2021【KS5U解析】徐州高一下学期期末考试数学试题含解析

这是一份2021【KS5U解析】徐州高一下学期期末考试数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了06，已知，则sin2θ＝，设向量，满足，且，则等内容，欢迎下载使用。
江苏省徐州市2020~2021学年高一下学期期末考试
数学试题
2021．06
注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知i为虚数单位，则＝
A． B． C．i D．﹣i
2．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，则向量在向量上的投影向量为
A． B． C． D．
3．从一批羽毛球中任取1个羽毛球，如果其质量小于4.8g的概率是0.3，其质量不小于4.85g的概率是0.32，那么其质量在[4.8，4.85)(单位：g)范围内的概率是
A．0.62 B．0.68 C．0.7 D．0.38
4．近日，2021中国最具幸福感城市调查推选活动正式启动，在100个地级及以上候选城市名单中，徐州市入选．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．现随机抽取20位徐州市居民，他们的幸福感指数见下表，则这组数据的80百分位数是
3
3
4
5
5
6
6
6
7
7
7
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8
8
8
8
9
9
10
10
A．7.7 B．8 C．8.5 D．9
5．在△ABC中，AC＝1，AB＝，BC＝3，则△ABC的面积为
A． B． C． D．
6．将某一等腰直角三角形绕着斜边所在的直线旋转一周，若形成的几何体的表面积为，则该几何体的体积为
A． B． C． D．
7．已知，则sin2θ＝
A． B． C． D．
8．在三棱锥A—BCD中，平面ABD⊥平面BCD，BD⊥CD，且AB＝BD＝DA＝3，CD＝，则三棱锥A—BCD的外接球的表面积为
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．某市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了200名学生，他们的身高都处在A，B，C，D，E五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则样本中
A．女生人数多于男生人数
B．D层次男生人数多于女生人数
C．B层次男生人数为24人
D．A层次人数最少
10．设向量，满足，且，则
A．⊥ B． C． D．与的夹角为60°
11．已知复数z满足(3＋4i)z＝（其中i为虚数单位），则
A．z的虚部为i
B．复数在复平面内对应的点位于第一象限
C．
D．当[0，2)时，的最大值为6
12．在棱长为1的正方体ABCD–A1B1C1D1，中，E，F分别为BC，CC1的中点，则
A．DD1⊥AF
B．直线AF与平面ABCD所成的角的正弦值为
C．平面AEF截该正方体所得的截面面积为
D．点C到平面AEF的距离为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．某工厂有A，B，C三个车间，A车间有1000人，B车间有400人．若用分层抽样的方法得到一个样本容量为44的样本，其中B车间8人，则样本中C车间的人数为 ．
14．甲、乙、丙三人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是，，，则三人都成功破译的概率是 ；密码被两人成功破译的概率为 ．（本题第一空2分，第二空3分）
15．如图，等边三角形SAB为该圆锥的轴截面，点C为母线SB的中点，D为的中点，则异面直线SA与CD所成角为 ．
16．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设＝，若，则的值为 ．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知，为平面向量，且＝(﹣2，1)．
（1）若∥，且，求向量的坐标；
（2）若＝(3，2)，且与垂直，求实数k的值．
















18．（本小题满分12分）
已知，且，．
（1）求的值；
（2）求的值．












19．（本小题满分12分）
如图①，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G分别为AB，BC，BB1的中点．
（1）求证：平面EFG⊥平面BB1D1D；
（2）将该正方体截去八个与四面体B—EFG相同的四面体得到一个多面体(如图②)，若该多面体的体积是，求该正方体的棱长．













20．（本小题满分12分）
2021年开始，江苏省推行全新的高考制度，采用“3＋1＋2”模式，其中语文､数学､外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在物理､历史任选一门参加考试，满分100分，原始分计入总分，在思想政治､地理､化学､生物学4门科目中自选2门参加考试(4选2)，每科满分100分，进行等级赋分计入总分．为了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行检测，下面是100名学生的思想政治､地理､化学､生物学四科成绩总分，以组距40分成8组：[80，120)，[120，160)，[160，200)，[200，240)，[240，280)，[280，320)，[320，360)，[360，400]，画出频率分布直方图如图所示．
（1）求a的值；
（2）试估计这100名学生的思想政治､地理､化学､生物学四科成绩总分的中位数；
（3）为了进一步了解选科情况，在思想政治，地理､化学､生物学四科成绩总分在[240，280)和[360，400]的两组中，用分层抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．














21．（本小题满分12分）
①；②；③．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．
在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求角A；
（2）已知，求的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．













22．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥PD，PA＝PD，M，N分别为棱AB，PD的中点，二面角P—AD—B的大小为60°，AB＝3，BC＝4．
（1）求证：直线MN∥平面PBC；
（2）求二面角A—PB—C的余弦值．











江苏省徐州市2020~2021学年高一下学期期末考试
数学试题
2021．06
注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知i为虚数单位，则＝
A． B． C．i D．﹣i
【答案】C
【解析】．
2．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，则向量在向量上的投影向量为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据投影向量的概念，易判断A选项正确．
3．从一批羽毛球中任取1个羽毛球，如果其质量小于4.8g的概率是0.3，其质量不小于4.85g的概率是0.32，那么其质量在[4.8，4.85)(单位：g)范围内的概率是
A．0.62 B．0.68 C．0.7 D．0.38
【答案】D
【解析】根据互斥事件概率计算公式，可知所求概率＝1﹣0.3﹣0.32＝0.38，选D．
4．近日，2021中国最具幸福感城市调查推选活动正式启动，在100个地级及以上候选城市名单中，徐州市入选．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．现随机抽取20位徐州市居民，他们的幸福感指数见下表，则这组数据的80百分位数是
3
3
4
5
5
6
6
6
7
7
7
7
8
8
8
8
9
9
10
10
A．7.7 B．8 C．8.5 D．9
【答案】C
【解析】首先可以看到表格中20个数据已经按从小到到顺序排列了，20×80%＝16，故是从小到大开始，第16个数与第17个数的平均数，为所求的80百分位数，即为8.5，故选C．
5．在△ABC中，AC＝1，AB＝，BC＝3，则△ABC的面积为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】S＝，故选B．
6．将某一等腰直角三角形绕着斜边所在的直线旋转一周，若形成的几何体的表面积为，则该几何体的体积为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】该几何体由两个全等的圆锥组合而成，故一个圆锥的侧面积为，设该圆锥底面半径为r，则母线为，故，解得r＝1，易得该圆锥的高h＝1，所以一个圆锥体积＝，从而旋转体的体积为，选C．
7．已知，则sin2θ＝
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，sin2θ＝﹣＝．
8．在三棱锥A—BCD中，平面ABD⊥平面BCD，BD⊥CD，且AB＝BD＝DA＝3，CD＝，则三棱锥A—BCD的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】已知CD⊥平面ABD，根据“汉堡”模型，可得球心．可以取等边三角形ABD的重心G，过G作GH⊥平面ABD，且GH＝CD＝，则H即为球心，GA即为外接球半径，在Rt△AGH中，AG＝，GH＝，故HA＝，故外接球的表面积为．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．某市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了200名学生，他们的身高都处在A，B，C，D，E五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则样本中
A．女生人数多于男生人数
B．D层次男生人数多于女生人数
C．B层次男生人数为24人
D．A层次人数最少
【答案】AC
【解析】女生人数＝18＋48＋30＋18＋6＝120人，则男生200﹣120＝80人，故A正确；
D层次男生人数80×0.2＝16，D层次女生人数18，故B错误；
80×(1﹣25%﹣20%﹣10%﹣15%)＝24人，故C正确；
A层次26人，E层次18人，显然D错误．综上选AC．
10．设向量，满足，且，则
A．⊥ B． C． D．与的夹角为60°
【答案】BD
【解析】因为，所以，，故A错误，D正确；
，B正确；，故C错误．
综上，选BD．
11．已知复数z满足(3＋4i)z＝（其中i为虚数单位），则
A．z的虚部为i
B．复数在复平面内对应的点位于第一象限
C．
D．当[0，2)时，的最大值为6
【答案】BCD
【解析】(3＋4i)z＝，即(3＋4i)z＝5，所以，故z的虚部为，A错误；，在复平面内对应的点坐标是(，)，B正确；
，C正确；
表示复平面内点(3，﹣4)与点(cos，sin)之间的距离，也就是以O为圆心1为半径的圆上一点与点(3，﹣4)之间的距离，最大值确实为6，故D正确．
综上选BCD．
12．在棱长为1的正方体ABCD–A1B1C1D1，中，E，F分别为BC，CC1的中点，则
A．DD1⊥AF
B．直线AF与平面ABCD所成的角的正弦值为
C．平面AEF截该正方体所得的截面面积为
D．点C到平面AEF的距离为
【答案】BCD
【解析】取DD1中点G，则AG是AF在平面AA1D1D的投影，显然投影AG与DD1不垂直，故A错误；
易知∠FAC是直线AF与平面ABCD所成的角，sin∠FAC＝，故B正确；
平面AEF截该正方体所得的截面是等腰梯形EFD1A，其中EF＝，AD1＝，AE＝D1F＝，可得点E到AD1的距离为，所以S＝＝，故C正确；
S△AEF＝＝，点C到平面AEF的距离＝，故D正确．
综上选BCD．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．某工厂有A，B，C三个车间，A车间有1000人，B车间有400人．若用分层抽样的方法得到一个样本容量为44的样本，其中B车间8人，则样本中C车间的人数为 ．
【答案】16
【解析】．
14．甲、乙、丙三人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是，，，则三人都成功破译的概率是 ；密码被两人成功破译的概率为 ．（本题第一空2分，第二空3分）
【答案】，
【解析】三人都成功破译的概率＝××＝，
密码被两人成功破译的概率＝××＋××＋××＝．
15．如图，等边三角形SAB为该圆锥的轴截面，点C为母线SB的中点，D为的中点，则异面直线SA与CD所成角为 ．

【答案】
【解析】取AB中点O，OC∥SA，则∠OCD就是异面直线SA与CD所成角，令圆锥底面半径为r，则OC＝OD＝r，求得CD＝r，故∠OCD＝45°，所以异面直线SA与CD所成角为．
16．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设＝，若，则的值为 ．

【答案】
【解析】，
即，所以，故．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知，为平面向量，且＝(﹣2，1)．
（1）若∥，且，求向量的坐标；
（2）若＝(3，2)，且与垂直，求实数k的值．
【解析】（1）由可设
所以
解得，所以向量的坐标为或.
（2）因为，
所以，
因为与垂直，所以
即，解得.

18．（本小题满分12分）
已知，且，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【解析】（1）因为，所以.
（2）因为，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以.

19．（本小题满分12分）
如图①，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G分别为AB，BC，BB1的中点．
（1）求证：平面EFG⊥平面BB1D1D；
（2）将该正方体截去八个与四面体B—EFG相同的四面体得到一个多面体(如图②)，若该多面体的体积是，求该正方体的棱长．

【解析】（1）在正方体中，平面，
又因为平面，所以
连接，在中，分别为的中点，所以，
又因为在正方形中，，所以
又因为平面平面，
所以平面
又因为平面，
所以平面平面
（2）设正方体的棱长为，由（1）知，四面体的体积
为
所以所得多而体的体积为，
解得，即该正方体的棱长为4.

20．（本小题满分12分）
2021年开始，江苏省推行全新的高考制度，采用“3＋1＋2”模式，其中语文､数学､外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在物理､历史任选一门参加考试，满分100分，原始分计入总分，在思想政治､地理､化学､生物学4门科目中自选2门参加考试(4选2)，每科满分100分，进行等级赋分计入总分．为了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行检测，下面是100名学生的思想政治､地理､化学､生物学四科成绩总分，以组距40分成8组：[80，120)，[120，160)，[160，200)，[200，240)，[240，280)，[280，320)，[320，360)，[360，400]，画出频率分布直方图如图所示．
（1）求a的值；
（2）试估计这100名学生的思想政治､地理､化学､生物学四科成绩总分的中位数；
（3）为了进一步了解选科情况，在思想政治，地理､化学､生物学四科成绩总分在[240，280)和[360，400]的两组中，用分层抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．

【解析】（1）由
解得
（2）因为，

所以中位数在[240，280)，设中位数为，所以，解得
所以思想政治､地理､化学､生物四科成贯总分的中位数为264.
（3）思想政治､地理､化学､生物四科成贯总分在[240，280)和[360，400]的两组中的人数分别为：人，人，由分层抽样可知，
从成绩在[240，280的组中应抽取人，记为，
从成贯在[360，400]的组中应抽取1人，记为，
以表示“抽取的两人为和"(余类推)，则样本空间为

记“抽取的这2名学生来自不同组"为事件，
则，所以，
答；抽取的这2名学生来自不同组的概率为.

21．（本小题满分12分）
①；②；③．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．
在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求角A；
（2）已知，求的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（1）若选择①：
由正弦定理得
因为为锐角，所以，所以
因为为锐角，所以，所以
所以.
若选择②：
由正弦定理知，
因为，所以，
即，因为为锐角，所以，
则
所以
因为为锐角，所以.
若选择③：
即
又
所以，
因为为锐角，
所以
因为为锐角，所以.
（2）由（1）知，又，由正弦定理得
，
即
所以



因为为锐角三角形，，又
所以，
所以，所以
所以的取值范围为

22．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥PD，PA＝PD，M，N分别为棱AB，PD的中点，二面角P—AD—B的大小为60°，AB＝3，BC＝4．
（1）求证：直线MN∥平面PBC；
（2）求二面角A—PB—C的余弦值．

【解析】（1）取的中点，连接，
又因为为的中点，
所以在中，，且
又为棱的中点，，
因为底面为矩形，所以，
所以，且，
则四边形为平行四边形
所以又平而平面，
所以直线平面
（2）取中点中点，连接.
在中，，则，在矩形中，可得，
所以为二面角的平面角，即
又因为平面，
所以平面，
又因为平面，所以，又因为，所以，
所以是等腰三角形，即
在中，，由余弦定理可知，
，所以
在中，过点作于点，
由余弦定理可知，，
所以，则，
由余弦定理可知，，
在中，过点作，可知，
则为二面角的平面角.
在矩形中，可求得，
在中，由余弦定理可知，，
所以二面角的余弦值为.