2021湘潭一中高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2021湘潭一中高一上学期期中考试数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了多选题，单空题，解答题 等内容，欢迎下载使用。
数学试卷时间120分钟，总分150分一、单选题本大题共8小题，每小题5分，共40.0分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。复数 等于A.  B.  C. i D. 已知，，则的坐标是      A.  B.  C.  D. 已知的三个角，，所对的边分别为a，b，c，其中，，，，则等于  A.  B.  C.  D. 已知某圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则此圆柱的体积为A.  B.  C.  D. 如图，所示，A，B为正方体的两个顶点，M，N为其所在棱的中点，则异面直线AB与MN所成角的大小为A.           B.              C.              D. 已知平面向量与的夹角为，且，则   A. 1 B. 2 C.  D. 已知的面积为，，且，则的周长为     A.  B.  C.  D. 12三棱锥三条侧棱两两垂直，三条侧棱长分别为1，，，则该三棱锥的外接球体积为　 　A.  B.  C.  D. 二、多选题：本大题共4小题，，每小题5分，共20.0分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，有选错的得0分，部分对得3分。设向量，，则下列结论中正确的是         B.  C.  D. 有下列命题：经过三点确定一个平面； 梯形可以确定一个平面；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．其中正确命题是A.  B.  C.  D. 正四棱台的上、下底面边长分别为1cm，3cm，侧棱长为2cm，设该棱台的体积为V，侧面积为S，则以下结论正确的是．A.  B.  C.  D. 如图，的三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a，b，c，为钝角，，，，则下列结论正确的有      A.         B.
C.       D. 的面积为三、单空题：本大题共4小题，每小题5分，共20.0分。已知向量，，若向量与垂直，则          ．已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的表面积为          ．已知m，n表示两条不同的直线，表示平面，下列说法中正确的是填序号 若，，则；    若，，则；     若，，则．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及；从C点测得已知山高，则山高________．四、解答题 ：本大题共7小题，每小题5分，共70.0分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。已知，．
求的坐标；
当k为何实数时，k与平行，平行时它们是同向还是反向？

 如图，梯形ABCD满足，将梯形ABCD绕AB所在直线旋转一周，所得几何体记为．
求的体积V；  求的表面积S．



 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，．
若，求sinA的值；
若的面积，求b、c的值． 如图所示，AB是的直径，点C在上，P是所在平面外一点，D是PB的中点。
求证：平面PAC；
若是边长为6的正三角形，，且，证明并求三棱锥的体积。



 在，，，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，________，，．求角B；     求的面积．
 在平面直角坐标系xOy中，设向量，，．若，求的值；设，，且，求的值．
 如图，已知在海岸A处，发现南偏东方向距A为海里的B处有一艘走私船，在A处正北方向，距A为海里的C处的缉私船立即奉命以海里时的速度追截走私船．
刚发现走私船时，求两船的距离；
若走私船正以海里时的速度从B处向南偏东方向逃窜，问：缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间最后结果精确到分钟，参考数据：，．

答案和解析1.A
解：原式．
2.B
解：．
3.A
解：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，
由正弦定理，即，解得，
又由，可得B为锐角，可得．
4.B
解：圆柱的正视图是面积为4的正方形，圆柱的底面半径为1，高为2．圆柱的体积．
5. C6.B
解：则：，据此可得：．
7.A
解：在中，角，，故由正弦定理可得，
再由，可得，，．
再由余弦定理可得，解得：．
故三角形的周长，
8.A
解：以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图
则长方体的外接球同时也是三棱锥外接球．
长方体的对角线长为，球直径为4，半径
因此，三棱锥外接球的体积是
9.AD
解：由向量，，可知，，故A正确
，故B错误
因为不存在使得，所以与不共线，故C错误
，所以，故D正确．
10.BC
解：对于，经过不在一条直线上的三点，可以确定一个平面，故错误；
对于，因为两平行直线可唯一确定一个平面，所以梯形可以确定一个平面，故正确；
对于，当两两相交的三条直线交于不同的三个点时，它们唯一确定一个平面，当两两相交的三条直线交于同一个点时，它们可以确定1个或3个平面，例如三角形内的三条高线，它们确定一个平面，例如三棱锥的三条侧棱，它们可以确定3个不同平面，所以两两相交的三条直线最多可以确定三个平面，故正确；
对于，两平面相交时，它们有一条公共边，即两个平面有无数个公共点，但这两个平面不重合，故错误．
11.AD
解：正四棱台的上、下底面边长分别为1 cm，3 cm，侧棱长为2 cm，高
所以棱台的斜高为：．
所以棱台的侧面积是：体积：
12.ABC
解：由，得：，又为钝角，解得：，
由余弦定理，，得：，解得，
可知为等腰三角形，即，所以，
解得，故A正确，可得，
在中，，得，可得，故B正确，
，可得，可得，故C正确，
，故D错误．
13.7解：向量，，，
向量与垂直，，解得．
14.解圆锥的底面半径为r，母线长为l，圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，
，，，圆锥的表面积为．
15.
解：中m，n可以平行、相交或异面；中或；
中直线n与平面的位置关系不确定；只有正确．
16.
解： 在中，，，则；
在中，因为，，，
所以由正弦定理，得，解得；
在中，；
17.解：因为，，所以．，，因为k与平行，所以，解得，所以k，，即时，k与平行，方向相反．18.解：几何体为圆柱与圆锥的组合体，圆锥和圆柱的底面半径为，
圆锥的高为，圆柱的高，．
圆锥的母线长．
几何体的面积．
 19解：，且， ，由正弦定理得，       ，，       由余弦定理得， ． 证明：为AB的中点，D为PB的中点，，
又平面PAC，平面PAC，平面PAC；
解：为圆O的直径，，
又，平面PAC，平面PAC，
，，，
．
21.解：若选择，由余弦定理，
因为，所以，若选择，
由正弦定理得，
因为，所以，，
因为，所以若选择，
则，所以，因为，所以，
解法由正弦定理得，由余弦定理得：，
即，解得，的面积．
解法由正弦定理得，，，．．．
的面积．
 22.【答案】 解：因为，，，所以，且．因为，所以，即，所以，即．因为，所以．依题意得．因为，所以．化简得，所以因为，所以．所以，即．
23.解：在中，因为海里，海里，，
由余弦定理，得海里 
答：刚发现走私船时，两船的距离为4海里．
根据正弦定理，可得，所以，易知，
设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获在点走私船，
则有海里，海里．而，
在中，根据正弦定理，可得，
所以，，所以根据正弦定理，得，
解得小时分钟．
答：缉私船沿南偏东方向，需47分钟才能追上走私船．