2021【KS5U解析】内江高一下学期期末考试数学（理科）试卷含解析

这是一份2021【KS5U解析】内江高一下学期期末考试数学（理科）试卷含解析，共14页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年四川省内江市高一（下）期末数学试卷（理科）
一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分）.
1．cos（2x﹣）cos2x+sin（2x﹣）sin2x＝（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
2．若a＞b，则一定有（　　）
A． B．|a|＞|b| C． D．a3＞b3
3．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5＝0，a6＝3，则S7＝（　　）
A．﹣12 B．﹣7 C．0 D．7
4．已知向量，，．若，则实数λ＝（　　）
A．2 B．1 C． D．
5．设α为锐角，若cos（α+）＝，则sin（2α+）的值为（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
6．已知x＞0，y＞0．且，若2x+y＞m恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，7] B．（﹣∞，7） C．（﹣∞，9] D．（﹣∞，9）
7．已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S．若asin＝bsinA，2S＝，则△ABC的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．正三角形 D．等腰直角三角形
8．中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“二百五十二里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走252里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，则最后一天走了（　　）
A．4里 B．16里 C．64里 D．128里
9．将函数的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍，再向右平移个单位长度，得到函数y＝f（x）的图象．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则△ABC的面积为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
10．已知等比数列{an}的各项均不相等，且满足a2+2a1＝6，a32＝2a6，则该数列的前4项和为（　　）
A．120 B．﹣120 C．3 D．﹣22.5
11．在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边，＝且，若点O是△ABC外一点，OA＝2，OB＝1．则平面四边形OACB的面积的最大值是（　　）
A． B． C．3 D．
12．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若ab＝，b+3acosC＝0，则当角B取得最大值时，在方向上的投影是（　　）
A． B． C． D．﹣
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．已知平面向量＝（2，5），＝（10，x），若⊥，则x＝　 　．
14．计算：sin60°cos15°﹣2sin215°cos15°＝　 　．
15．设a＞0，b＞0，且5ab+b2＝1，则a+b的最小值为　 　．
16．已知正项等比数列{an}中，a4﹣a2＝6，a5﹣a1＝15，则an＝　 　，又数列{bn}满足；若Sn为数列{an+1bn}的前n项和，那么S3n＝　 　．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、推演步骤．）
17．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝15，S6＝9S3．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝log2a2n，求数列{bn}的前n项和Tn．
18．已知||＝2，||＝3，（2﹣3）•（2+）＝﹣7．
（1）若﹣与3+k垂直，求k的值；
（2）求与+夹角的余弦值．
19．解关于x的不等式：ax2+（1﹣a）x﹣1＞0．
20．在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且满足2a＝．
（1）求出角A的值；
（2）若a＝2，求△ABC的周长的范围．
21．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝（b2+c2﹣a2）（1﹣tanA）．
（1）求角C；
（2）若，D为BC中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度．
条件①：△ABC的面积S＝4且B＞A；
条件②：．
22．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，当n≥2（n∈N*）时，（n﹣1）Sn﹣（n+1）Sn﹣1＝．
（1）计算：a2，a3；
（2）求{an}的通项公式；
（3）设bn＝tan，求数列{bn+1bn}的前n项和Tn．


参考答案
一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分）.
1．cos（2x﹣）cos2x+sin（2x﹣）sin2x＝（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
解：∵，，
∴cos（2x﹣）cos2x+sin（2x﹣）sin2x＝
＝＝．
故选：D．
2．若a＞b，则一定有（　　）
A． B．|a|＞|b| C． D．a3＞b3
解：对于A，若a＞0＞b，则＞，故A错误；
对于B，若0＞a＞b，则|a|＜|b|，故B错误；
对于C，若0＞a＞b，则a2＜b2，则＜，故C错误；
对于D，若a＞b，则a3＞b3显然成立，故D正确．
故选：D．
3．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5＝0，a6＝3，则S7＝（　　）
A．﹣12 B．﹣7 C．0 D．7
解：因为，
所以
．
故选：B．
4．已知向量，，．若，则实数λ＝（　　）
A．2 B．1 C． D．
解：∵向量，，．
∴＝（1，2）+λ（1，0）＝（1+λ，2），
∵，
∴4（1+λ）﹣3×2＝0，解得．
故选：C．
5．设α为锐角，若cos（α+）＝，则sin（2α+）的值为（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
解：∵α为锐角，cos＝，
∴∈，
∴＝＝．
则sin＝＝＝．
故选：B．
6．已知x＞0，y＞0．且，若2x+y＞m恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，7] B．（﹣∞，7） C．（﹣∞，9] D．（﹣∞，9）
解：∵，且x＞0，y＞0，
∴2x+y＝（2x+y）•（）＝4+1++≥5+2＝9，
当且仅当＝，即x＝y＝3时，等号成立，
∴2x+y的最小值为9，
∴m＜9．
故选：D．
7．已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S．若asin＝bsinA，2S＝，则△ABC的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．正三角形 D．等腰直角三角形
解：因为asin＝bsinA，
所以asin（﹣）＝acos＝bsinA，
由正弦定理可得sinAcos＝sinBsinA，
因为sinA≠0，可得cos＝sinB＝2sincos，
因为B∈（0，π），∈（0，），cos≠0，
所以可得sin＝，可得＝，可得B＝，
又2S＝，可得2×bcsinA＝•bccosA，即tanA＝，
因为A∈（0，π），可得A＝，
所以C＝π﹣A﹣B＝，则△ABC的形状是正三角形．
故选：C．
8．中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“二百五十二里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走252里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，则最后一天走了（　　）
A．4里 B．16里 C．64里 D．128里
解：有一个人走252里路，第一天健步行走，
从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，
则第n天走的里程数{an}是公比为的等比数列，
∴＝252，
解得a1＝128，
则最后一天走了a6＝128×＝4．
故选：A．
9．将函数的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍，再向右平移个单位长度，得到函数y＝f（x）的图象．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则△ABC的面积为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
解：由题意可得，，
∴．
∵0＜A＜π，∴．
∵，由余弦定理得，
整理得c2﹣8c+16＝0，得c＝4．
∴，∴△ABC的面积为8，
故选：C．
10．已知等比数列{an}的各项均不相等，且满足a2+2a1＝6，a32＝2a6，则该数列的前4项和为（　　）
A．120 B．﹣120 C．3 D．﹣22.5
解：等比数列{an}的各项均不相等，且满足a2+2a1＝6，a32＝2a6，
∴，
解得a1＝﹣6，q＝﹣3，
∴该数列的前4项和为：
S4＝＝120．
故选：A．
11．在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边，＝且，若点O是△ABC外一点，OA＝2，OB＝1．则平面四边形OACB的面积的最大值是（　　）
A． B． C．3 D．
解：由，
所以sinBcosA+sinAcosB＝sinA，
所以sin（A+B）＝sinA，即sinC＝sinA，
所以C＝A，
又＝，可得＝，可得cosB＝cosC，可得B＝C，
所以△ABC为等边三角形，
由余弦定理得a2＝12+22﹣2×2cosθ，
则SOACB＝×1×2sinθ+a2＝sinθ+（5﹣4cosθ）＝2sin（θ−）+，
当θ＝时，四边形OACB面积取得最大值．
故选：A．
12．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若ab＝，b+3acosC＝0，则当角B取得最大值时，在方向上的投影是（　　）
A． B． C． D．﹣
解：由b+3acosC＝0，得cosC＜0，
由正弦定理可得sinB+3sinAcosC＝0，
由sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，可得4sinAcosC+cosAsinC＝0，
∴tanC＝﹣4tanA，由角C为钝角，可得角A为锐角，即tanA＞0，
从而tanB＝﹣tan（A+C）＝﹣＝＝
，当且仅当tanA＝时等号成立，
此时角B取最大值，且tanB＝，tanC＝﹣4×，
则cosC＝，cosB＝．
联立，解得a＝．
∴在方向上的投影是＝．
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．已知平面向量＝（2，5），＝（10，x），若⊥，则x＝　﹣4　．
解：根据题意，向量＝（2，5），＝（10，x），
若⊥，则•＝20+5x＝0，解可得x＝﹣4；
故答案为：﹣4．
14．计算：sin60°cos15°﹣2sin215°cos15°＝　　．
解：∵sin30°＝2sin15°cos15°，sin30°＝cos60°，
∴sin60°cos15°﹣2sin215°cos15°＝sin60°cos15°﹣cos60°sin15°＝sin（60°﹣15°）＝sin45°＝．
故答案为：．
15．设a＞0，b＞0，且5ab+b2＝1，则a+b的最小值为　　．
解：因为a＞0，b＞0，且5ab+b2＝1，
所以a＝，
因为a＞0，
所以0＜b＜1，
a+b＝＝＝，
当且仅当，即b＝，a＝时取等号，
则a+b的最小值．
故答案为：．
16．已知正项等比数列{an}中，a4﹣a2＝6，a5﹣a1＝15，则an＝　2n﹣1　，又数列{bn}满足；若Sn为数列{an+1bn}的前n项和，那么S3n＝　　．
解：设正项等比数列{an}的公比为q，由题设可得：，
解得：或（舍），∴an＝2n﹣1；
∵，∴b1＝，b2＝2，b3＝﹣1，b4＝，b5＝2，b6＝﹣1，…，
∴数列{bn}是周期为3的周期数列，
∴an+1bn＝，∴a3k﹣1b3k﹣2+a3kb3k﹣1+a3k+1b3k＝23k﹣3+23k﹣23k＝8k﹣1，
∴S3n＝＝，
故答案为：2n﹣1；．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、推演步骤．）
17．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝15，S6＝9S3．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝log2a2n，求数列{bn}的前n项和Tn．
解：（1）由S6＝9S3，可得公比q不为1，
由S4＝15，S6＝9S3，可得＝15，＝9•，
解得a1＝1，q＝2，
所以an＝1•2n﹣1＝2n﹣1；
（2）bn＝log2a2n＝log222n﹣1＝2n﹣1，
所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，
故数列{bn}的前n项和Tn＝＝n2．
18．已知||＝2，||＝3，（2﹣3）•（2+）＝﹣7．
（1）若﹣与3+k垂直，求k的值；
（2）求与+夹角的余弦值．
解：（1）因为，，
所以＝＝16﹣4﹣27＝﹣7，
所以＝﹣1，
因为﹣与3+k垂直，所以，
即，
所以12﹣k+3﹣9k＝0，即．
故k的值为．
（2）＝，
设向量与的夹角为θ，
则cosθ＝，
所以向量与的夹角的余弦值为．
19．解关于x的不等式：ax2+（1﹣a）x﹣1＞0．
解：根据题意，对于ax2+（1﹣a）x﹣1＞0，
分3种情况讨论：
当a＝0时，不等式等价于x﹣1＞0，其解集为{x|x＞1}，
当a＞0时，不等式变形可得（x+）（x﹣1）＞0，
不等式对应方程的两个实数根为﹣和1，且﹣＜1，不等式的解集为{x|x＜﹣或x＞1}，
当x＜0时，不等式变形可得（x+）（x﹣1）＜0，
不等式对应方程的两个实数根为﹣和1，
当﹣1＜a＜0时，﹣＞1，不等式的解集为{x|1＜x＜﹣}；
当a＝﹣1时，﹣＝1，不等式为（x﹣1）2＜0，其解集为∅；
当a＜﹣1时，﹣＜1，不等式的解集为{x|﹣＜x＜1}；
综合可得：当a＞0时，不等式的解集为{x|x＜﹣或x＞1}，
当a＝0时，不等式解集为{x|x＞1}，
当﹣1＜a＜0时，﹣不等式的解集为{x|1＜x＜﹣}；
当a＝﹣1时，不等式为（x﹣1）2＜0，其解集为∅；
当a＜﹣1时，不等式的解集为{x|﹣＜x＜1}．
20．在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且满足2a＝．
（1）求出角A的值；
（2）若a＝2，求△ABC的周长的范围．
解：（1）在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且满足2a＝，
利用正弦定理：，
整理得：，
由于：0＜A＜π，
所以A＝，
（2）由于a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝4，
由于，
所以4，
整理得b+c≤4，当且仅当b＝c＝2时，等号成立．
故b+c+a≤6
由于b+c＞a，
所以a+b+c＞2a＝4，
故周长的取值范围为（4，6]．
21．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝（b2+c2﹣a2）（1﹣tanA）．
（1）求角C；
（2）若，D为BC中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度．
条件①：△ABC的面积S＝4且B＞A；
条件②：．
解：（1）2b2＝（b2+c2﹣a2）（1﹣tanA）．∴2b2＝2bccosA•（1﹣tanA）．∴b＝c（cosA﹣sinA），
由正弦定理可得：sinB＝sinC（cosA﹣sinA），∴sin（A+C）＝sinCcosA﹣sinCsinA，
∴sinAcosC＝﹣sinCsinA≠0，∴tanC＝﹣1，解得C＝．
（2）选择条件②，cosB＝，∴sinB＝．
∵sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC＝，由正弦定理可得：a＝＝2．
在△ABD中，由余弦定理可得：AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BDcosB，
解得AD＝．
22．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，当n≥2（n∈N*）时，（n﹣1）Sn﹣（n+1）Sn﹣1＝．
（1）计算：a2，a3；
（2）求{an}的通项公式；
（3）设bn＝tan，求数列{bn+1bn}的前n项和Tn．
解：（1）令n＝2，得S2﹣3S1＝2，又a1＝S1＝1，所以a2＝4；
令n＝3，得2S3﹣4S2＝8，所以a3＝4+2（1+4）﹣（1+4）＝9．
（2）因为当n≥2（n∈N*）时，（n﹣1）Sn﹣（n+1）Sn﹣1＝，
所以，
所以数列{}为等差数列，
所以＝＝n+，
所以Sn＝n（n+1）（2n+1），
于是，当n≥2（n∈N*）时，
an＝Sn﹣Sn﹣1＝n（n+1）（2n+1）﹣（n﹣1）n（2n﹣1）＝n2，
当n＝1时，a1＝S1＝1，满足上式，故．
（3）因为bn＝tan＝tann，则bn+1bn＝，
于是，Tn＝++…+
＝＝．