜t＜4时，如图2，作EG⊥x轴，则EG∥BO，

∴△AGE∽△AOB，
∴＝，
∴GE＝•AE＝（8﹣2t），
∴S△OED＝OD•GE＝×t（8﹣2t）＝t2+t，
∴S＝t2+t，
∵S＝t2+t＝（t﹣2）2+，且＜0，＜2＜4，
∴当t＝2时，S最大＝，
∵＞，
∴当t＝2时，S的最大值为，
综上所述，S＝，当t＝2时，S的最大值为．
3．（2021•衡阳中考）如图，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（6，0），动点P、Q同时从点O出发，分别沿x轴正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P到达点B时点P、Q同时停止运动．过点Q作MN∥OB分别交AO、AB于点M、N，连接PM、PN．设运动时间为t（秒）．
（1）求点M的坐标（用含t的式子表示）；
（2）求四边形MNBP面积的最大值或最小值；
（3）是否存在这样的直线l，总能平分四边形MNBP的面积？如果存在，请求出直线l的解析式；如果不存在，请说明理由；
（4）连接AP，当∠OAP＝∠BPN时，求点N到OA的距离．

解：（1）过点A作x轴的垂线，交MN于点E，交OB于点F，
由题意得：OQ＝2t，OP＝3t，PB＝6﹣3t，
∵O（0，0），A（3，4），B（6，0），
∴OF＝FB＝3，AF＝4，OA＝AB＝，
∵MN∥OB，
∴∠OQM＝∠OFA，∠OMQ＝∠AOF，
∴△OQM∽△AFO，
∴，
∴，
∴QM＝，
∴点M的坐标是（）．
（2）∵MN∥OB，
∴四边形QEFO是矩形，
∴QE＝OF，
∴ME＝OF﹣QM＝3﹣，
∵OA＝AB，
∴ME＝NE，
∴MN＝2ME＝6﹣3t，
∴S四边形MNBP＝S△MNP+S△BNP
＝MN•OQ+•BP•OQ
＝
＝﹣6t2+12t
＝﹣6（t﹣1）2+6，
∵点P到达点B时，P、Q同时停止，
∴0＜t＜2，
∴t＝1时，四边形MNBP的最大面积为6，四边形MNBP面积不存在最小值．
（3）∵MN＝6﹣3t，BP＝6﹣3t，
∴MN＝BP，
∵MN∥BP，
∴四边形MNBP是平行四边形，
∴平分四边形MNBP面积的直线经过四边形的中心，即MB的中点，
设中点为H（x，y），
∵M（），B（6，0），
∴x＝＝，
y＝．
∴x＝，
化简得：y＝，
∴直线l的解析式为：y＝．
（4）①当t＝0时，点M和点P均在点O处，∠BPN＝∠OAP＝0°，
此时点N在点B处，
∴点N到OA的距离为△OAB边OA上的高，记为h，
∵S△OAB＝OB•AF＝OA•h，
∴×6×4＝×5h，
∴点N到OA的距离为：h＝；
②当0＜t＜2时，
∵OA＝AB，
∴∠AOB＝∠PBN，
又∵∠OAP＝∠BPN，
∴△AOP∽△PBN，
∴，
∴，
解得：t1＝，t2＝0（舍去）．
∵MN＝6﹣3t，AE＝AF﹣OQ，ME＝3﹣，
∴MN＝6﹣3×，
AE＝，
ME＝，
∴AM＝．
设点N到OA的距离为h，
∵S△AMN＝MN•AE＝AM•h，
∴，
解得：h＝；
③当t＝2时，不符合题意；
综上所述：点N到OA的距离为或．

4．（2021•沈阳中考）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线y＝kx+15（k≠0）经过点C（3，6），与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段CD平行于x轴，交直线y＝x于点D，连接OC，AD．
（1）填空：k＝　﹣3　，点A的坐标是（ 　5　，　0　）；
（2）求证：四边形OADC是平行四边形；
（3）动点P从点O出发，沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线DO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒．
①当t＝1时，△CPQ的面积是 　12　．
②当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时，请直接写出此时t的值．

解：（1）∵直线y＝kx+15（k≠0）经过点C（3，6），
∴3k+15＝6，
解得k＝﹣3，
即直线的解析式为y＝﹣3x+15，
当y＝0时，x＝5，
∴A（5.0），
故答案为：﹣3，5，0；
（2）∵线段CD平行于x轴，
∴D点的纵坐标与C点一样，
又∵D点在直线y＝x上，
当y＝6时，x＝8，
即D（8，6），
∴CD＝8﹣3＝5，
∵OA＝5，
∴OA＝CD，
又∵OA∥CD，
∴四边形OADC是平行四边形；
（3）①作CH⊥OD于H，

∵H点在直线y＝x上，
∴设H点的坐标为（m，m），
∴CH2＝（m﹣3）2+（m﹣6）2，DH2＝（m﹣8）2+（m﹣6）2，
由勾股定理，得CH2+DH2＝CD2，
即（m﹣3）2+（m﹣6）2+（m﹣8）2+（m﹣6）2＝52，
整理得m＝或8（舍去），
∴CH＝3，
∵OD＝＝10，
∴当t＝1时，PQ＝OD﹣t﹣t＝10﹣1﹣1＝8，
∴S△CPQ＝PQ•CH＝×8×3＝12，
故答案为：12；
②∵OD＝10，
当0≤t≤5时，PQ＝10﹣2t，
当5≤t≤10时，PQ＝2t﹣10，
当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时，PQ＝AC，
∵AC＝＝2，
当0≤t≤5时，10﹣2t＝2，
解得t＝5﹣，
当5≤t≤10时，2t﹣10＝2，
解得t＝5+，
综上，当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时t的值为5﹣或5+．
5．（2021•温州模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于点B，C，正方形AOCD的顶点D在第二象限内，E是BC中点，OF⊥DE于点F，连接OE．动点P在AO上从点A向终点O匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某一点Q1向终点Q2匀速运动，它们同时到达终点．

（1）求点B的坐标和OE的长．
（2）设点Q2为（m，n），当＝tan∠EOF时，求点Q2的坐标．
（3）根据（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合．
①延长AD交直线BC于点Q3，当点Q在线段Q2Q3上时，设Q3Q＝s，AP＝t，求s关于t的函数表达式．
②当PQ与△OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长．
解：（1）令y＝0，则﹣x+4＝0，
∴x＝8，
∴B（8，0），
∵C（0，4），
∴OC＝4，OB＝8，
在Rt△BOC中，BC＝＝4，
又∵E为BC中点，
∴OE＝BC＝2；
（2）如图1，作EM⊥OC于M，则EM∥CD，

∵E是BC的中点
∴M是OC的中点
∴EM＝OB＝4，OE＝BC＝2
∵∠CDN＝∠NEM，∠CND＝∠MNE
∴△CDN∽△MEN，
∴＝1，
∴CN＝MN＝1，
∴EN＝＝，
∵S△ONE＝EN•OF＝ON•EM，
∴OF＝＝，
由勾股定理得：EF＝＝＝，
∴tan∠EOF＝＝＝，
∴＝＝，
∵n＝﹣m+4，
∴m＝6，n＝1，
∴Q2（6，1）；
（3）①∵动点P、Q同时做匀速直线运动，
∴s关于t成一次函数关系，设s＝kt+b，
∵当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合，
∴t＝2时，CD＝4，DQ3＝2，
∴s＝Q3C＝＝2，
∵Q3（﹣4，6），Q2（6，1），
∴t＝4时，s＝＝5，
将和代入得，解得：，
∴s＝﹣，
∵s≥0，t≥0，且＞0，
∴s随t的增大而增大，
当s≥0时，﹣≥0，即t≥，当t＝时，Q3与Q重合，
∵点Q在线段Q2Q3上，
综上，s关于t的函数表达式为：s＝﹣（≤t≤4）；
②（i）当PQ∥OE时，如图2，∠QPB＝∠EOB＝∠OBE，
作QH⊥x轴于点H，则PH＝BH＝PB，

Rt△ABQ3中，AQ3＝6，AB＝4+8＝12，
∴BQ3＝＝6，
∵BQ＝6﹣s＝6﹣t+＝7﹣t，
∵cos∠QBH＝＝＝＝，
∴BH＝14﹣3t，
∴PB＝28﹣6t，
∴t+28﹣6t＝12，t＝；
（ii）当PQ∥OF时，如图3，过点Q作QG⊥AQ3于点G，过点P作PH⊥GQ于点H，

由△Q3QG∽△CBO得：Q3G：QG：Q3Q＝1：2：，
∵Q3Q＝s＝t﹣，
∴Q3G＝t﹣1，GQ＝3t﹣2，
∴PH＝AG＝AQ3﹣Q3G＝6﹣（t﹣1）＝7﹣t，
∴QH＝QG﹣AP＝3t﹣2﹣t＝2t﹣2，
∵∠HPQ＝∠CDN，
∴tan∠HPQ＝tan∠CDN＝，
∴2t﹣2＝，t＝，
（iii）由图形可知PQ不可能与EF平行，
综上，当PQ与△OEF的一边平行时，AP的长为或．
6．（2020•宜昌中考）已知函数y1＝x+2m﹣1，y2＝（2m+1）x+1均为一次函数，m为常数．

（1）如图1，将直线AO绕点A（﹣1，0）逆时针旋转45°得到直线l，直线l交y轴于点B．若直线l恰好是y1＝x+2m﹣1，y2＝（2m+1）x+1中某个函数的图象，请直接写出点B坐标以及m可能的值；
（2）若存在实数b，使得|m|﹣（b﹣1）＝0成立，求函数y1＝x+2m﹣1，y2＝（2m+1）x+1图象间的距离；
（3）当m＞1时，函数y1＝x+2m﹣1图象分别交x轴，y轴于C，E两点，y2＝（2m+1）x+1图象交x轴于D点，将函数y＝y1•y2的图象最低点F向上平移个单位后刚好落在一次函数y1＝x+2m﹣1图象上．设y＝y1•y2的图象，线段OD，线段OE围成的图形面积为S，试利用初中知识，探究S的一个近似取值范围．（要求：说出一种得到S的更精确的近似值的探究办法，写出探究过程，得出探究结果，结果的取值范围两端的数值差不超过0.01．）
解：（1）由题意，OA＝OB＝1，
∴B（0，1），
当y1＝x+2m﹣1是直线l时，2m﹣1＝1，解得m＝1，
当直线y2＝（2m+1）x+1是直线l时，2m+1＝1，解得m＝0，
∴B（0，1），m的值为1或0．

（2）∵|m|﹣（b﹣1）＝0，
∵1﹣b≥0，
∴b﹣1≤0，
∵|m|≥0，﹣（b﹣1）≥0，
∴m＝0，b＝1，
∴y1＝x﹣1，y2＝x+1，
如图1中，设直线y＝x+1交x轴于G，交y轴于H，直线y＝x﹣1交x轴于T，交y轴于P．

∵OG＝OT＝OH＝OP＝1，GT⊥PH，
∴四边形PTHG是正方形，
∴PG＝＝，
∴直线y1＝x﹣1与直线y2＝x+1之间的距离为．

（3）∵y1＝x+2m﹣1图象分别交x轴，y轴于C，E两点，y2＝（2m+1）x+1图象交x轴于D点，
∴C（1﹣2m，0），E（0，2m﹣1），D（﹣，0），
∵y＝y1•y2＝（2m+1）x2+4m2x+2m﹣1，
∵m＞1，
∴2m+1＞0，
∴二次函数y＝（2m+1）x2+4m2x+2m﹣1的开口向上，图象的最低点是顶点，
∴顶点F（﹣，﹣），
∵函数y＝y1•y2的图象最低点F向上平移个单位后刚好落在一次函数y1＝x+2m﹣1图象上，
∴﹣+＝﹣+（2m﹣1）且m＞1，
解得m＝2，
∴y＝y1•y2＝5x2+16x+3，y1＝x+3，y2＝5x+1，
∴D（﹣，0），E（0，3），
由y＝5x2+16x+3得到与x轴，y轴的交点为（﹣3，0），（﹣，0），（0，3），
∴抛物线经过D（﹣，0），E（0，3）两点，
∴y＝y1•y2的图象，线段OD，线段OE围成的图形是封闭图形，S为该封闭图形的面积，
探究方法：利用规则图形面积来估计不规则图形的面积．
①观察大于S的情形，如图2中，易知S△DEO＞S，
∵D（﹣，0），E（0，3），
∴S△ODE＝×3×＝，
∴S＜．
②观察小于S的情形，
当直线MN∥DE且与抛物线相切时，设直线MN与x，y轴分别交于M，N，
∵直线DE的解析式为y＝15x+3，设直线MN的解析式为y＝15x+b1，
由，消去y得到，5x2+x+3﹣b1＝0，
由题意Δ＝0，1﹣20（3﹣b1）＝0，
解得b1＝，
∴直线MN的解析式为y＝15x+，
∴M（﹣，0），N（0，），
∴S△MON＝××＝，
∴S＞，
综上所述，＜S＜．

7．（2020•哈尔滨中考）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，OA＝OB，过点A作x轴的垂线与过点O的直线相交于点C，直线OC的解析式为y＝x，过点C作CM⊥y轴，垂足为M，OM＝9．
（1）如图1，求直线AB的解析式；
（2）如图2，点N在线段MC上，连接ON，点P在线段ON上，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交OC于点E，若NC＝OM，求的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F为线段AB上一点，连接OF，过点F作OF的垂线交线段AC于点Q，连接BQ，过点F作x轴的平行线交BQ于点G，连接PF交x轴于点H，连接EH，若∠DHE＝∠DPH，GQ﹣FG＝AF，求点P的坐标．

解：（1）∵CM⊥y轴，OM＝9，
∴y＝9时，9＝x，解得x＝12，
∴C（12，9），
∵AC⊥x轴，
∴A（12，0），
∵OA＝OB，
∴B（0，﹣12），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，则有，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣12．

（2）如图2中，

∵∠CMO＝∠MOA＝∠OAC＝90°，
∴四边形OACM是矩形，
∴AO＝CM＝12，
∵NC＝OM＝9，
∴MN＝CM﹣NC＝12﹣9＝3，
∴N（3，9），
∴直线ON的解析式为y＝3x，设点E的横坐标为4a，则D（4a，0），
∴OD＝4a，
把x＝4a，代入y＝x中，得到y＝3a，
∴E（4a，3a），
∴DE＝3a，
把x＝4a代入，y＝3x中，得到y＝12a，
∴P（4a，12a），
∴PD＝12a，
∴PE＝PD﹣DE＝12a﹣3a＝9a，
∴＝．

（3）如图3中，设直线FG交CA的延长线于R，交y轴于S，过点F作FT⊥OA于T．

∵GF∥x轴，
∴∠OSR＝∠MOA＝90°，∠CAO＝∠R＝90°，∠BOA＝∠BSG＝90°，∠OAB＝∠AFR，
∴∠OFR＝∠R＝∠AOS＝∠BSG＝90°，
∴四边形TFRA是矩形，
∴OS＝AR，
∴SR＝OA＝12，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°，
∴∠FAR＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FAR＝∠AFR，
∴FR＝AR＝OS，
∵OF⊥FQ，
∴∠OSR＝∠R＝∠OFQ＝90°，
∴∠OFS+∠QFR＝90°，
∵∠QFR+∠FQR＝90°，
∴∠OFS＝∠FQR，
∴△OFS≌△FQR（AAS），
∴SF＝QR，
∵∠SFB＝∠AFR＝45°，
∴∠SBF＝∠SFB＝45°，
∴SF＝SB＝QR，
∵∠SGB＝∠QGR，∠BSG＝∠R，
∴△BSG≌△QRG（AAS），
∴SG＝GR＝6，
设FR＝m，则AR＝m，AF＝m，QR＝SF＝12﹣m，
∵GQ﹣FG＝AF，
∴GQ＝×m+6﹣m＝m+6，
∵GQ2＝GR2+QR2，
∴（m+6）2＝62+（12﹣m）2，
解得m＝4，
∴FS＝8，AR＝4，
∵∠OAB＝∠FAR，FT⊥OA，FR⊥AR，
∴FT＝FR＝AR＝4，∠OTF＝90°，
∴四边形OSFT是矩形，
∴OT＝SF＝8，
∵∠DHE＝∠DPH，
∴tan∠DHE＝tan∠DPH，
∴＝，
由（2）可知DE＝3a，PD＝12a，
∴＝，
∴DH＝6a，
∴tan∠PHD＝＝＝2，
∵∠PHD＝∠FHT，
∴tan∠FHT＝＝2，
∴HT＝2，
∵OT＝OD+DH+HT，
∴4a+6a+2＝8，
∴a＝，
∴OD＝，PD＝12×＝，
∴P（，）．
8．（2021•衢州模拟）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝，y＝那么称点T是点A，B的融合点．
例如：A（﹣1，8），B（4，﹣2），当点T（x，y）满足x＝＝1，y＝＝2时，则点T（1，2）是点A，B的融合点．
（1）已知点A（﹣1，5），B（7，7），C（2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点．
（2）如图，点D（3，0），点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点．
①试确定y与x的关系式．
②若直线ET交x轴于点H．当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．

解：（1）x＝（﹣1+7）＝2，y＝（5+7）＝4，
故点C是点A、B的融合点；

（2）①由题意得：x＝（t+3），y＝（2t+3），
则t＝3x﹣3，
则y＝（6x﹣6+3）＝2x﹣1；
②当∠DHT＝90°时，如图1所示，

点E（t，2t+3），则T（t，2t﹣1），则点D（3，0），
由点T是点D，E的融合点得：
t＝，2t﹣1＝，
解得：t＝，即点E（，6）；
当∠TDH＝90°时，如图2所示，

则点T（3，5），
由点T是点D，E的融合点得：点E（6，15）；
当∠HTD＝90°时，如图3所示，

过点T作x轴的平行线交过点D与y轴平行的直线于点M，交过点E与y轴的平行线于点N，
则∠MDT＝∠NTE，则tan∠MDT＝tan∠NTE，
D（3，0），点E（t，2t+3），则点T（，）
则MT＝3﹣＝，MD＝，
NE＝﹣2t﹣3＝，NT＝﹣t＝，
由tan∠MDT＝tan∠NTE得：＝﹣，
解得：方程无解，故∠HTD不可能为90°．
故点E（，6）或（6，15）．