江西省抚州市临川十六中2021-2022学年八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

江西省抚州市临川十六中2021-2022学年八年级（下）第一次月考数学试卷

一．选择题（本题共6小题，共18分）

1. 下列各图中、、为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧全等的是

A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 甲和丙 D. 只有丙

2. 等腰三角形的一个内角为，则另外两个内角的度数分别是

A. ， B. ，或，
C. ， D. ，或，

3. 实数、、满足且，它们在数轴上的对应点的位置可以是

A.  B.
C.  D.

4. 已知关于的不等式组的整数解共有个，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

5. 的最小值是，的最大值是，则

A.  B.  C.  D.

6. 已知直角三角形两直角边的边长之和为，斜边长为，则这个三角形的面积是

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共6小题，共18分）

7. 命题：“如果是整数，那么它是有理数”，则它的逆命题为______这是一个______命题填“真”或“假”．
8. 如图，在中，边上的垂直平分线交边于点，交边于点若的周长为，与四边形的周长之差为，则线段的长为______．
9. 如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解为______．

10. 某品牌自行车进价为每辆元，标价为每辆元．店庆期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于，则最多可打______折．
11. 如图，的三边、、长分别是、、，其三条角平分线将分成三个三角形，则：：等于______．
     

12. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列四个结论：
    ；
    ；
    点到各边的距离相等；
    设，，则．
    其中正确的结论是______填序号

三．解答题（本题共11小题，共84分）

13. 解不等式，并把解表示在数轴上．
    解不等式组．

14. 图所示的是某超市入口的双翼闸门，如图，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．

15. 如图，一只船从处出发，以海里时的速度向正北航行，经过小时到达处．分别从、处望灯塔，测得，度．求处与灯塔距离．
     

16. 如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，请用无刻度直尺按要求画图．
    在图中，以点为顶点作，使；
    在图中，在上找一点，使．

17. 如图，的高与相交于点，，的延长线交于点，请你从图中找出几对全等的直角三角形，并说明理由．
     

18. 按图中程序进行计算：
    
    规定：程序运行到“结果是否大于”为一次运算．
    若运算进行一次就停止，求出的取值范围；
    若运算进行二次才停止，求出的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
19. 已知，，是的三边长，，，设三角形的周长是．
    直接写出及的取值范围；
    若是小于的偶数
    求的长；
    判断的形状．
    
    
    
    
    
    
     
20. 先阅读，再解题．
    解不等式：
    解：根据两数相除，同号得正，异号得负，得
    或
    解不等式组，得
    解不等式组，得
    所以原不等式的解集为或．
    参照以上解题过程所反映的解题思想方法，试解不等式：．
    
    
    
    
    
    
     
21. 在等边中，点是上的动点，点与点、不重合，点在的延长线上，且．
    如图，若点是的中点，求证：；
    如图，若点不是的中点时，中的结论“”能否成立？若不成立，请直接写出与数理关系，若成立，请给予证明．

22. 某工厂计划生产、两种产品共件，其生产成本和利润如表：

若工厂计划获利万元，问、两种产品应分别生产多少件？
若工厂计划投入资金不多于万元，且获利多于万元，问工厂有哪几种生产方案？
在的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润．






 

23. 如图，的，，所对边分别是，，，且，若满足，则称为奇异三角形．例如等边三角形就是奇异三角形．
    若，，，判断是否为奇异三角形，并说明理由；
    若，，求的长；
    如图，在奇异三角形中，，点是边上的中点，连结，将分割成个三角形，其中是奇异三角形，是以为底的等腰三角形，求的长．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：在和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：，
所以乙和全等；
在和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：，
所以丙和全等；
不能判定甲与全等；
故选：．
根据三角形全等的判定方法，即可得解．
本题考查了三角形全等的判定方法，属于基础题．
 

2.【答案】
 

【解析】解：分情况讨论：
若等腰三角形的顶角为时，另外两个内角；
若等腰三角形的底角为时，它的另外一个底角为，顶角为．
故选：．
已知给出了一个内角是，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还需用三角形内角和定理去验证每种情况是不是都成立．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：因为且，
所以．
选项A符合，条件，故满足条件的对应点位置可以是．
选项B不满足，选项C、不满足，故满足条件的对应点位置不可以是、、．
故选：．
根据不等式的性质，先判断的正负．再确定符合条件的对应点的大致位置．
本题考查了数轴上点的位置和不等式的性质．解决本题的关键是根据不等式的性质判断的正负．
 

4.【答案】
 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的整数解有个，
．
故选：．
求出不等式组的解集，根据不等式组的解集和已知不等式组的整数解有个即可得出的取值范围是．
本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点，关键是能根据不等式组的解集和已知得出的取值范围．
 

5.【答案】
 

【解析】解：根据题意得：，，
则，
故选：．
根据题意确定出与的值，代入原式计算即可求出值．
此题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的意义是解本题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：设直角三角形两直角边的边长分别为、，
根据题意得：，，
则，
，
，
这个三角形的面积是，
故选：．
此题可借助于方程．设直角三角形两直角边的边长分别为、，根据题意得：，；把看作整体求解即可．
此题考查了勾股定理的应用，解题时注意方程思想与整体思想的应用．
 

7.【答案】如果是有理数，那么它是整数  假
 

【解析】解：命题：“如果是整数，那么它是有理数”，的逆命题为“如果是有理数，那么它是整数”，这是一个假命题．
故答案为：如果是有理数，那么它是整数；假．
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
本题考查了命题的定义和互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．另外还涉及有理数的知识．
 

8.【答案】
 

【解析】解：是边上的垂直平分线，
．
的周长为，
，
与四边形的周长之差为，
，
，
，，
得，．
故答案为：．
运用线段垂直平分线定理可得，再根据已知条件“的周长为，与四边形的周长之差为”表示出线段之间的数量关系，联立关系式后求解．
此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
 

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
将点代入，求出点的坐标；结合函数图象可知当时，即可求解；
本题考查一次函数的交点于一元一次不等式；将一元一次不等式的解转化为一次函数图象的关系是解题的关键．
【解答】
解：点代入，
，
，
结合图象可知的解为；
故答案为．  

10.【答案】七
 

【解析】解：设该自行车能打折，由题意得
，
解得：，即最多可打折．
故答案为：七．
设该自行车能打折，则根据利润率不低于，可得出不等式，解出即可得出答案．
本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．
 

11.【答案】：：
 

【解析】解：过点作于，于，于，

是三角形三条角平分线的交点，
，
，，，
：：△CAO

：：．
故答案为：：：．
由角平分线的性质可得，点到三角形三边的距离相等，即三个三角形的、、边上的高相等，利用面积公式即可求解．
本题主要考查角平分线的性质和三角形面积的求法，作辅助线很关键，属于基础题．
 

12.【答案】
 

【解析】解：在中，和的平分线相交于点，
，，，
，
；故正确；
在中，和的平分线相交于点，
，，
，
，，
，，
，，
，
故正确；
过点作于，作于，连接，

在中，和的平分线相交于点，
，；故错误；
在中，和的平分线相交于点，
点到各边的距离相等，故正确．
故答案是：
由在中，和的平分线相交于点，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得A正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出和是等腰三角形得出故正确；由角平分线的性质得出点到各边的距离相等，故正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得设，，则，故错误．
此题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
 

13.【答案】解：，
，
，
，
在数轴上表示不等式的解集为：
；


解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为
 

【解析】移项，合并同类项，系数化成即可；
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集的应用，题目比较好，难度适中．
 

14.【答案】解：如图所示，过作于，过作于，则
中，，
同理可得，，
又点与之间的距离为，
通过闸机的物体的最大宽度为，
答：当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为．
 

【解析】过作于，过作于，则可得和的长，依据端点与之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．
本题主要考查了含角的直角三角形的性质，在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．
 

15.【答案】解：是的外角


海里
因此处与灯塔距离是海里．
 

【解析】本题的关键是利用题中给出的角的度数，求得，再速度乘时间就是路程，从而求出的长．
本题考查了等腰三角形的判定；利用数学知识来解决特殊的实际问题，其关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．
 

16.【答案】解：如图，为所求的角；
图，点为所求的点．
 

【解析】根据两直线平行，内错角相等，作，则；
根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，借助表格作的垂直平分线，交于，即为所求．
本题主要考查了平行线的性质，线段的垂直平分线的性质，熟练掌握这两个性质是解决问题的关键．
 

17.【答案】解：≌，≌，≌，≌，≌，≌理由如下：
在与中，，
，
≌，
，．
在与中，
，
≌，
，，
，即，
，
，．
在与中，，
，
≌．
在与中，，
，
≌．
在与中，
，
≌．
在与中，，
，
≌．
 

【解析】≌，≌，≌，≌，≌，≌利用全等三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．
本题主要考查了直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：、、、、注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
 

18.【答案】解：根据题意可得：，
，
根据题意可得：
解得：
 

【解析】根据运行程序，第一次运算结果大于，列出不等式可求解；
根据运行程序，第一次运算结果小于或等于，第二次运算结果大于列出不等式组，然后求解即可．
本题考查了一元一次不等式及一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式组是解题的关键．
 

19.【答案】解：因为，，
所以．
故周长的范围为．
因为周长为小于的偶数，
所以或．
当为时，；
当为时，．
当时，，为等腰三角形；
当时，，为等腰三角形．
综上，是等腰三角形．
 

【解析】利用三角形三边关系进而得出的取值范围，进而得出答案；
根据偶数的定义，以及的取值范围即可求解；
利用等腰三角形的判定方法得出即可．
此题主要考查了等腰三角形的判定和三角形三边关系，得出的取值范围是解题关键．
 

20.【答案】解：根据两数相除，同号得正，异号得负，得
或，
不等式组得不等式组无解，
解不等式组，得，
所以原不等式的解集为．
 

【解析】利用有理数除法性质得到或，再分别解两个不等式组得到无解，的解集为，然后确定原不等式的解集．
本题考查了解一元一次不等式组：分别求出不等式组各不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集．也考查了阅读理解能力．
 

21.【答案】证明：是等边三角形，
，
点是的中点，
平分，，
，
，
．
，
，
，
．
．
解：；
理由：过点作交于点如图所示：

，．
是等边三角形，
，，
，，
即，
是等边三角形．
，，
，
，
．
在和中，
，
≌，
，
．
 

【解析】由等边三角形的性质得出，，再根据，得出，再证出，得出，从而证出；
作辅助线得出等边三角形，得出，再证明三角形全等，得出，证出．
本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形的外角以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．
 

22.【答案】解：设种产品应生产件，则种产品应生产件，
由题意，，
解得，
，
种产品应生产件，种产品应生产件．   
设种产品应生产件，则种产品应生产件，
由题意得，
解这个不等式组，得，
为正整数，可以取或或；
生产方案有种：
生产种产品件，种产品件；
生产种产品件，种产品件．
生产种产品件，种产品件．
设总利润为万元，生产种产品件，则生产种产品件，
则利润，
则随的增大而减小，即可得，产品生产越少，获利越大，
所以当生产种产品件，种产品件时可获得最大利润，其最大利润为万元．
 

【解析】本题考查一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用等知识，解题的关键是学会构建方程或不等式解决问题，属于中考常考题型．
设种产品应生产件，则种产品应生产件，列出方程即可解决．
设种产品应生产件，则种产品应生产件，列出不等式组解决问题．
得出利润与产品数量的关系式，根据增减性可得，产品生产越少，获利越大，因而取最小值时，获利最大，据此即可求解．
 

23.【答案】解：是奇异三角形，理由如下：
，，，
，，
，
即是奇异三角形；
，，
，
，
，
，
解得：；
是奇异三角形，且，
，
由题知：，，
是奇异三角形，且，，
或
当时，
，
解得：，
当时，与矛盾，不合题意舍去．
 

【解析】本题是三角形综合题，考查了新定义、勾股定理、等腰三角形的性质、解方程、分类讨论等知识，正确理解新定义“奇异三角形”是解题的关键．
是奇异三角形，理由：由，，得出，即可得出结论；
由题意得出，再由，得出，解方程即可得出结果；
由题意得出，推出或，分类计算即可得出结果．